计算机软件就是基础软件基础之数据结构-数组.ppt

第二章 常用数据结构及其运 算数组 Date1 主要介绍多维数组的概念及在计算机中的存放，特 殊矩阵的压缩存储及相应运算，广义表的概念和存储结 构及其相关运算的实现。通过学习，要求掌握如下内容 ： 1多维数组的定义及在计算机中的存储表示； 2对称矩阵、三角矩阵、对角矩阵等特殊矩阵在计 算机中的压缩存储表示及地址计算公式； 3稀疏矩阵的三元组表示及转置算法实现； 4稀疏矩阵的十字链表表示及相加算法实现； Date2 多维数组 多维数组的概念 数组是大家都已经很熟悉的一种数据类型， 几乎所有高级语言程序设计中都设定了数组类型 。在此，我们仅简单地讨论数组的逻辑结构及在 计算机内的存储方式。 1一维数组 一维数组可以看成是一个线性表或一个向量 ，它在计算机内是存放在一块连续的存储单元中 ，适合于随机查找。这在线性表的顺序存储结构 中已经介绍。 Date3 2二维数组 二维数组可以看成是向量的推广。例如，设A是一个 有m行n列的二维数组，则A可以表示为： Date4 在此，可以将二维数组A看成是由m个行向量 X0，X1， ，Xm1T组成，其中，Xi=( ai0, ai1, .,ain1)， 0im-1；也可以将二维数组A看成是 由n个列向量y0, y1, ,yn1组成，其中 yi=(a0i, a1i, ,am1i)，0in-1。由此可知二维数组中的 每一个元素最多可有两个直接前驱和两个直接后 继（边界除外），故是一种典型的非线性结构。 aijai j1 ai1 j ai j+1 ai+1 j Date5 3多维数组 同理，三维数组最多可有三个直接前驱和三 个直接后继，三维以上数组可以作类似分析。因 此，可以把三维以上的数组称为多维数组，多维 数组可有多个直接前驱和多个直接后继，故多维 数组是一种非线性结构。 多维数组在计算机内的存放 怎样将多维数组中元素存入到计算机内存中 呢？由于计算机内存结构是一维的（线性的）， 因此，用一维内存存放多维数组就必须按某种次 序将数组元素排成一个线性序列，然后将这个线 性序列顺序存放在存储器中，具体实现方法在下 一节介绍。 Date6 1存放规则 行优先顺序也称为低下标优先或左边下标优先于右 边下标。具体实现时，按行号从小到大的顺序，先将第 一行中元素全部存放好，再存放第二行元素，第三行元 素，依次类推 在BASIC语言、PASCAL语言、C/C+语言等高级 语言程序设计中，都是按行优先顺序存放的。例如，对 刚才的Amn二维数组，可用如下形式存放到内存：a00， a01,a0n1，a10，a11，.， a1 n1，am1 0 ， am1 1， ，am1 n1。即二维数组按行优先存放到内存后，变成了一 个线性序列（线性表）。 因此，可以得出多维数组按行优先存放到内存的规 律：最左边下标变化最慢，最右边下标变化最快，右边 下标变化一遍，与之相邻的左边下标才变化一次。因此 ，在算法中，最左边下标可以看成是外循环，最右边下 标可以看成是最内循环。 Date7 2地址计算 由于多维数组在内存中排列成一个线性序列 ，因此，若知道第一个元素的内存地址，如何求 得其他元素的内存地址？我们可以将它们的地址 排列看成是一个等差数列，假设每个元素占l个字 节，元素aij 的存储地址应为第一个元素的地址加 上排在aij 前面的元素所占用的单元数，而aij 的 前面有i行(0i-1)共in个元素，而本行前面又有j 个元素，故aij的前面一共有in+j个元素，设a00 的内存地址为LOC(a00)，则aij的内存地址按等差 数列计算为LOC(aij)=LOC(a00)+（in+j）l。同 理，三维数组Amnp按行优先存放的地址计算公 式为：LOC(aijk)=LOC(a000)+(inp+jp+k)l。 Date8 同理，三维数组Amnp按行优先存放的地 址计算公式为： LOC(aijk)=LOC(a000)+(inp+jp+k)l。 Date9 列优先顺序 1存放规则 列优先顺序也称为高下标优先或右边下标优先于左边下 标。具体实现时，按列号从小到大的顺序，先将第一列中元 素全部存放好，再存放第二列元素，第三列元素，依次类推 在FORTRAN语言程序设计中，数组是按列优先顺序存 放的。例如，对前面提到的Amn二维数组，可以按如下的形 式存放到内存：a00， a10， am10， a01，a11， ， am1 1 ， a0 m1，a1m1，.， am1 n1。 即二维数组按列优先存 放到内存后，也变成了一个线性序列（线性表）。 因此，可以得出多维数组按列优先存放到内存的规律： 最右边下标变化最慢，最左边下标变化最快，左边下标变化 一遍，与之相邻的右边下标才变化一次。因此，在算法中， 最右边下标可以看成是外循环，最左边下标可以看成是最内 循环。 Date10 2地址计算 同样与行优先存放类似，若知道第一个元素 的内存地址，则同样可以求得按列优存放的某一 元素aij的地址。 对二维数组有： LOC(aij)=LOC(a00)+(jm+i)l 对三维数组有： LOC(aijk)=LOC(a000)+(kmn+jm+i)l Date11 二维动态数组的存储方式也称作间接地址方 式。间接地址是存储的数据元素为某个数据元素 的地址（或称指针）。间接地址有单数据和数组 两种情况，单数据的间接地址就是C语言中的指 针的指针；数组的间接地址通常称作指针数组， 即每个数组元素中存放的是指针类型的数据。指 针数组在数据结构的存储结构中较为常见。指针 数组中的地址（或称指针）可以是一个数组的首 地址，也可以是一个链表的头指针。二维动态数 组的指针数组中存放的是一个一维动态数组的首 地址。 Date12 二维动态数组的全部存储空间不是一次 申请的，所以它的每一维数组在物理上是 连续的，而全部二维动态数组在物理上不 一定是连续的。如图示： A0 A1 A2 A A00 A03 A20 A23 Date13 静态数组和动态数组的对比 静态数组： int a6; int I,n=6; for (I=0;Ij时，交换i与j即可 。故sk与aij的对应关系为： i*n +ji 当ij k= j*n +ij 当ij Date22 Date23 2、三角矩阵 下三角矩阵 下三角矩阵的压缩存放与对称矩阵用下 三角形式存放类似，但必须多一个存储单元存放 上三角部分元素，使用的存储单元数目为 n(n+1)/2+1。故可以将nn的下三角矩阵压缩存 放到只有n(n+1)/2+1个存储单元的向量中，假设 仍按行优先存放，这时sk与aij的对应关系为 ： i(i+1)/2+j ij k= n(n+1)/2 ij Date24 3、对角矩阵 我们仅讨论三对角矩阵的压缩存贮，五对角矩阵 ，七对角矩阵等读者可以作类似分析。 在一个nn的三对角矩阵中，只有n+n1+n1 个非零元素，故只需3n2个存储单元即可，零元已不 占用存储单元。 故可将nn三对角矩阵A压缩存放到只有3n 2个存储单元的s向量中，假设仍按行优先顺序存放， 则： sk与aij的对应关系为： 3i1 当 i=j+1 k= 3i 当i=j 3i+1 当i=j1 Date25 稀疏矩阵 在上节提到的特殊矩阵中，元素的分布呈现某种规 律，故一定能找到一种合适的方法，将它们进行压缩存 放。但是，在实际应用中，我们还经常会遇到一类矩阵 ：其矩阵阶数很大，非零元个数较少，零元很多，但非 零元的排列没有一定规律，我们称这一类矩阵为稀疏矩 阵。 按照压缩存储的概念，要存放稀疏矩阵的元素，由 于没有某种规律，除存放非零元的值外，还必须存贮适 当的辅助信息，才能迅速确定一个非零元是矩阵中的哪 一个位置上的元素。下面将介绍稀疏矩阵的几种存储方 法及一些算法的实现。 Date26 稀疏矩阵的存储 1、三元组表 在压缩存放稀疏矩阵的非零元同时，若 还存放此非零元所在的行号和列号，则称 为三元组表法，即称稀疏矩阵可用三元组 表进行压缩存储，但它是一种顺序存贮（ 按行优先顺序存放）。一个非零元有行号 、列号、值，为一个三元组，整个稀疏矩 阵中非零元的三元组合起来称为三元组表 。 Date27 此时，数据类型可描述如下： define NUM (矩阵中非零元的最大个数） typedef struct int i , j; /*非零元行、列号*/ elemtype d; /*非零元值*/ tupletype; /*三元组定义*/ typedef struct /*定义稀疏矩阵*/ int md,nd ; /*稀疏矩阵行、列数*/ int tu; /*稀疏矩阵非零元个数*/ tupletype Data NUM; tabletype; /*三元组顺序表定义*/ Date28 30007 00-100 -1-2000 00000 00020 113 157 231 311 322 542 稀疏矩阵三元组表示 Date29 三元组顺序表 5 md nd tu 5 6 113 157 231 311 322 542 5 md nd tu 5 6 113 131 232 321 452 517 Datak.i Datak.j Datak.d Dataw.i Dataw.j Dataw.d 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 A B 66 Date30 2、带行指针的链表 把具有相同行号的非零元用一个单链表连接 起来，稀疏矩阵中的若干行组成若干个单链表， 合起来称为带行指针的链表。例如，稀疏矩阵M 的带行指针的链表描述形式见图示。 13573-1 1-12-2 42 Date31 3、十字链表 当稀疏矩阵中非零元的位置或个数经常变动时，三 元组就不适合于作稀疏矩阵的存储结构，此时，采用链 表作为存储结构更为恰当。 十字链表为稀疏矩阵中的链接存储中的一种较好的 存储方法，在该方法中，每一个非零元用一个结点表示 ，结点中除了表示非零元所在的行、列和值的三元组 (i,j,v)外，还需增加两个链域：行指针域(rptr)，用来指向 本行中下一个非零元素；列指针域(cptr) ，用来指向本列 中下一个非零元素。稀疏矩阵中同一行的非零元通过向 右的rptr指针链接成一个带表头结点的循环链表。同一列 的非零元也通过cptr指针链接成一个带表头结点的循链链 表。因此，每个非零元既是第i行循环链表中的一个结点 ，又是第j列循环链表中的一个结点，相当于处在一个十 字交叉路口，故称链表为十字链表。 Date32 ijValue DownRight ijLink DownRight 结点结构 头结点结构 Date33 上述结构描述： typedef struct node int i; int j; struct node *Down; struct node *Right; union elemtype Value; struct node *Link; valorlink; crosstype; Date34 另外，为了运算方便，我们规定行、列循环 链表的表头结点和表示非零元的结点一样，也定 为五个域，且规定行、列、域值为0，并且将所 有的行、列链表和头结点一起链成一个循环链表 。 在行(列)表头结点中，行、列域的值都为0， 故两组