高考数学总复习直通车课件-集合与常用逻辑用语.ppt

数学-集合与常用逻辑用语 知识体系 1.集合是高考的必考内容.高考对集合问题的考查一般有两种形式：一是考 查集合的有关概念、集合之间的关系、集合的运算等，题型以选择题和填空题为 主；二是考查考生对集合语言、集合思想的理解与运用，往往与其他知识融为一 体，题型可以是选择题、填空题，也可以是解答题.其中，集合的特征性质描述 和集合的运算是高考考查的重点，常常会与求函数的定义域和值域、解不等式、 求范围等问题联系在一起. 2.常用逻辑用语主要包含三部分内容：命题以及命题的四种形式、充分必要 条件、量词.本单元内容在高考试题中每年必考，主要体现在三个方面：一是充 分必要条件的推理判断；二是命题的四种形式；三是全称量词与存在量词、全称 命题与特称命题.对于充分必要条件的推理判断问题，一般是以其他的数学知识 为载体，具有较强的综合性；对于全称命题与特称命题，一般是考查对两个量词 的理解，考查两种命题的否定命题的写法，这是考查的热点. 通过对本单元近几年高考试题以及命题立意的发展变化趋势，尤其是新课改地区 的高考试题的分析，复习时宜采用以下应试对策： 1. 在复习中首先要把握基础知识，深刻理解本单元的基本知识点，基本的 数学思想方法，重点掌握集合的概念和运算,掌握充分条件、必要条件和充要条 件的判断和应用. 2. 涉及本单元知识点的高考题既有基本的选择题和填空题，也有小型和大 型的综合题，因此在复习中既要灵活掌握基本题型，又要对有一定难度的大型综 合题进行有针对性的准备. 3. 重视数学思想方法的复习.本单元体现的主要有数形结合、函数与方程、 等价转化等数学思想方法，而且图示法、反证法等数学方法也得到了广泛应用. 第一节 集合 1. 集合的含义与表示 （1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系. （2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法） 描述不同的具体问题. 2. 集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 . （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义. 3. 集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集 与交集. (2)理解在给定集合中的一个子集的补集的含义，会求给定子集的 补集. (3)能使用Venn图表达集合的关系及运算. 1. 元素与集合 （1）集合中元素的三个特征: 确定性 、 互异性 、无序性. （2）集合中元素与集合的关系 文字语言符号语言 属于 不属于 (4)集合的表示法：列举法 、描述法 、Venn图法. 数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集 符号 N N*或N+ Z Q R C (3)常见集合的符号表示 2. 集合间的基本关系表示 表示 关系 文字语言 符号语言 子集A中任意一个元素均为B中的元素 相等A是B的子集且B是A的子集 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，B中至 少有一个元素不是A中的元素 A B 或 B A 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合 的真子集 集合的并集集合的交集集合的补集 符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 意义 x|xA, 或xB x|xA, 且xB 3.集合的基本算法 1. (教材改编题)用适当符号填空. 0 0，1；a,b b,a;0 ; 答案： 2. （2009福州市高中毕业班单科质量检查）集合 A=x|x(x-1)0,B=y|y= ,xR，则AB是（ ） A. (0,2) B. (1,2) C. (0,1) D. (-,0) 解析: 由已知得A=x|0x1，B=y|y0.AB=(0,1) 答案： C 3. （2009福州市高三第二次质检）设集合 A=x|1x2,B=x|xa.若A B,则a的范围是（ ） A. a1 B. a1 C. a2 D. a2 4. （2009全国)设集合A=4,5,7,9,B=3,4,7,8,9, 全集U=AB,则集合 （AB）中的元素共有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 解析: U=AB=3,4,5,7,8,9, 又AB=4,7,9, (AB)=3,5,8. 答案: A 解析: 集合A、B如图所示：，A B,a1. 答案： B 1. 集合中元素的三个基本性质的应用 (1)确定性：任意给定一个对象，都可以判断它是不是给定集合 的元素，也就是说，给定集合必须有明确的条件，依此条件， 可以明确地判定某一对象是这个集合的元素或不是这个集合的 元素，二者必居其一，不会模棱两可. 如：“较大的数”、“著名科学家”等均不能构成集合. 5. 设全集U=1,3,5,7,集合M=1，|a-5|,M U, =5,7,则a的值为（ ） A. 2或-8 B. -8或-2 C. -2或8 D. 2或8 解析: M=5,7,M=1,3,|a-5|=3,a=8或a=2. 答案: D 2. 集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键 即文字语言、符号语言、图象语言的互化. 4. 进行集合的运算时，应把参与运算的集合化到最简形式，再进行运 算，运算时要借助于Venn图、数轴或函数图象等工具. 3. 利用集合间的关系建立不等式求参数范围时，要注意分类讨论思 想和数形结合思想的运用. （3）无序性. （2）互异性：即一个集合中的任何两个元素都应该是不相同的，特别 是含有字母的问题，解题后需进行检验. 5. 注意分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想在集合运算 中的应用. 题型一 集合的基本概念 【例1】已知集合A=m,m+d,m+2d,B=m,mq,mq2,其中m0,且 A=B,求q的值. 解 由A=B可知， 解（1）得q=1;解（2）得q=1,或 又因为当q=1时，m=mq=mq2,不满足集合中元素的互异性， 应舍去，所以 分析 由A=B可知A,B两个集合中的元素相同，观察A,B两个集合中有 一共同元素，则其他两个元素应对应相等，由于情况不确定，需要分 类讨论. 学后反思 本题考查集合元素的基本特征确定性、互异性，切入 点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少. 1. 设A=-4,2a-1, ,B=9,a-5,1-a,已知AB=9，求实数a 的值. 解析: AB=9,9A. (1)若2a-1=9,则a=5,此时A=-4,9,25,B=9,0,-4,AB=9,- 4,与已知矛盾，舍去. （2）若a2=9,则a=3.当a=3时，A=-4,5,9,B=-2,-2,9,B 中有两个元素均为-2,与集合元素的互异性相矛盾，应舍去;当 a=-3时，A=-4, -7,9,B=9,-8,4，符合题意. 综上所述，a=-3. 举一反三 解 先化简集合A=-4,0. 由AB=B，则B A，可知集合B可为 ，或 0，或-4，或-4,0. (1)若B= ，则=4(a+1)2-4(a2-1)0，解得a-1； (2)若0B，代入得a2-1=0 a=1或a=-1， 当a=1时，B=A，符合题意； 当a=-1时，B=0 A，也符合题意. (3)若-4B，代入得a2-8a+7=0 a=7或a=1， 当a=1时，已经讨论，符合题意； 当a=7时，B=-12，-4，不符合题意. 综上可得，a=1或a-1. 题型二 集合之间的关系 【例2】设集合A =x| +4x=0，B =x| +2(a+1)x+a2-1=0，aR，若AB=B ，求实数a的取值范围. 分析 根据A、B间的关系，对B进行分类讨论，然后求解并验证. 学后反思 解决集合间的关系问题，关键是将集合化简，特别是含 有字母参数时，将字母依据问题的实际情况进行合理分类，分别进 行求解，最后综合后得出答案. 2. 设集合A=x|x-a|2，集合B=x|4x+1|9,且 求a的取值范围. 解析： A=x|a-2xa+2,B=x|x2或x ,AB=A,如图所示. a+2 或a-22,a 或a4. 举一反三 题型三 集合的运算 【例3】已知全集I=R,A=x|x24, ,求 (CRA)(CRB). 分析 解决本题的关键： (1)集合B的化简； (2) (CRA)(CRB)=CR(AB)(等价转化). 解 A=x|x2或x-2, AB=x|x-2或x-1. (CRA)(CRB)=CR(AB)=x|-2 x -1 学后反思 本题是集合的运算与解不等式的综合求解问题.解答这类 问题时要注意弄清楚集合中的元素是什么，然后对集合进行化简， 并注意将集合之间的关系转化为直接关系或等价关系进行求解，同 时一定要善于运用数形结合的思想方法帮助分析和运算. 3. 设集合A=x|x-2|2,xR,B=y|y=-x2,-1x2,则 CR(AB)等于( ) A. R B. x|xR,x0 C. 0 D. 解析： 由已知，A=0,4,B=-4,0,AB=0, CR(AB)=x|xR,x0. 答案： B 举一反三 题型四 利用Venn图解决集合问题 【例4】设全集U是实数集R,M=x| 4,N=x|1x3,则图 中阴影部分所表示的集合是( ) A. x|-2x1 B. x|-2x2 C. x|1x2 D. x|x2 分析 首先用集合符号表示出阴影部分，然后对相应集合化简 . 解 依题意，该图形中阴影部分表示的集合应该是N( M) ,而M=x| 4=x|x2或x-2,于是 M=x|-2x2, 因此N( M)=x|1x2. 学后反思 新课标特别指出“能使用Venn图表达集合的关系及运 算”，将对Venn图的要求提高到一个更高的层次，因此我们必须 注意Venn图在表达集合关系和运算中的重要作用.应结合交集、 并集、补集等的定义进行理解. 举一反三 4. （2009江西）已知全集U=AB中有m个元素，（ A)( B)中有n个元素.若AB非空，则AB的元素个数为( ) A. mn B. m+n C. n-m D. m-n 解析: 如图，( A)( B)= (AB).而阴影部分 就表示集合 (AB),阴影部分有n个元素， 而U=AB中有m个元素，AB中有m-n个元素. 答案: D 题型五 新型集合的概念与运算 【例5】(12分)对于集合M,N，定义M-N=x|xM且x N,M N=(M- N)(N-M),设A=y|y=x2-3x,xR,B=y|y=- ,xR,求A B. 分析 充分理解“M-N”与“M N”两种运算法则,然后把A,B两 个集合化到最简，再代入进行计算. 解 由y=x2-3x(xR), 即 得 y=-2x(xR),2x0,-2x0,y0, B=y|y0,6 学后反思 新型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考 的热点问题.在给出新的运算法则的前提下，充分利用已知求 解是关键.集合命题中与运算法则相关的问题，是对映射构建 下的集合与集合、元素与元素之间的运算相关性及封闭性的 研究. 举一反三 5. （2008江西）定义集合运算:A*B=z|z=xy,xA,yB. 设A=1，2，B=0，2，则集合A B的所有元素之和为( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 解析: 依题意，A*B=0,2,4,它的所有元素之和为6. 答案: D 【例】已知集合A=x|x2-3x-100,B=x|m+1x2m-1,若 AB=A,求实数m的取值范围. 错解 由x2-3x-100得-2x5. 欲使B A,只需 ,解得-3m3. m的取值范围是-3m3. 错解分析 因为AB=A,即B A,又A=x|x2-3x-100=x|- 2x5,考虑到“空集是任何集合的子集”这一性质，因此需 对B= 与B 两种情况分别讨论，进而确定m的取值范围. 正解 AB=A,B A. 又A=x|x2-3x-100=x|-2x5, (1)若B= ，则m+12m-1,即m2,此时，总有AB=A,故m2. (2)若B ，则m+12m-1,即m2,由B A得 , 解得-3m3,2m3. 综合(1)、(2)可知,m的取值范围是（-,3. 1. （2009福建）已知全集U=R，集合A=x| -2x0，则 A 等于（ ） A. x|0x2 B. x|0x2 C. x|x0或x2 D. x|x0或x2 解析： 计算可得A=x|x0或x2，CuA=x|0x2. 答案： A 2. （2009泉州市一级达标中学高三期末联考）已知aR，设 集合A=x|x-1|2a- -2，则A的子集个数共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 解析： 设u=- +2a-2,=4-8=-40，u0,aR，A=x|x- 1|0，A= .其子集只有 . 答案： B 3. (2009广东)已知全集U=R，集合M=x|-2x-12和 N=x|x=2k-1,k=1,2,的关系的韦恩（Venn)图如图所示，则 阴影部分所示的集合的元素共有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多 解析: M=x|-1x3，集合N是正奇数集， MN=1,3. 答案: B 4. 已知集合A=x|y= ,B=y|y= ,x0,R是实数集， 则( B)A=（） A. 0,1 B. 0,1) C. (-,0 D. 以上都不对 解析: 集合A=x|y= 表示的是函数的定义域，可得A=0,2 ; 而集合B=y|y= ,x0表示的是函数的值域，显然函数y= ,x0的值域为（1,+）,所以( B)A=(-,10,2= 0,1. 答案: A 5. 集合P=(x,y)|y=k,xR,Q=(x,y)|y= +1,xR,a0且 a1,已知PQ= ，那么实数k的取值范围是（） A. (-,1) B. (-,1 C. (1,+) D. (-,+) 解析: P,Q两个集合都表示点集，画出函数y=k与y= +1的图象 ，由PQ= 知，两函数图象无交点，观察图象可得k1. 答案: B 6. 设A,B为两个非空集合，定义:A+B=a+b|aA,bB，若 A=0,2,5,B=1,2,6,则A+B的子集的个数是（ ） A. B. C. D. 解析: 由题意A+B=1,2,3,4,6,7,8,11,有8个元素,故A+B 的子集的个数是 . 答案: B 7. 已知M=x|x= +2a+4,aR,N=y|y= -4b+7,bR,则 M,N之间的关系为 . 解析: +2a+4=(a+1)2+33,M=x|x3. 又 -4b+7=(b-2)2+33,N=y|y3. M=N. 答案: M=N 8. 已知A=x| -2x-30,B=x|x|a,若B A,则实数a的取 值范围是 . 解析: B,B为非空集合，即a0,由 -2x-30得-1x 3,A=(-1,3). 由|x|a得-axa.B=(-a,a). B A, -a-1, a3, 即a1. 故综上得-10； 0；如果x2，那么x就是有理数；如果x0 ，那么 就有意义. 一定是命题的说法是( ) A. B. C. D. 解析: 满足命题定义，只有不能判断真假. 答案: C 2. (教材改编题）给出如下的命题：对角线互相垂直且相 等的四边形是正方形； =1；如果x+y是整数，那么x,y 都是整数； 3.其中真命题的个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 解析: 正确的只有. 答案: C 3. (2010广东汕头）与命题“若aM,则b M”等价的命 题是( ) A. 若a M，则b M B. 若b M,则aM C. 若a M,则bM D. 若bM,则a M 解析: 原命题与其逆否命题是等价的. 答案: D 4. (2009浙江)已知a,b是实数，则“a0且b0”是 “a+b0且ab0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析: a0,b0时显然有a+b0且ab0，充分性成立；反之 ，若a+b0且ab0，则a,b同号且同为正，即a0,b0,必要 性成立. 答案: C 5. 下列各种说法中，p是q的充要条件的是( ) （1）p:m-2或m6；q:y= +mx+m+3有两个不同的零点； （2）p: =1;q:y=f(x)是偶函数； （3）p:cos =cos ;q:tan =tan ； （4）p:AB=A;q: A. (1)(2) B. (2)(3) C. (3)(4) D. (1)(4) 解析:（2）中由 =1可得f(-x)=f(x)，但y=f(x)的 定义域不一定关于原点对称；（3）中cos =cos 是 tan =tan 的既不充分也不必要条件. 答案: D 1. 在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结 论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系 的相对性，一旦一个命题被定为原命题，也就相应地有了它的“逆命 题”、“否命题”、“逆否命题”. 2. 四种命题真假关系 原命题与它的逆否命题同真同假；原命题的逆命题与否命题互为逆 否命题，同真同假.当一个命题不能直接判断真假时，可通过判断 其逆否命题的真假而得到原命题的真假. 3. 判断命题的充要关系有三种方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法：即利用A B与 B A;B A与 A B;A B与 B A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法 . (3)利用集合间的包含关系判断：若A B，则A是B的充分条件或B是A 的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件. 4. 以下四种说法所表达的意义相同 (1)命题“若p则q”为真; (2)p q; (3)p是q的充分条件; (4)q是p的必要条件. 题型一 四种命题的关系及命题真假的判定 【例1】以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命 题，并判断它们的真假. (1)内接于圆的四边形的对角互补； (2)已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd. 分析 首先应当把原命题改写成“若p，则q”形式，再设法构造其余的三 种 形式命题. 解(1)原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”； 逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”； 否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”； 逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”. 四种命题都正确. 对(2)原命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acb d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“ab，cd”是条件，“a cbd”是结论.显然原命题是正确的. 否命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab或cd，则acbd”(注 意“ab，cd”的否定是“ab或cd”，只需要至少有一个不等即可) ；此命题不正确，a=1,c=1,b=1.5,d=0.5,ab或cd,但a+c=b+d. 学后反思 要注意对大前提的处理以及等价命题之间的真假关系. 试一 试：写出命题“当c0时，若ab，则acbc”的逆命题、否命题、逆否 命题，并分别判断其真假. 逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab，cd”.此命 题不正确，如a+c=b+d=2,可有a=c=1,b=0.8,d=1.2,则ab,cd. 逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd则ab或cd”. 逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若acbd,则ab ，cd两个等式至少有一个不成立”,由原命题为真得此命题显然正确. 举一反三 1. 写出命题“等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式”的 逆命题、否命题、逆否命题. 解析： 方法一：选取“两边乘同一个数”为前提 原命题：若一个式子为等式，两边也乘以同一个数，所得的结果 仍是等式； 逆命题：若一个式子两边都乘同一个数所得结果是等式，则这个 式子是等式； 否命题：若一个式子不是等式，则它的两边都乘以同一个数，所 得结果仍不是等式； 逆否命题：若一个式子两边都乘以同一个数所得的结果不是等式 ，则这个式子不是等式. 方法二：选取“一个式子为等式”为前提 原命题：一个等式，若两边乘以同一个数，则所得结果仍为等式 ； 逆命题：一个等式,若两边分别乘以一个数， 所得结果仍为等式 ，则两边乘的是同一个数； 否命题：一个等式,若两边乘以不同的数，则所得结果不是等式； 逆否命题：一个等式，若两边分别乘以一个数，所得结果不是等 式，则两边乘的不是同一个数. 题型二 两个命题之间充要条件的判定 【例2】用“充分条件、必要条件、充要条件”填空: (1)“a+b0”是“a1”是“ d.则“ab”是“a -cb-d”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析: 由a-cb-d,cd两个同向不等式相加得ab,但cd,ab a- cb-d.例如a=2,b=1,c=-1,d=-3时，a-c0, 1-m-2,（等号不同时成立） 1+m10, 解得0b ，则ab”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有个. 解析: 由题意可知，原命题正确，逆命题错误，所以否命 题错误，而逆否命题正确. 答案: 1 8. 命题“若x,y是奇数，则x+y是偶数”的逆否命题是 ; 它是 命题. 解析：原命题是真命题,所以其逆否命题也是真命题. 答案：若x+y不是偶数，则x,y不都是奇数 真 解析： 因m ,l1 ，若，则有m且l1，故 的一个必要条件是m且l1,排除A.因m， n ,l1,l2 且l1与l2相交，若ml1且nl2，因l1与l2相交，故 m与n也相交，；若，则直线m与直线l1可能为异 面直线，故的一个充分而不必要条件是ml1且nl2，应 选B. 答案： B 9. （2008全国）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个， 如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的 两个充要条件： 充要条件： ; 充要条件: . （写出你认为正确的两个充要条件） 解析：本题为开放性填空题，下面给出了四个充要条件，任写两个即可， 写出其他正确答案也可. 答案： 两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 对角线交于 一点 底面是平行四边形 10. (x-1)(x+2)0的一个必要不充分条件是 . 解析：这是一道开放题，答案不唯一，只要满足x-2或x1均可，但不 可以是-2x1. 答案：x-2(或x1) 11. 写出命题“若m0，则方程 +x-m=0有实数根”的逆否命题，判断其 真假，并加以证明. 解析：原命题的逆否命题是：“若方程 +x-m=0没有实数根，则 m0”.它是真命题. 证明：方程 +x-m=0没有实数根，=1+4m0， m ，m0成立.(也可以证明原命题正确) 12. 已知p: ,q: 0.求p是q的什么条件. 解析： p:A= ; q:B= , 由图知A B,故p是q的充分不必要条件. 第三节 简单的逻辑结构、全称量词与存在量词 1. 了解逻辑联结词 “或”、“且”、“非”的含 义. 2. 理解全称量词与存在量词的意义. 3. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1. 命题pq,pq, 的真假判断 pqpqpq 真真真真假 真假真假假 假真真假真 假假假假真 2. 全称量词 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 “ ”表示. （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题. （3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记 为: xM,p(x)，读作“对任意x属于M,有p(x)成立”. 3. 存在量词 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并 用符号“ ”表示. （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题. （3）特称命题“存在M中的元素 ,使 成立”可用符号简记为: ,读作“存在M中的元素 ”. 4. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定 命题的否定命题 1. 设集合M=x|x2,P=x|x3,那么“xM或xP”是 “xMP”的 （ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析: “xM或xP”不能推出“xMP”，反之可以. 答案: A 2. (教材改编题)已知命题p且q为假命题，则可以肯定( ) A. p为真命题 B. q为假命题 C. p,q中至少有一个是假命题 D. p,q都是假命题 解析: 利用真值表判断. 答案: C 3. 下列命题中正确的是（） A. 对所有正实数t，有 t B. 不存在实数x，使x4，且 +5x-24=0 C. 存在实数x，使|x+1|1且x20 D. 不存在实数x，使 +x+1=0 解析: A不正确，如t= ，有 t;B不正确，如x=34,而 x2+5x-24=0;D不正确. 令f(x)= +x+1,则f(-1)=-10,又因为函数f(x)的 定义域为R,所以f(x)= +x+1在(-1,0)上必存在零点，即存 在实数x使 +x+1=0. 答案: C 4. （2009福建省普通高中毕业班单科质量检查）命题： “ xR, -x+20”的否定是（ ） A. xR, -x+20 B. xR, -x+20 C. xR, -x+20 D. xR, -x+20 解析： 全称命题的否定是特殊命题. 答案： C 1. 命题：“pq”,“pq”,“ ”的真假判断方法 （1）“pq”形式复合命题判断真假的方法是：“一 假必假”. (2)“pq”形式复合命题判断真假的方法是:“一真必 真”. (3)“ ”形式复合命题判断真假的方法是:“真假相 对”. 5. （2009泉州市一级达标中学高三期末联考）有关命题的说法错误的是（ ） A. 命题“若 -3x+2=0则x=1”的逆否命题为“若x1， 则 -3x+20”； B. 命题“sinx1”是一个复合命题，而且是个真命题； C. 若( p)( q)为真命题，则命题p、q至少有一个为真命题； D. 对于命题p xR，使得 +x+10.则 p xR，均有 +x+10 解析： C中若（ p）( q)为真命题，则命题p、q至少有 一个为假命题. 答案： C 2. 判断复合命题真假的步骤 （1）首先确定复合命题的结构形式; （2）判断其中简单命题的真假; （3）根据其真值表判断复合命题的真假. 3. 含有一个量词的命题的否定（全称命题与特称命题）,常见 的有: “对所有x成立”的否定是“存在某x不成立”; “对任意x不成立”的否定是“存在某x成立”; “至少有一个”的否定是“没有一个”; “至多有一个”的否定是“至少有两个”; “至少有n个”的否定是“至多有n-1个”; “至多有n个”的否定是“至少有n+1个”. 4. 复合命题的否定 （1）“ p”的否定是“p”. （2）“p或q”的否定是“ p且 q”. （3）“p且q”的否定是“ p或 q”. 题型一 判断含有逻辑联结词的命题的真假 【例1】分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假. (1)5或7是30的约数; (2)菱形的对角线互相垂直平分; (3)8x52无自然数解. 分析 由含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的形式及其真 值表直接判断. 学后反思 判断含有逻辑联结词的命题的真假的一般步骤: (1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式； （2）判断简单命题的真假； （3）根据真值表判断复合命题的真假. 解析: (1)p或q，p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真).为真命 题. (2)p且q，p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分 (真). 为假命题. (3)非p, p： 2x30有实根(假).为真命题. 举一反三 1. 分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命 题的真假. (1)8或6是30的约数； (2)矩形的对角线互相垂直平分； (3)方程 -2x30没有实数根. 题型二 全称命题、特称命题及其真假判断 【例2】判断下列语句是不是命题，如果是，说明其是全称命题还是特称命 题,以及真假情况，并用符号“ ”或“ ”来表示. (1)有一个向量a，a的方向不能确定; (2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函数又是偶函数; (3)对任意实数a,b,c,方程 都有解; (4)在平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗? 分析 根据语句中所含联结词判断其是何命题. 解 (1)(2)都是真命题，(3)是假命题，(4)不是命题.其中(1)(2)是 特称命题，(3)是全称命题. 上述命题用符号“ ”或“ ”表示为： （1） a向量，使a的方向不能确定； （2） f(x)函数,使f(x)既是奇函数又是偶函数； （3） a,b,cR,方程 都有解. 学后反思 含有“所有的”、“任意一个”、“任意的”、“一切的”、“ 每一个”、“任给”等全称量词的命题，叫做全称命题.含有“存在一个” 、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”、“存 在着”等存在量词的命题，叫做特称命题. 要判定全称命题“ xM, p(x) ”是真命题，需要对集合M中每个元素 x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素 ,使得 不成立，那 么这个全称命题就是假命题.要判定特称命题 “ xM, p(x)”是真命题， 只需在集合M中找到一个元素 ,使 成立即可;如果在集合M中，使 p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题. 举一反三 2. 用符号“ ”与“ ”表示含有量词的命题,并判断真 假. （1）实数的平方大于等于0; （2）存在一对实数，使2x3y30成立. 解析：（1） xR， 0，真命题; (2） xR，yR，2x3y30，真命题. 题型三 全称命题、特称命题的否定 【例3】写出下列命题的否定并判断真假. （1）p:对任意的正数x， x-1； （2）q:三角形有且仅有一个外接圆; （3）r:存在一个三角形，它的内角和大于180; （4）s:有些质数是奇数. 分析 以上这几个命题中（1）（2）是全称命题，（3）（4）是特称命 题，在否定时既要对结论否定，又要对量词否定. 学后反思 含有全称量词（或存在量词）的命题的否定与命题的否定有着 一定的区别，含有全称量词（或存在量词）的命题的否定是将其全称量词 改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定；而命题的否 定，则直接否定结论即可.从命题形式上看，含有全称量词的命题的否定 是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命 题. 解（1） :存在正数x，xx-1,真命题. （2） :存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆，假命题. （3) :所有三角形的内角和小于或等于180，真命题. （4） :所有的质数都不是奇数，假命题. 举一反三 3. 下列命题的否定表述正确的有 . p :面积相等的三角形是全等三角形； ：面积相等的三角形不是全等三角形. p ：有些质数是奇数； ：所有的质数都不是奇数. 应为：有些面积相等的三角形不是全等三角形； 应为 ： 解析： 答案： 题型四 对复合命题真假判断的综合应用 【例4】(12分)已知命题p：方程 +ax-2=0在-1,1上有解 ；命题q：只有一个实数 x满足不等式 +2ax+2a0，若命题“p 或q”是假命题，求实数a的取值范围. 分析 首先对所给命题进行化简，然后再通过对含逻辑联结 词的命题的真假判断的知识给予讨论解决. 解 由 +ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,2 显然a0,x=- 或x= .4 x-1,1，故 1或 1, |a|1.6 “只有一个实数x满足 +2ax+2a0”，即抛物线y= +2ax+2a与x轴只有一个交点，=4 -8a=0,a=0或 2.8 命题“p或q”为真命题时,|a|1或 a=0.10 命题“p或q”为假命题, a的取值范围为-1a0或0a1.12 学后反思 解决这类问题时，关键在于对所给命题的等价转 化.它所涉及的命题往往是方程根的问题或不等式解的问题， 所以首先要熟知它们的等价转化，化到最简后，再应用真值 表以及数轴或函数图象进行分析. (3)当q和p都是真命题时，得-3m-2. 综上，m的取值范围是m-1. 解析:“p或q”为真命题，则p为真命题，或q为真命题，或p和q都 是真命题. (1)当p为真命题时，则 得m-2; (2)当q为真命题时，则 ,得-3m-1; 举一反三 4. 命题p:方程 +mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q:方程 4 +4(m+2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题，求m的取值范围 . 【例】若p: -2x-30;q: 0，则 p是 q的什么条件. 错解 p: -2x-30 -1x3. q: 0 -20 x3, p:-1x3. q: 0 x3, q:-2x3. p q,但 q / p, p是 q成立的充分不必要条件. 1. 若命题pq为假，且 为假，则( ) A. p或q为假 B. q假 C. q真 D. p假 答案：B 解析： 为假，则p为真，而pq为假，得q为假. 2. 若条件p:xAB,则 是( ) A. xA且x B B. x A或x B C. x A且x B D. xAB 答案：B 解析： :x AB,x至少不属于A,B中的一个. 3. （2009福州市高中毕业班单科质量检查）下列有关命题的说法正确 的是（ ） A. 命题“若 =1，则x=1”的否命题为：“若 =1，则x1”. B. “x=-1”是“ -5x-6=0”的必要不充分条件. C. 命题“ xR”使得“ +x+10”的否定是：“ xR，均有“ +x+1 0”. D. 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题. 解析： A中命题的否命题应为“若 1，则x1，”A错；B中x=-1是 -5x-6=0的充分条件B错；C中命题的否定应为“ xR，有 +x+10”.C错. 答案： D 4. 如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论： 命题“p且q”是真命题；命题“p且q”是假命题； 命题“p或q”是真命题；命题“p或q”是假命题. 其中正确的结论是 （） A. B. C. D. 解析: “非p或非q”是假命题 “非p”与“非q”均为假命题 ,即p和q均为真命题.故“p或q”和“p且q”都是真命题. 答案: A 5. （2009厦门一中）若命题“ xR, +(a-1)x+10”是假命 题，则实数a的取值范围是（ ） A