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高三数学(理科)答案及评分细则 第 1 页(共 8 页) 开始 输入 x ?xb 输出 i 结束 ba 是 否 xa 1i 1 ii a b 1 1 武昌区 2017 届高三年级元月调研考试 理科数学参考答案及评分细则 第卷 一一、选择题选择题:本大题共本大题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是只有一项是符符 合合题目要求的题目要求的 1 设A,B是两个非空集合, 定义集合AxxBA|, 且Bx 若50|NxxA, 0107| 2 xxxB,则 BA() A1 , 0 B2 , 1 C2 , 1 , 0 D5 , 2 , 1 , 0 2已知复数 i2 i a z(i为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限,则实 数 a 的取值范围是() A) 2 1 , 2( B)2 , 2 1 ( C)2,( D), 2 1 ( 3执行如图所示的程序框图,若输入的2017x,则输出的i() A2 B3 C4 D5 4已知函数32)(aaxxf,若) 1 , 1( 0 x,0)( 0 xf, 则实数 a 的取值范围是() A), 1 ()3,( B)3,( C) 1 , 3( D), 1 ( 5小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游,每人只去一个景点,设事件 A“4 个人去 的景点不相同” , 事件B“小赵独自去一个景点” ,则)|(BAP() A 9 2 B 3 1 C 9 4 D 9 5 6中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器商 鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸) ,若 取 3,其体积为 12.6(立方寸) ,则图 中的 x 为() A1.2 B1.6 C1.8 D2.4 5.4 x 3 1 1 正视图 侧视图 俯视图 高三数学(理科)答案及评分细则 第 2 页(共 8 页) 7若 n x x ) 3 ( 3 的展开式中所有项系数的绝对值之和为 1024,则该展开式中的常数项是 () A270 B270 C90 D90 8 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时, 四名嫌疑人甲、 乙、 丙、 丁的供词如下, 甲说: “罪 犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人 中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”经过调查核实,四人中有两人说的是真 话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是() A甲 B乙 C丙 D丁 9已知函数)(xf的部分图象如图所示,则)(xf的 解析式可以是() A x x xf 2 2 )( 2 B 2 cos )( x x xf C x x xf 2 cos )( D x x xf cos )( 10设 x,y 满足约束条件 , 1 , yx ayx 且ayxz的最小值为 7,则a() A5 B3 C5或 3 D5 或3 11 已知双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两条渐近线分别为 1 l,2l, 经过右焦点 F 垂直于 1 l的 直线分别交 1 l, 2 l于 A,B 两点若|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,且AF与FB反向, 则该双曲线的离心率为() A 2 5 B3 C5 D 2 5 12 在锐角ABC中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 若Cbasin2, 则CBAtantantan 的最小值是() A4 B33 C8 D36 第卷 二二、填空题填空题:本大本大题共题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分 13 已知抛物线 :xy8 2 的焦点为 F, 准线与 x 轴的交点为K, 点 P 在 上且|2|PFPK , 则PKF的面积为 答案答案:8 14函数xxxfsin5)2 2 sin()( 的最大值为 答案答案:4 15 已知平面向量 a, b 的夹角为 120, 且|a|1, |b|2 若平面向量 m 满足 mamb1, 则|m| 答案答案: 3 21 16若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等,即CDAB ,BDAC ,BCAD 给出下列结 论: 四面体 ABCD 每组对棱相互垂直; 四面体 ABCD 每个面的面积相等; 高三数学(理科)答案及评分细则 第 3 页(共 8 页) A B C D S x y z 从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90而小于 180; 连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分; 从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 其中正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号) 答案答案: 三三、解答题解答题:解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 ( (本小题满分本小题满分 12 分分) 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S,已知9 1 a, 2 a为整数,且 5 SSn ()求 n a的通项公式; ()设数列 1 1nna a 的前 n 项和为 n T,求证: 9 4 n T 解解: ()由9 1 a, 2 a为整数可知,等差数列 n a的公差 d 为整数 由 5 SSn,知 a50,a60, 于是 94d0,95d0, 解得 5 9 4 9 d d 为整数,d2 故an的通项公式为nan2116 分 ()由() ,得 1 anan1 1 (112n)(92n) 1 2( 1 92n 1 112n), Tn1 2( 1 7 1 9)( 1 5 1 7)( 1 92n 1 112n) 1 2( 1 92n 1 9) 令 bn 1 92n,由函数 f(x) 1 92x的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性,知 0b1b2b3b4,b5b6b70,bnb41 Tn1 2(1 1 9) 4 912 分 18 ( (本小题满分本小题满分 12 分分) 如图, 四棱锥ABCDS 中, ABCD, BCCD, 侧面 SAB 为等边三角形,2 BCAB, 1 SDCD ()证明:SD平面 SAB; ()求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值 解解:方法一方法一:空间向量法 ()以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz,则 D(1,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0) 设 S(x,y,z),则 x0,y0,z0, 且), 2, 2(zyxAS,), 2,(zyxBS,), 1(zyxDS 由|AS|BS|,得 (x2)2(y2)2z 2 x2(y2)2z 2, 解得 x1 由|DS|1,得 y2z21 由|BS|2,得 y2z24y10 高三数学(理科)答案及评分细则 第 4 页(共 8 页) 解,得 y1 2,z 3 2 S(1,1 2, 3 2 ),AS(1,3 2, 3 2 ),BS(1,3 2, 3 2 ),DS(0,1 2, 3 2 ), DSAS0,DSBS0, DSAS,DSBS, SD平面 SAB6 分 ()设平面 SBC 的法向量 n(x1,y1,z1), 则 nBS,nCB,nBS0,nCB0 又BS(1,3 2, 3 2 ), CB(0,2,0), x13 2y1 3 2 z10, 2y10 取 z12,得 n( 3,0,2) AB(2,0,0),cosAB,n ABn |AB|n| 2( 3) 72 21 7 故 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 7 21 12 分 方法二方法二:综合法综合法 ()解解: ()如图,取 AB 的中点 E,连结 DE,SE,则四边形 BCDE 为矩形, 2 CBDE, 5 22 AEDEAD 侧面 SAB 为等边三角形,2AB, 2ABSBSA,且3SE 又1SD, 222 ADSDSA, 222 EDSDSE, SASD ,SESD , SD平面 SAB6 分 ()过点作DESG 于. 因为SEAB ,DEAB ,所以AB平面SDE. 所以平面SDE平面ABCD. 由平面与平面垂直的性质,知SG平面ABCD. 在DSERt中,由SGDESESD,得SG231,所以 2 3 SG. 过点作AH平面SBC于,连结BH,则ABH为 AB 与平面 SBC 所成角的角. 因为ABCD/,AB平面SDE, 所以CD平面SDE,所以SDCD . 在CDSRt中,由1 SDCD,求得2SC. A B C D S H G 高三数学(理科)答案及评分细则 第 5 页(共 8 页) 在SBC中,2 BCSB,2SC,所以 2 7 ) 2 2 (22 2 1 S 22 SBC . 由 ABCSSBCA VV ,得SGSAHS ABCSBC 3 1 3 1 , 即222 2 1 3 1 2 7 3 1 AH,解得 7 212 AH. 所以 7 21 sin AB AH ABH. 故 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 7 21 12 分 19 ( (本小题满分本小题满分 12 分分) 我国是世界上严重缺水的国家, 城市缺水问题较为突出 某市政府为了鼓励居民节约用 水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准 x(吨) , 用水量不超过 x 的部分按平价收费,超出 x 的部分按议价收费为了了解全市居民用水量的 分布情况, 通过抽样, 获得了 100 位居民某年的月均用水量 (单位: 吨) , 将数据按照)5 . 0 , 0, ) 1 , 5 . 0,5 . 4 , 4分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图 ()求直方图中 a 的值; () 若该市政府希望使 85的居民每 月的用水量不超过标准 x (吨) , 估计 x 的值, 并说明理由; () 已知平价收费标准为 4 元/吨, 议 价收费标准为 8 元/吨当3x时,估计该 市居民的月平均水费(同一组中的数据用该 组区间的中点值代替) 解解: ()由频率分布直方图,可得 (0.080.16a0.400.52a0.120.080.04)0.51, 解得30. 0a3 分 ()前 6 组的频率之和为(0.080.160.300.400.520.30)0.50.880.85, 而前 5 组的频率之和为(0.080.160.300.400.52)0.50.730.85, 2.5x3 由 0.3(x2.5)0.850.73,解得9 . 2x 因此,估计月用水量标准为 2.9 吨时,85的居民每月的用水量不超过标准7 分 ()设居民月用水量为 t 吨,相应的水费为 y 元,则 , 3, 8)3(43 30 ,4 tt tt y , 即 , 3,128 30 ,4 tt tt y , 由题设条件及月均用水量的频率分布直方图, 得居民每月的水费数据分组与频率分布表 如下: 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 分组 0, 2) 2, 4) 4, 6) 6, 8) 8,10) 10, 12) 12, 16) 16, 20) 20, 24 频率 0.04 0.08 0.15 0.20 0.26 0.15 0.06 0.04 0.02 根据题意,该市居民的月平均水费估计为 10.0430.0850.1570.2090.26110.15140.06180.0422 0.08 0.12 0.04 0.16 a 0.40 0.52 0.5 1 1.5 2 2.5 3 频率/组距 月均用水量(吨) 3.5 4 4.5 高三数学(理科)答案及评分细则 第 6 页(共 8 页) 0.028.42(元) 12 分 20 ( (本小题满分本小题满分 12 分分) 已知椭圆的中心在坐标原点,)0 , 2(A,) 1 , 0(B是它的两个顶点,直线)0( kkxy与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E,F 两点 ()若DFED6,求 k 的值; ()求四边形 AEBF 面积的最大值 解解: ()由题设条件可得,椭圆的方程为x 2 4y 21,直线 AB 的方程为 x2y20 设 D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中 x1x2, 由 ykx, x2 4y 21, 得(14k2)x24,解得 x2x1 2 14k2 由 ED6 DF,得 x0x16(x2x0),x01 7(6x2x1) 5 7x2 10 7 14k2 由 D 在 AB 上,得 x02kx020,x0 2 12k 2 12k 10 7 14k2,化简,得 24k 225k60, 解得 k2 3,或 k 3 86 分 ()根据点到直线的距离公式和式可知,点 E,F 到 AB 的距离分别为 d1|x12kx12| 5 2(12k 14k 2) 5(14k2) ,d2|x22kx22| 5 2(12k 14k 2) 5(14k2) 又|AB| 2212 5, 四边形 AEBF 的面积为 )41 (5 )21 (4 5 2 1 )( | 2 1 2 21 k k ddABS 2 2 2 41 441 2 )41 (5 )21 (2 k kk k k 22 1 42 4 12 1 4 4 12 41 4 12 2 k k k k k k , 当且仅当 4k1 k(k0) ,即 k 1 2时,等号成立 Smax2 212 分 21 ( (本小题满分本小题满分 12 分分) 已知函数xaxaxxfln)1 ( 2 1 )( 2 ()讨论)(xf的单调性; ()设0a,证明:当ax 0时,)()(xafxaf; 高三数学(理科)答案及评分细则 第 7 页(共 8 页) ()设 1 x, 2 x是)(xf的两个零点,证明:0) 2 ( 21 xx f 解解: ()f(x)的定义域为(0,) 求导数,得 f (x)x1aa x x2(1a)xa x (x1)(xa) x 若 a0,则 f (x)0,此时 f(x)在(0,)上单调递增 若 a0,则由 f (x)0,得 xa当 0xa 时,f (x)0;当 xa 时,f (x)0 此时 f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,)上单调递增 4 分 ()令 g(x)f(ax)f(ax),则 g(x)1 2(ax) 2(1a)(ax)aln(ax)1 2(ax) 2(1a)(ax)aln(ax) 2xaln(ax)aln(ax) 求导数,得 g(x)2 a ax a ax 2x2 a2x2 当 0xa 时,g(x)0,g(x)在(0,a)上是减函数 而 g(0)0,g(x)g(0)0 故当 0xa 时,f(ax)f(ax)8 分 ()由()可知,当 a0 时,函数 yf(x)至多有一个零点, 故 a0,从而 f(x)的最小值为 f(a),且 f(a)0 不妨设 0x1x2,则 0x1ax2,0ax1a 由() ,得 f(2ax1)f(aax1)f(x1)0 从而 x22ax1,于是x1x2 2 a 由()知,f (x1x2 2 )012 分 22 ( (本小题满分本小题满分 10 分分)选修选修 4-4:坐标系与参数方坐标系与参数方程程 在直角坐标系xOy中,曲线 C 的参数方程为 ty tax sin2 ,cos (t 为参数,a0) 以坐标原点 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线l的极坐标方程为22) 4 cos( ()设 P 是曲线 C 上的一个动点,当2a时,求点 P 到直线 l 的距离的最小值; ()若曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方,求 a

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