《分数的初步认识》中的多元表征问题探讨.ppt

分数的初步认识分数的初步认识课例分析课例分析 兼谈兼谈多元表征问题多元表征问题 曹新曹新 1397078751713970787517 案例分析：吴正宪老师的一个课例案例分析：吴正宪老师的一个课例 吴正宪吴正宪. .分数的初步认识分数的初步认识课堂实录课堂实录. .教育的理论与实践教育的理论与实践,2007,9,B,2007,9,B 前言前言 分数是小学数学的核心概念，是代数学习分数是小学数学的核心概念，是代数学习 的基础。的基础。 为了帮助学生更好地理解分数，课程标准为了帮助学生更好地理解分数，课程标准 及教科书将分数的学习分别安排在：第一学及教科书将分数的学习分别安排在：第一学 段段三年级（分数的初步认识），第二学三年级（分数的初步认识），第二学 段段五年级（分数的意义和性质）。五年级（分数的意义和性质）。 由于分数难学，多次引起各方面的讨论甚至争论由于分数难学，多次引起各方面的讨论甚至争论 。争论的焦点主要集中在五年级分数的意义，并将。争论的焦点主要集中在五年级分数的意义，并将 其作为一个重要的研究论题。其作为一个重要的研究论题。 相对而言，由于分数的初步认识，多半从相对而言，由于分数的初步认识，多半从“ “切大饼切大饼 ” ”或或“ “分蛋糕分蛋糕” ”开始的，即借助于直观模型（面积模型开始的，即借助于直观模型（面积模型 、数线模型）初步理解分数刻画的、数线模型）初步理解分数刻画的“ “部分部分整体整体” ”之之 间的比率关系（作为间的比率关系（作为“ “率率” ”的分数），教学内容与教的分数），教学内容与教 学方法没有太大的异议。学方法没有太大的异议。 对对分数的初步认识分数的初步认识学习的调查却显示：通过学习的调查却显示：通过 近距离的课堂观察，发现近距离的课堂观察，发现在理所当然且习以为在理所当然且习以为 常的操作活动中，学生并非按我们的预想在进行数常的操作活动中，学生并非按我们的预想在进行数 学思考。学思考。 反思：在问题情境中，学生真正体会到学习分数反思：在问题情境中，学生真正体会到学习分数 的必要性了吗？在顺利的操作活动中，学生在进行的必要性了吗？在顺利的操作活动中，学生在进行 数学本质的思考吗？如果学生在情境、活动中没有数学本质的思考吗？如果学生在情境、活动中没有 经历真实的数学思维过程，那么理解又何以产生？经历真实的数学思维过程，那么理解又何以产生？ 数学学习心理的研究表明，理解概念的关键在于数学学习心理的研究表明，理解概念的关键在于 将数学概念的抽象定义的含意转换成易于学生理解将数学概念的抽象定义的含意转换成易于学生理解 和运用的适当的心理表象。和运用的适当的心理表象。 转换：是将抽象概念与学生已有知识经验建立有转换：是将抽象概念与学生已有知识经验建立有 层次的联系：引导学生在概念的抽象定义、半抽象层次的联系：引导学生在概念的抽象定义、半抽象 模型（或操作）、具体原型（或活动）之间进行寻模型（或操作）、具体原型（或活动）之间进行寻 找意义与数学化的过程。找意义与数学化的过程。 数学化与寻找意义数学化与寻找意义- -数学教学的基本活动数学教学的基本活动 自左至右：数学化自左至右：数学化 自右至左：寻找意义自右至左：寻找意义 实物操作实物操作表象操作表象操作抽象操作抽象操作 分豆子分豆子 （具体）（具体） 脑中分豆子脑中分豆子 （半具体、半抽象）（半具体、半抽象） 算式运算算式运算 （抽象）（抽象） （数学化）（数学化） （寻找意义）（寻找意义） 换句话说，学习者需要通过内化概念的多换句话说，学习者需要通过内化概念的多 种表达形式并与已有的内在表象发生相互作种表达形式并与已有的内在表象发生相互作 用，以此促进或影响学习者的数学理解。用，以此促进或影响学习者的数学理解。 理解概念涉及：概念的丰富表达形式理解概念涉及：概念的丰富表达形式 外在表征，概念的心理表达（表象）外在表征，概念的心理表达（表象）内内 在表征，以及内外表征之间的转换。在表征，以及内外表征之间的转换。 内容框架内容框架 1 1 分数学习的难点与前概念分数学习的难点与前概念 2 2 分数初步认识分数初步认识的教学流程的教学流程 33分数的初步认识分数的初步认识课例分析课例分析 1 1 分数学习的难点与前概念分数学习的难点与前概念 义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（20112011版）对版）对分数的初分数的初 步认识步认识的要求是：能结合具体情境初步理解分数的要求是：能结合具体情境初步理解分数 的意义，能读、写分数，能比较两个同分母分数的的意义，能读、写分数，能比较两个同分母分数的 大小；能运用分数表示日常生活中的一些事物，并大小；能运用分数表示日常生活中的一些事物，并 进行交流。进行交流。 教材的目标定位：主要利用直观的方式，使学生教材的目标定位：主要利用直观的方式，使学生 通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理解通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理解 分数的意义，掌握分数的大小。分数的意义，掌握分数的大小。 实现上述目标，一要分析教学内容，以充分了解实现上述目标，一要分析教学内容，以充分了解 分数学习的困难之处；二要分析学情，以找准教学分数学习的困难之处；二要分析学情，以找准教学 的出发点：学生已有的知识经验。的出发点：学生已有的知识经验。 分数学习的难点分数学习的难点 一直以来，在学生的心目中并不承认分数一直以来，在学生的心目中并不承认分数 是个是个“ “数数” ”，是个，是个“ “结果结果” ”。 其一，分数并非其一，分数并非“ “十进制十进制” ”，这是与整数及其运算的最大差，这是与整数及其运算的最大差 别。别。 其二，其二，引入分数是为了表示引入分数是为了表示“ “量 量” ”，但，但“ “几分之一几分之一” ”表示的却表示的却 是部分与整体之间的是部分与整体之间的“ “比率比率” ”。 其三，分数所能表示的其三，分数所能表示的“ “量量” ”有更易于学生接受的替代物有更易于学生接受的替代物 小数，分数所能表示的小数，分数所能表示的“ “比率比率” ”也有更易于学生接受的替代物也有更易于学生接受的替代物 百分数与比（这些后续学习的内容在生活中却先接触）。百分数与比（这些后续学习的内容在生活中却先接触）。 其四，分数反映了数学概念的二重性：其四，分数反映了数学概念的二重性： 既表现为一种过程操作既表现为一种过程操作先分，把一个先分，把一个 对象平均分，分之后就确定了分母，就创造对象平均分，分之后就确定了分母，就创造 了一个分数单位。然后再取一份或几份，即了一个分数单位。然后再取一份或几份，即 是数有多少个单位，也就是确定分子；又表是数有多少个单位，也就是确定分子；又表 现为对象、结构现为对象、结构a a/ /b b。 这种兼具算法与结果的特点这种兼具算法与结果的特点, ,给学生带来很给学生带来很 大的认知负荷，影响着他们的认知加工。大的认知负荷，影响着他们的认知加工。 学生已有的知识经验学生已有的知识经验 一是具备一是具备“ “平均分平均分” ”的认识。缺乏的是进一的认识。缺乏的是进一 步的认识步的认识逆向思维，以及由此引出新数逆向思维，以及由此引出新数 分数的意识。分数的意识。 具有诸多与具有诸多与“ “分数学习分数学习” ”有关的操作体验，有关的操作体验， 学生缺乏的是探究操作活动中蕴含的数学知学生缺乏的是探究操作活动中蕴含的数学知 识识所取的份数与整体的所取的份数与整体的“ “比率比率” ”关系。关系。 2 2 分数初步认识分数初步认识的教学流程的教学流程 两种设计思路都没有探讨以下问题：两种设计思路都没有探讨以下问题： 课文呈现的分数外在表征之间有没有层次性？若课文呈现的分数外在表征之间有没有层次性？若 有，怎样在教学中加以体现？有，怎样在教学中加以体现？ 分数的外在表征有哪些类型？类型之内、类型之分数的外在表征有哪些类型？类型之内、类型之 间有怎样的关系？这些关系对教学设计有怎样的要间有怎样的关系？这些关系对教学设计有怎样的要 求？求？ 分数的外在表征与内在表征有怎样的关系？这种分数的外在表征与内在表征有怎样的关系？这种 关系对于分数的学习设计有怎样的启发？关系对于分数的学习设计有怎样的启发？ 33分数的初步认识分数的初步认识课例分析课例分析 这堂课的教学设计有什么特点？这堂课的教学设计有什么特点？ 这堂课的师生对话有什么特点？这堂课的师生对话有什么特点？ 对这堂课你想提哪些改进建议？对这堂课你想提哪些改进建议？ 一、教学设计一、教学设计：为学生的发展而教为学生的发展而教 巧选素材，让学生走进数学巧选素材，让学生走进数学 西游西游记记记记故事故事“ “如何表示一半如何表示一半” ”？ 怎怎样样样样分月分月饼饼饼饼引入分数概念引入分数概念 读图识读图识读图识读图识 分数分数加深加深对对对对分数概念的理解分数概念的理解 创设机会，让学生创造数学创设机会，让学生创造数学 折折纸纸纸纸表示分数、表示分数、讨论讨论讨论讨论 分数分数 辩论辩论辩论辩论 揭示分数概念的核心揭示分数概念的核心 用分数用分数说说说说一句一句话话话话揭示分数与生活的揭示分数与生活的联联联联系系 注重学法，让学生学会学习注重学法，让学生学会学习 学会将新知与生活学会将新知与生活经验经验经验经验 、已有知、已有知识经验识经验识经验识经验 相相联联联联系系 学会在在操作、学会在在操作、实实实实践活践活动动动动中中认识认识认识认识 、理解知、理解知识识识识 学会学会倾倾倾倾听、独立思考、善于合作交流听、独立思考、善于合作交流 学会用所学知学会用所学知识识识识解解释释释释生活中的生活中的现现现现象象 二、师生对话特点二、师生对话特点 以低层次（回忆、理解）提问为多、为辅以低层次（回忆、理解）提问为多、为辅 ，以高层次（应用、分析、评价、综合）提，以高层次（应用、分析、评价、综合）提 问为少、为主；问为少、为主； 教学中的主问题教学中的主问题6 6个设置为高层次问题；个设置为高层次问题； 对主问题的探讨注意了两种层次的问题的对主问题的探讨注意了两种层次的问题的 结合；结合； 辅助性问题设置不多，学生在较高的认知辅助性问题设置不多，学生在较高的认知 水平上开展学习。水平上开展学习。 三、对课例的几点看法三、对课例的几点看法 1. 1.教学目标叙写的存在的问题教学目标叙写的存在的问题 2. 2.情境的创设存在问题情境的创设存在问题 3. 3.分数是分数是“ “量量” ”还是还是“ “数数” ”？ 4. 4.对分数有无限多个的探讨对分数有无限多个的探讨 5. 5.为什么为什么“ “1/2”1/2”比其他的表示更科学、简便？比其他的表示更科学、简便？ 6.“6.“如何表示一半如何表示一半” ”？为什么将学生过早、为什么将学生过早、 过多地限制于符号表征一种方式？过多地限制于符号表征一种方式？ 1. 1.教学目标叙写的存在的问题教学目标叙写的存在的问题 没有体现三维目标没有体现三维目标 教学目标的主体混乱教学目标的主体混乱 怎样写才能好一些？怎样写才能好一些？ 知知识识识识与技能目与技能目标标 标标：会会读读读读、写分数，、写分数，说说说说出分数各部分的名出分数各部分的名 称，理解几分之一的具体含称，理解几分之一的具体含义义义义。 过过过过程程与方法目与方法目标标标标：经历经历经历经历 “ “一半一半” ”、“ “平均分平均分” ”表示的探究、表示的探究、 交流、合作的交流、合作的过过过过程，体会分数的意程，体会分数的意义义义义与不同的表示方法，增与不同的表示方法，增 进进进进数学的数学的图图图图形形语语语语言、文字言、文字语语语语言、符号言、符号语语语语言相互言相互转换转换转换转换 的能力的能力 ，提升，提升对对对对分数的不同表征的水平，养成有条理地思考与表述分数的不同表征的水平，养成有条理地思考与表述 问题问题问题问题 的的习惯习惯习惯习惯 。 情感情感态态态态度与价度与价值观值观值观值观 目目标标标标：经历经历经历经历 “ “一半一半” ”、“ “平均分平均分” ”表示，表示， 以及用分数以及用分数说说说说一句一句话话话话的数学化的数学化历历历历程，感受数学理性思程，感受数学理性思维维维维的魅的魅 力，加深力，加深对对对对数学与生活数学与生活联联联联系的理解，系的理解，进进进进而提高学而提高学习习习习数学的数学的兴兴兴兴 趣，并增趣，并增强强学好数学的自信心。学好数学的自信心。 2. 2.情境的创设存在问题情境的创设存在问题 从一个虚假的情境中引出了一个简从一个虚假的情境中引出了一个简 单问题单问题 如何改如何改进进进进？ “ “指指导导导导探索探索” ”中的中的设问设问设问设问 依然依然值值值值得商榷。得商榷。 对对对对一些情境的思考一些情境的思考 我们创设了怎样的情境？我们创设了怎样的情境？ 金阳广场是一个边长为金阳广场是一个边长为400400米的正方形休闲米的正方形休闲 广场，广场的广场，广场的4 4个角上建有个角上建有A A、B B、C C、D 4D 4个个 生活小区。小区欲安装煤气管道，但煤气公生活小区。小区欲安装煤气管道，但煤气公 司只将煤气主管道接到司只将煤气主管道接到A A区，另外区，另外3 3个小区的个小区的 煤气管道将由他们自行铺设并与煤气管道将由他们自行铺设并与A A区连通。请区连通。请 设计与设计与A A区相连的最短煤气管道铺设方案区相连的最短煤气管道铺设方案 。 比的意义比的意义（六年级（六年级 上）上） 师：再过几天就是祖国师：再过几天就是祖国5353岁生日了，我们一起看岁生日了，我们一起看 一段短片（录像：义勇军进行曲）。一段短片（录像：义勇军进行曲）。5353年前的年前的1010 月月1 1日，中国的五星红旗第一次迎着灿烂的朝阳在日，中国的五星红旗第一次迎着灿烂的朝阳在 天安门广场上冉冉升起，毛主席在天安门城楼上庄天安门广场上冉冉升起，毛主席在天安门城楼上庄 严宣布：中华人民共和国成立了！中国人民从此站严宣布：中华人民共和国成立了！中国人民从此站 起来了！瞧，五星红旗红旗如此灿烂、美丽，让无起来了！瞧，五星红旗红旗如此灿烂、美丽，让无 数中国人为之骄傲与自豪，其实在我们的国旗里还数中国人为之骄傲与自豪，其实在我们的国旗里还 隐藏这很多有趣的数学问题呢！你想了解它吗？老隐藏这很多有趣的数学问题呢！你想了解它吗？老 师告诉你们：它的长为师告诉你们：它的长为3 3米，宽为米，宽为2 2米。你能求什米。你能求什 么呢？么呢？ 分数的意义分数的意义 师：其实，在我们学过师：其实，在我们学过 的成语中就隐含了分数，想一想，你能举的成语中就隐含了分数，想一想，你能举 出这样的例子吗？生：十拿九稳、九死一出这样的例子吗？生：十拿九稳、九死一 生、百里挑一、十全十美、百发百中生、百里挑一、十全十美、百发百中 弧度制弧度制 教师在黑板上画了一个角，教师在黑板上画了一个角， 然后拿出一段绳子，问：同学们，如何度然后拿出一段绳子，问：同学们，如何度 量这个角？量这个角？ 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 教师创设了走进埃及看金字塔这样一个生教师创设了走进埃及看金字塔这样一个生 活情境，让学生从神秘的金字塔模型中开活情境，让学生从神秘的金字塔模型中开 始探索等腰三角形的特征。课后教师还布始探索等腰三角形的特征。课后教师还布 置一个实验任务，使数学课堂得到进一步置一个实验任务，使数学课堂得到进一步 延伸：依照比例复制一个小型的金字塔模延伸：依照比例复制一个小型的金字塔模 型，再将食物放置入内，看几周后食物是型，再将食物放置入内，看几周后食物是 否完全脱水，有没有腐败现象？否完全脱水，有没有腐败现象？ 3. 3.分数是分数是“ “量量” ”还是还是“ “数数” ”？ “ “指导探索指导探索” ” 待同学们明确了待同学们明确了“平均分平均分”后，老师带领同学们边比划后，老师带领同学们边比划 边说：边说：把一个月饼平均分成两份，每份就是这个月饼的二分把一个月饼平均分成两份，每份就是这个月饼的二分 之一。之后，让小伙伴之间互相讲述自己对之一。之后，让小伙伴之间互相讲述自己对“1/21/2”的理解。的理解。 你还能在这块月饼中找到另一个二分之一吗？你还能在这块月饼中找到另一个二分之一吗？一个同学一个同学 很快地跑到前面，在月饼的另一半写上了很快地跑到前面，在月饼的另一半写上了“1/21/2”。 同学们用不同的折法表现同学们用不同的折法表现“1/21/2”。 4. 4.对分数有无限多个的探讨对分数有无限多个的探讨 P37P37： 师师：同学们请看，像：同学们请看，像“ “1/21/2、1/31/3、1/41/4、1/51/5、1/8”1/8”这这 样的数都叫分数。你还能举出分数的例子来吗？样的数都叫分数。你还能举出分数的例子来吗？ （同学们跃跃欲试，不由自主地站起来，举着他们的（同学们跃跃欲试，不由自主地站起来，举着他们的“ “研研 究成果究成果” ”给大家看）给大家看） 师师：这样说下去，说到今天晚上能说得完吗？：这样说下去，说到今天晚上能说得完吗？ 生生：（迫不及待）（迫不及待）我知道了，分数有无限个。我知道了，分数有无限个。 师师：对，分数的个数是无限的。：对，分数的个数是无限的。 问题问题：上述对话能表明分数有无限多吗？上述对话能表明分数有无限多吗？ 5. 5.为什么为什么“ “1/2”1/2”比其他的表示更科学比其他的表示更科学 、简便？、简便？ 教师让学生用自己喜欢的方式表示教师让学生用自己喜欢的方式表示“ “半个半个” ” ，并让他们解释每种表示方法的含义。并让他们解释每种表示方法的含义。 向学生介绍一种向学生介绍一种“ “更科学、更简洁更科学、更简洁” ”的表示的表示 方法方法“1/2” “1/2” 。 问题问题：老师能向学生说明：老师能向学生说明“ “1/21/2更简洁、更科更简洁、更科 学学” ”吗？吗？ 生活数学生活数学学校数学？学校数学？ 生活数学生活数学对对对对“ “一半一半” ”的表示的表示 生活数学与学校数学之生活数学与学校数学之间间间间的的鸿鸿鸿鸿沟沟 关注差异，重关注差异，重视视视视沟通沟通数学化数学化 6. 6.过早、过快地将学生的分数表征限过早、过快地将学生的分数表征限 制于符号这一方式有什么问题？制于符号这一方式有什么问题？ 课本中的多元外在表征课本中的多元外在表征 实物操作实物操作切西瓜、苹果、月饼；切西瓜、苹果、月饼； 模型操作模型操作搭积木、折纸；搭积木、折纸； 喂养鸽子的盒子兼具实物与模型的特点；喂养鸽子的盒子兼具实物与模型的特点； 积木、地毯还隐含着线段图、面积图；积木、地毯还隐含着线段图、面积图； 周边的树木可以作为外在表征的实物。周边的树木可以作为外在表征的实物。 师（指着黑板上学生写的文字、画的线段和图 画）老师想和你们商量一下，这些图、线段和文 字都表示把一个物体平均分成两份，表示其中的 一份。如果你认为“1/2”这个分数，能表示你的 意思，就可以擦掉你所写的；如果你认为你的表 现方法更好，也可以保留意见。 （很多同学纷纷跑上去擦掉自己写的文字、画 的图与线段，只有一位同学坚持认为自己画的图 更好，老师尊重了他的意见，并把这幅桃子图框 起来保留在黑板上） 教师对学生的要求教师对学生的要求 生生 5 5 ：我爸爸买了：我爸爸买了100100个鸡蛋，打碎了个鸡蛋，打碎了1 1个，打碎了的正好个，打碎了的正好 占这些鸡蛋的占这些鸡蛋的1/1001/100。 （师顺手把师顺手把1/1001/100写到了黑板上。并特意把坚持写到了黑板上。并特意把坚持用画图的方用画图的方 法表示分数的哪位同学请上来）法表示分数的哪位同学请上来） 师：师：1/1001/100该怎样用你喜欢的画图方法表示呢？请你试试看该怎样用你喜欢的画图方法表示呢？请你试试看 。 （只见这位同学认真地画着，画着画着他停了，扬起小脸只见这位同学认真地画着，画着画着他停了，扬起小脸 对老师说，这种方法太麻烦了，还是用分数表示好。边说边对老师说，这种方法太麻烦了，还是用分数表示好。边说边 把自己画在黑板上的桃子图擦掉。把自己画在黑板上的桃子图擦掉。） 教师在课堂一直采用多元外在表征教师在课堂一直采用多元外在表征 表示表示“ “半个桃子半个桃子” ” “ “分月饼分月饼” ” 用图形表示分数用图形表示分数 折分数折分数 用分数说一句话用分数说一句话 用线段图表示分数用线段图表示分数 认知结构中的元素认知结构中的元素 1 1）数学知识的外部表征）数学知识的外部表征 2 2）数学思维的媒介）数学思维的媒介内在表征（心理表内在表征（心理表 象）象） 3 3）心理表象与定义的关系）心理表象与定义的关系 JanvierJanvier认为多元表征是指同一数学对象的认为多元表征是指同一数学对象的 不同表示形式：不同表示形式： 可以是心理的、主观的东西，这叫内在表征（可以是心理的、主观的东西，这叫内在表征（Internal Internal RepresentationRepresentation）或心智表征（）或心智表征（Mental RepresentationMental Representation）, ,譬譬 如个体在头脑中建构数学对象的心像（如个体在头脑中建构数学对象的心像（Mental ImagesMental Images）等；）等； 表征也可以是外在于人脑的、客观世界的东西，这叫外表征也可以是外在于人脑的、客观世界的东西，这叫外 在表征（在表征（External RepresentationExternal Representation），譬如言语、文字、符），譬如言语、文字、符 号、图片、具体物、活动或实际情境等号、图片、具体物、活动或实际情境等 HiebertHiebert和和CarpenterCarpenter： 外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体 物、活动或实际情境等形式存在的表征。物、活动或实际情境等形式存在的表征。 内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观 察的心智表征或学习者拥有的心智结构。察的心智表征或学习者拥有的心智结构。 学习者通过外在表征可以表达出自己的想法学习者通过外在表征可以表达出自己的想法 而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进行而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进行 想象、推理等思维活动。想象、推理等思维活动。 HiebertHiebert和和CarpenterCarpenter： 外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体 物、活动或实际情境等形式存在的表征。物、活动或实际情境等形式存在的表征。 内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观 察的心智表征或学习者拥有的心智结构。察的心智表征或学习者拥有的心智结构。 学习者通过外在表征可以表达出自己的想法学习者通过外在表征可以表达出自己的想法 而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进行而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进行 想象、推理等思维活动。想象、推理等思维活动。 GoldinGoldin： 外在表征是从传统的数学符号系统（如数轴、笛外在表征是从传统的数学符号系统（如数轴、笛 卡儿坐标系）到结构性的学习情境（如包含具体操卡儿坐标系）到结构性的学习情境（如包含具体操 作活动的数学学习情境、基于电脑的微观学习环境作活动的数学学习情境、基于电脑的微观学习环境 ）。）。 内在表征则指学习者对于数学对象的意义赋予与内在表征则指学习者对于数学对象的意义赋予与 建构，包括学习者的言语语义、心像、视空间表征建构，包括学习者的言语语义、心像、视空间表征 、计划监控策略及启发法、数学的情感表征系统等、计划监控策略及启发法、数学的情感表征系统等 。 1 1）数学知识的外部表征）数学知识的外部表征 刻画数学对象的每种表征具有各自的特点与功能 ： 口语、书写文本、数学公式和逻辑表示等表征可以任意 表达，但与约定内容紧密相关，而且包含反映关系的各种符 号。能描述和表达抽象的、逻辑的意义，这些表征既是人脑 左半球的功能特点，也是左半球发展的外在促进。 实物模型、图形、图表、图像等不含有反映关系的各种 符号，但却描绘了具体的、形象的、直觉的意义，便于人们 较为快捷地“可视化” 数学的整体结构和意义，这些表征既是 人脑右半球的功能特点，也是右半球发展的外在促进。 不同的表征在表示信息上可能是等效的，但在思维运演 和交流等功能上并不等效：实物模型、图形等表征适合于形 象，直觉思维等非逻辑思维，有助于创新思维的培养；文字 、符号等表征适合于逻辑思维，有助于逻辑、理性思辨的培 养。 很多数学对象的具体表征具有优先性和典型性。如，表 征“数”的概念，阿拉伯数字比较罗马数字具有优先性和典型 性。但有时优先性和典型性却扮演负面的影响。如，标准的 几何图形或数学符号表达容易使学习者依赖典型。 总之，数学对象的多元表征的特征，在外在结构形式 上如同冰山；在内容上，表征的丰富性以及相互联系性构成 知识的网络结构；在方法上，表征间的转换或转译体现了逻 辑思维与非逻辑思维的互补。 KellerKeller和和HirschHirsch：数学对象的多元外在表征能够：数学对象的多元外在表征能够 具体形象地凸显一个数学对象的多元外在属性；能具体形象地凸显一个数学对象的多元外在属性；能 强化数学对象复杂性的一面，同时也可能淡化其复强化数学对象复杂性的一面，同时也可能淡化其复 杂的一面；能够便于学习者对不同表征的认知联接杂的一面；能够便于学习者对不同表征的认知联接 。 Bruner:Bruner:数学对象有三种表征，即活动性表征数学对象有三种表征，即活动性表征 图象性表征图象性表征符号性表征。符号性表征。 数学知识的外部表征数学知识的外部表征( (LeshLesh) ) 它们之间不一定存在先后的发展顺序，主它们之间不一定存在先后的发展顺序，主 要应重视它们之间的转换与相互影响，因为要应重视它们之间的转换与相互影响，因为 这种转换与影响对于学生的概念形成和理解这种转换与影响对于学生的概念形成和理解 有重要的意义。有重要的意义。 知识的外部表征及其转换和联系，将共同知识的外部表征及其转换和联系，将共同 参与学生的思考活动，被他们选取、改造和参与学生的思考活动，被他们选取、改造和 适应，转变为心理上的表征。适应，转变为心理上的表征。 基于表征符号的本质差异，认知心理学家将外在表征分为基于表征符号的本质差异，认知心理学家将外在表征分为 ：叙述性表征与描述性表征两大类。两种表征具有各自的特：叙述性表征与描述性表征两大类。两种表征具有各自的特 点与功能：点与功能： 叙述性（言语化）表征，其本质为抽象符号，通过言语叙述性（言语化）表征，其本质为抽象符号，通过言语 对被表征的对象进行抽象的描述。如，口语、书写文本、数对被表征的对象进行抽象的描述。如，口语、书写文本、数 学公式、逻辑表示等。这一类表征与约定内容紧密相关，而学公式、逻辑表示等。这一类表征与约定内容紧密相关，而 且包含反映关系的各种符号，能够描述和表达抽象的、逻辑且包含反映关系的各种符号，能够描述和表达抽象的、逻辑 的意义；的意义； 描述性（视觉化）表征，其本质为直观模式，通过图式描述性（视觉化）表征，其本质为直观模式，通过图式 元素对被表征的对象进行形象的描绘。如，实物模型、图形元素对被表征的对象进行形象的描绘。如，实物模型、图形 、图表、图像等。这一类表征描绘了具体的、形象的、直觉、图表、图像等。这一类表征描绘了具体的、形象的、直觉 的意义，便于人们较为快捷地的意义，便于人们较为快捷地“ “可视化可视化” ”数学的整体结构和意数学的整体结构和意 义。义。 比较而言，叙述性表征适合于逻辑思维，有助于逻辑比较而言，叙述性表征适合于逻辑思维，有助于逻辑 、理性思辨的培养；描述性表征适合于形象、直觉思维，有、理性思辨的培养；描述性表征适合于形象、直觉思维，有 助于创新思维的培养。助于创新思维的培养。 多元表征学习模型多元表征学习模型 2 2）数学思维的媒介）数学思维的媒介心理表象心理表象 思维中信息的形态思维中信息的形态 uu在定义和图形两者中，人们更倾向于利用一在定义和图形两者中，人们更倾向于利用一 些图形作为概念的代表，并用它们表示概念。些图形作为概念的代表，并用它们表示概念。 uu记忆中存贮的信息的形式有三种既不排斥、记忆中存贮的信息的形式有三种既不排斥、 也不包含的可能性：语言文字、命题；图画；也不包含的可能性：语言文字、命题；图画； 既非词句，也非图画。既非词句，也非图画。 uuKruteskiiKruteskii：语言：语言- -逻辑方式与视觉逻辑方式与视觉- -图形方式图形方式 ，导致三类学生（分析型、几何型、协调型），导致三类学生（分析型、几何型、协调型） uu相应于相应于“ “直观直观” ”、“ “几何型几何型” ”思维方式的具体表思维方式的具体表 现，心理学上有一个概念现，心理学上有一个概念- -表象。表象。 uu心理表象的存在性心理表象的存在性- -数学家的内省数学家的内省 HadamardHadamard：数学领域中的发明心理学：数学领域中的发明心理学 EulerEuler：解释演绎的特性：解释演绎的特性 PiagetPiaget：直观对于发现必不可少：直观对于发现必不可少 HilbertHilbert：数学研究两种趋势：抽象与直观：数学研究两种趋势：抽象与直观 GriffithsGriffiths：数学中最常见的思维媒介是数学结：数学中最常见的思维媒介是数学结 构的模型和实例构的模型和实例 BrownBrown：学生常用的五种意象：具体意象、：学生常用的五种意象：具体意象、 记忆意象、动觉意象、动态意象、模式意象。记忆意象、动觉意象、动态意象、模式意象。 DescartesDescartes：意象本身不会产生科学，但在：意象本身不会产生科学，但在 某些情况下，我们还是要求助于它。某些情况下，我们还是要求助于它。 PiagetPiaget：表象的三种类型：表象的三种类型 由内化的模仿活动形成的；由内化的模仿活动形成的； 通过基本的思想实验建立的；通过基本的思想实验建立的； 思维运算的动态符号。思维运算的动态符号。 uu心理表象的特点心理表象的特点基本特征基本特征 表象是相对形象、具体的表象是相对形象、具体的 表象具有综合性、整体性表象具有综合性、整体性 表象具有不全面、不精确、不深刻的弱表象具有不全面、不精确、不深刻的弱 点点 表象有一个发展过程表象有一个发展过程 表象因人而异、因事而异表象因人而异、因事而异 思维表象如何在抽象与直觉之间维持思维表象如何在抽象与直觉之间维持 一种平衡，既能比较直观地表达对象，又尽一种平衡，既能比较直观地表达对象，又尽 可能不遗漏和不歪曲定义所规定的人工对象可能不遗漏和不歪曲定义所规定的人工对象 的性质，是学习中必须及时解决的问题。的性质，是学习中必须及时解决的问题。 3 3）心理表象与定义的关系心理表象与定义的关系 表象是最活跃的心理因素表象是最活跃的心理因素 VinnerVinner: :内部信息更多地表示为与概念内部信息更多地表示为与概念 有关系的性质和心理图像的组合。有关系的性质和心理图像的组合。 理解的要素理解的要素:“:“建构理解就是建构表象建构理解就是建构表象 ” 得益于表象的具体、形象的特点，思维得益于表象的具体、形象的特点，思维 将可以运转得迅速灵活。形成好的概念表将可以运转得迅速灵活。形成好的概念表 象，会对把握和理解概念有帮助。象，会对把握和理解概念有帮助。 定义：建构概念的脚手架定义：建构概念的脚手架 工具工具 VinnerVinner: :获得概念就是形成概念表象，获得概念就是形成概念表象， 用心学习定义不保证理解。用心学习定义不保证理解。 FreudenthalFreudenthal: :概念形成主要参考的是概念形成主要参考的是 经验现象和事实。经验现象和事实。 数学教师创造理解：将数学概念的抽数学教师创造理解：将数学概念的抽 象定义的含义转换成易于学生理解和运用的象定义的含义转换成易于学生理解和运用的 适当的心理表象，帮助学生灵活地掌握表象适当的心理表象，帮助学生灵活地掌握表象 。 概念活动的过程分析概念活动的过程分析 定义与表象是概念这枚硬币的两个面，它们定义与表象是概念这枚硬币的两个面，它们 各有侧重，又互相补充，相辅相成，在帮助学生形各有侧重，又互相补充，相辅相成，在帮助学生形 成与运用概念方面共同发挥作用。成与运用概念方面共同发挥作用。 定义以语言为途径，对概念作逐字逐句的界定义以语言为途径，对概念作逐字逐句的界 定，规定内涵，具有抽象性和严密性。定，规定内涵，具有抽象性和严密性。 表象利用直观形象为工具，象征性地代表概表象利用直观形象为工具，象征性地代表概 念，在回忆、加工时显得简洁明快，约束较小。念，在回忆、加工时显得简洁明快，约束较小。 定义和表象互相影响，互相促进。定义和表象互相影响，互相促进。 理想的思考过程应当既借助于表象这个直观思维理想的思考过程应当既借助于表象这个直观思维 的媒介，减轻思维的负担，又参考定义，避免或纠的媒介，减轻思维的负担，又参考定义，避免或纠 正可能发生的错误。正可能发生的错误。 在学校数学教学这样一个特殊的在学校数学教学这样一个特殊的“学术场合学术场合”中中 ，合理地利用两类工具，平衡表象与定义之间的关，合理地利用两类工具，平衡表象与定义之间的关 系，能使学习轻松、