武昌区2017届高三年级元月调研考试理科数学试卷及参考答案.pdf

高三数学（理科）答案及评分细则 第 1 页（共 8 页） 开始 输入 x ?xb 输出 i 结束 ba 是 否 xa 1i 1 ii a b 1 1 武昌区 2017 届高三年级元月调研考试 理科数学参考答案及评分细则 第卷 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符符 合合题目要求的题目要求的 1 设A，B是两个非空集合， 定义集合AxxBA|， 且Bx 若50|NxxA， 0107| 2 xxxB，则 BA（） A1 , 0 B2 , 1 C2 , 1 , 0 D5 , 2 , 1 , 0 2已知复数 i2 i a z（i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实 数 a 的取值范围是() A) 2 1 , 2( B)2 , 2 1 ( C)2,( D), 2 1 ( 3执行如图所示的程序框图，若输入的2017x，则输出的i() A2 B3 C4 D5 4已知函数32)(aaxxf，若) 1 , 1( 0 x，0)( 0 xf， 则实数 a 的取值范围是() A), 1 ()3,( B)3,( C) 1 , 3( D), 1 ( 5小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A“4 个人去 的景点不相同” ， 事件B“小赵独自去一个景点” ，则)|(BAP() A 9 2 B 3 1 C 9 4 D 9 5 6中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器商 鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸） ，若 取 3，其体积为 12.6（立方寸） ，则图 中的 x 为() A1.2 B1.6 C1.8 D2.4 5.4 x 3 1 1 正视图 侧视图 俯视图 高三数学（理科）答案及评分细则 第 2 页（共 8 页） 7若 n x x ) 3 ( 3 的展开式中所有项系数的绝对值之和为 1024，则该展开式中的常数项是 () A270 B270 C90 D90 8 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时， 四名嫌疑人甲、 乙、 丙、 丁的供词如下， 甲说： “罪 犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人 中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真 话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是() A甲 B乙 C丙 D丁 9已知函数)(xf的部分图象如图所示，则)(xf的 解析式可以是() A x x xf 2 2 )( 2 B 2 cos )( x x xf C x x xf 2 cos )( D x x xf cos )( 10设 x，y 满足约束条件 , 1 , yx ayx 且ayxz的最小值为 7，则a() A5 B3 C5或 3 D5 或3 11 已知双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两条渐近线分别为 1 l，2l， 经过右焦点 F 垂直于 1 l的 直线分别交 1 l， 2 l于 A，B 两点若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且AF与FB反向， 则该双曲线的离心率为() A 2 5 B3 C5 D 2 5 12 在锐角ABC中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c 若Cbasin2， 则CBAtantantan 的最小值是() A4 B33 C8 D36 第卷 二二、填空题填空题：本大本大题共题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分 13 已知抛物线 ：xy8 2 的焦点为 F， 准线与 x 轴的交点为K， 点 P 在 上且|2|PFPK ， 则PKF的面积为 答案答案：8 14函数xxxfsin5)2 2 sin()( 的最大值为 答案答案：4 15 已知平面向量 a， b 的夹角为 120， 且|a|1， |b|2 若平面向量 m 满足 mamb1， 则|m| 答案答案： 3 21 16若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等，即CDAB ，BDAC ，BCAD 给出下列结 论： 四面体 ABCD 每组对棱相互垂直； 四面体 ABCD 每个面的面积相等； 高三数学（理科）答案及评分细则 第 3 页（共 8 页） A B C D S x y z 从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90而小于 180； 连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分； 从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号） 答案答案： 三三、解答题解答题：解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 （ （本小题满分本小题满分 12 分分） 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S，已知9 1 a， 2 a为整数，且 5 SSn （）求 n a的通项公式； （）设数列 1 1nna a 的前 n 项和为 n T，求证： 9 4 n T 解解： （）由9 1 a， 2 a为整数可知，等差数列 n a的公差 d 为整数 由 5 SSn，知 a50，a60， 于是 94d0，95d0， 解得 5 9 4 9 d d 为整数，d2 故an的通项公式为nan2116 分 （）由（） ，得 1 anan1 1 (112n)(92n) 1 2( 1 92n 1 112n)， Tn1 2( 1 7 1 9)( 1 5 1 7)( 1 92n 1 112n) 1 2( 1 92n 1 9) 令 bn 1 92n，由函数 f(x) 1 92x的图象关于点（4.5，0）对称及其单调性，知 0b1b2b3b4，b5b6b70，bnb41 Tn1 2(1 1 9) 4 912 分 18 （ （本小题满分本小题满分 12 分分） 如图， 四棱锥ABCDS 中， ABCD， BCCD， 侧面 SAB 为等边三角形，2 BCAB， 1 SDCD （）证明：SD平面 SAB； （）求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值 解解：方法一方法一：空间向量法 （）以 C 为坐标原点，射线 CD 为 x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz，则 D(1，0，0)，A(2，2，0)，B(0，2，0) 设 S(x，y，z)，则 x0，y0，z0， 且), 2, 2(zyxAS，), 2,(zyxBS，), 1(zyxDS 由|AS|BS|，得 (x2)2(y2)2z 2 x2(y2)2z 2， 解得 x1 由|DS|1，得 y2z21 由|BS|2，得 y2z24y10 高三数学（理科）答案及评分细则 第 4 页（共 8 页） 解，得 y1 2，z 3 2 S(1，1 2， 3 2 )，AS(1，3 2， 3 2 )，BS(1，3 2， 3 2 )，DS(0，1 2， 3 2 )， DSAS0，DSBS0， DSAS，DSBS， SD平面 SAB6 分 （）设平面 SBC 的法向量 n(x1，y1，z1)， 则 nBS，nCB，nBS0，nCB0 又BS(1，3 2， 3 2 )， CB(0，2，0)， x13 2y1 3 2 z10， 2y10 取 z12，得 n( 3，0，2) AB(2，0，0)，cosAB，n ABn |AB|n| 2( 3) 72 21 7 故 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 7 21 12 分 方法二方法二：综合法综合法 （）解解： （）如图，取 AB 的中点 E，连结 DE，SE，则四边形 BCDE 为矩形， 2 CBDE， 5 22 AEDEAD 侧面 SAB 为等边三角形，2AB， 2ABSBSA，且3SE 又1SD， 222 ADSDSA， 222 EDSDSE， SASD ，SESD ， SD平面 SAB6 分 （）过点作DESG 于. 因为SEAB ，DEAB ，所以AB平面SDE. 所以平面SDE平面ABCD. 由平面与平面垂直的性质，知SG平面ABCD. 在DSERt中，由SGDESESD，得SG231，所以 2 3 SG. 过点作AH平面SBC于，连结BH，则ABH为 AB 与平面 SBC 所成角的角. 因为ABCD/，AB平面SDE， 所以CD平面SDE，所以SDCD . 在CDSRt中，由1 SDCD，求得2SC. A B C D S H G 高三数学（理科）答案及评分细则 第 5 页（共 8 页） 在SBC中，2 BCSB，2SC，所以 2 7 ) 2 2 (22 2 1 S 22 SBC . 由 ABCSSBCA VV ，得SGSAHS ABCSBC 3 1 3 1 ， 即222 2 1 3 1 2 7 3 1 AH，解得 7 212 AH. 所以 7 21 sin AB AH ABH. 故 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 7 21 12 分 19 （ （本小题满分本小题满分 12 分分） 我国是世界上严重缺水的国家， 城市缺水问题较为突出 某市政府为了鼓励居民节约用 水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准 x（吨） ， 用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费为了了解全市居民用水量的 分布情况， 通过抽样， 获得了 100 位居民某年的月均用水量 （单位： 吨） ， 将数据按照)5 . 0 , 0， ) 1 , 5 . 0，5 . 4 , 4分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图 （）求直方图中 a 的值； （） 若该市政府希望使 85的居民每 月的用水量不超过标准 x （吨） ， 估计 x 的值， 并说明理由； （） 已知平价收费标准为 4 元/吨， 议 价收费标准为 8 元/吨当3x时，估计该 市居民的月平均水费（同一组中的数据用该 组区间的中点值代替） 解解： （）由频率分布直方图，可得 (0.080.16a0.400.52a0.120.080.04)0.51， 解得30. 0a3 分 （）前 6 组的频率之和为(0.080.160.300.400.520.30)0.50.880.85， 而前 5 组的频率之和为(0.080.160.300.400.52)0.50.730.85， 2.5x3 由 0.3(x2.5)0.850.73，解得9 . 2x 因此，估计月用水量标准为 2.9 吨时，85的居民每月的用水量不超过标准7 分 （）设居民月用水量为 t 吨，相应的水费为 y 元，则 , 3, 8)3(43 30 ,4 tt tt y ， 即 , 3,128 30 ,4 tt tt y ， 由题设条件及月均用水量的频率分布直方图， 得居民每月的水费数据分组与频率分布表 如下： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 分组 0， 2) 2， 4) 4， 6) 6， 8) 8，10) 10， 12) 12， 16) 16， 20) 20， 24 频率 0.04 0.08 0.15 0.20 0.26 0.15 0.06 0.04 0.02 根据题意，该市居民的月平均水费估计为 10.0430.0850.1570.2090.26110.15140.06180.0422 0.08 0.12 0.04 0.16 a 0.40 0.52 0.5 1 1.5 2 2.5 3 频率/组距 月均用水量（吨） 3.5 4 4.5 高三数学（理科）答案及评分细则 第 6 页（共 8 页） 0.028.42（元） 12 分 20 （ （本小题满分本小题满分 12 分分） 已知椭圆的中心在坐标原点，)0 , 2(A，) 1 , 0(B是它的两个顶点，直线)0( kkxy与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E，F 两点 （）若DFED6，求 k 的值； （）求四边形 AEBF 面积的最大值 解解： （）由题设条件可得，椭圆的方程为x 2 4y 21，直线 AB 的方程为 x2y20 设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中 x1x2， 由 ykx， x2 4y 21， 得(14k2)x24，解得 x2x1 2 14k2 由 ED6 DF，得 x0x16(x2x0)，x01 7(6x2x1) 5 7x2 10 7 14k2 由 D 在 AB 上，得 x02kx020，x0 2 12k 2 12k 10 7 14k2，化简，得 24k 225k60， 解得 k2 3，或 k 3 86 分 （）根据点到直线的距离公式和式可知，点 E，F 到 AB 的距离分别为 d1|x12kx12| 5 2(12k 14k 2) 5(14k2) ，d2|x22kx22| 5 2(12k 14k 2) 5(14k2) 又|AB| 2212 5， 四边形 AEBF 的面积为 )41 (5 )21 (4 5 2 1 )( | 2 1 2 21 k k ddABS 2 2 2 41 441 2 )41 (5 )21 (2 k kk k k 22 1 42 4 12 1 4 4 12 41 4 12 2 k k k k k k ， 当且仅当 4k1 k（k0） ，即 k 1 2时，等号成立 Smax2 212 分 21 （ （本小题满分本小题满分 12 分分） 已知函数xaxaxxfln)1 ( 2 1 )( 2 （）讨论)(xf的单调性； （）设0a，证明：当ax 0时，)()(xafxaf； 高三数学（理科）答案及评分细则 第 7 页（共 8 页） （）设 1 x， 2 x是)(xf的两个零点，证明：0) 2 ( 21 xx f 解解： （）f(x)的定义域为(0，) 求导数，得 f (x)x1aa x x2(1a)xa x (x1)(xa) x 若 a0，则 f (x)0，此时 f(x)在(0，)上单调递增 若 a0，则由 f (x)0，得 xa当 0xa 时，f (x)0；当 xa 时，f (x)0 此时 f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增 4 分 （）令 g(x)f(ax)f(ax)，则 g(x)1 2(ax) 2(1a)(ax)aln(ax)1 2(ax) 2(1a)(ax)aln(ax) 2xaln(ax)aln(ax) 求导数，得 g(x)2 a ax a ax 2x2 a2x2 当 0xa 时，g(x)0，g(x)在(0，a)上是减函数 而 g(0)0，g(x)g(0)0 故当 0xa 时，f(ax)f(ax)8 分 （）由（）可知，当 a0 时，函数 yf(x)至多有一个零点， 故 a0，从而 f(x)的最小值为 f(a)，且 f(a)0 不妨设 0x1x2，则 0x1ax2，0ax1a 由（） ，得 f(2ax1)f(aax1)f(x1)0 从而 x22ax1，于是x1x2 2 a 由（）知，f (x1x2 2 )012 分 22 （ （本小题满分本小题满分 10 分分）选修选修 4-4：坐标系与参数方坐标系与参数方程程 在直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 ty tax sin2 ,cos （t 为参数，a0） 以坐标原点 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知直线l的极坐标方程为22) 4 cos( （）设 P 是曲线 C 上的一个动点，当2a时，求点 P 到直线 l 的距离的最小值； （）若曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方，求 a