复变函数—课后答案习题四解答.pdf

习题四解答 1下列数列 n 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1） 1i 1i n n n + = ；2） i 1; 2 n n =+ 3） i ( 1); 1 n n n = + + 4）；5） i/2n n e = i/2 1 n n e n = 解 1） 2 22 1i12 i 1i11 n nnn nnn + =+ + ， 又 2 2 12 lim1,lim0 11 nn nn nn 2 = = + n ， 故收敛， lim1 n n = 2） i2 1 25 n n i n e =+= ，又 2 lim0 5 n i n e = ，故 n 收敛，lim0 n n = 3）由于 n 的实部 ( 1)n发散，故 n 发散 4）由于 i/2 cosisin 22 n n nn e =，其实部、虚部数列均发散，故 n 发散 5） i/2 111 cosisin 22 n n nn e nnn =，知 11 limcos0,limsin0 22 nn nn nn =， 故 n 收敛，lim0 n n = 2证明： 0,| |1, lim 1,1, | |=1,1. n n = = 不存在， 3判断下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1） 1 in n n = ； 2） 2 i ln n n n = ； 3） 1 (6+5i) 8 n n n = ； 4） 2 cosi 2n n n = 。 解 1）由icosisin 22 n nn =+， 1 cos 2 n n n = 与 1 sin 2 n n n = 为收敛的交错项实级数， 所以 1 in n n = 收敛，但 i1 n nn =，故 1 in n n = 发散，原级数条件收敛； 1 2）与 1）采用同样的方法，并利用 11 (2 ln n nn )； 3）因 (6+5i)61 88 n n n = ，而 1 61 8 n n = 收敛，故 1 (6+5i) 8 n n n = 绝对收敛； 4）因，而cosichn =n ch lim0 2n n n ，故 2 cosi 2n n n = 发散。 4下列说法是否正确？为什么？ （1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； （2）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； （3）每一个在连续的函数一定可以在的邻域内展开成 Taylor 级数。 0 z 0 z 解（1）不对。如在收敛圆 =0n n z1 16把下列各函数在指定的圆环域内展开成 Laurent 级数。 （1） ()()21 1 2 +zz ，2|1 1 0 11 (1) n n n k k zkz z z + = = 在上式中令 i ze =， ii1 0 1 () n n n k eke + = = () 2 0 cosisin cos(1)isin(1) 1 2 cos nn n k knkn kk = =+ + ，即 分离实部和虚部即得结论。 19如果为正向圆周|C3z =，求积分( ) C f z dz 的值.设( )f z为 1） 1 (2z z + ) ； 2） 2 (1) z zz + + ； 3） 2 1 (1)z z + ； 4） (1)(2) z zz+ 。 解 1 ( )2 i C f z dzc = 1） 1 2 0 11 111 111 12 ( 1),| 2 (2)222(1)2 n n n n z z z zzzzzzz + = = + 。 故( ) C f z dz 0。 2） 1 1 0 21111 (2)(2)( 1),| (1)(1) n n n z z zz zzzzzz + = + 1z=+=+ + 故( ) C f z dz 2 i。 3） 1 23231 1 1 111 ( 1),| 1 (1)(1) n n n z n z z zzzz = = + 。故( ) C f z dz 0。 11 4） 12 00 11( 1)( 1) 2 ,| 2 (1)(2)(1)(1) nnn nn nn zz z zz zzzzzz = = + 故( ) C f z dz 2 i。 20 试求积分的值， 其中为单位圆| 2 () n n C zdz = ? C1z =内的任何一条不经过 原点的简单闭曲线。 解 2 2 1