电大工程数学

1 电大天堂【 工程数学 】形成性考核册答案 工程数学作业（一）答案 （满分 100 分） 第 2 章 矩阵 （一）单项选择题（每小题 2 分，共 20 分） 设 a a ab b bc c 31 2 31 2 32 ，则a a aa b a b a bc c 31 1 2 2 3 31 2 32 3 2 3 2 3 （ D ） A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 若0 0 0 10 0 00 2 0 01 0 01则 a （ A ） A. 12B. 1 C. 12D. 1 乘积矩阵 1 12 41 0 35 2 1中元素 （ C ） A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 设 均为 n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B） A. A B A B 1 1 1 B. ( )A 1 1 C. ( )A B A B 1 1 1 D. ( ) B 1 1 1 设 均为 n 阶方阵， k0 且 k1 ，则下列等式正确的是（ D ） A. A B A B B. AB n A B C. kA k A D. kA k ) 下列结论正确的是（ A） A. 若 A 是正交矩阵，则 A1 也是正交矩阵 B. 若 均为 n 阶对称矩阵，则 是对称矩阵 C. 若 均为 n 阶非零矩阵，则 是非零矩阵 D. 若 均为 n 阶非零矩阵，则 矩阵 1 32 5的伴随矩阵为（ C） A. 1 32 5B. 1 32 5C. 5 32 1D. 5 32 1方阵 A 可逆的充分必要条件是（ B ） A. A0 B. A0 C. A*0 D. A* 0 设 A B C, , 均为 n 阶可逆矩阵，则 ( )1 （ D ） A. ( ) B A 1 B. B C 2 C. A C B 1 1 1( ) D. ( )B C A 1 1 1 设 A B C, , 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ A ） A. ( )A B A 2 2 22 B. ( )A B B 2 C. ( )2 21 1 1 1 B A D. ( )2 2 B A （二）填空题（每小题 2 分，共 20 分） 2 1 01 4 00 0 1 7 1 1 11 11 1 1x 是关于 x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 若 A 为 3 4 矩阵， B 为 2 5 矩阵，切乘积 有意义，则 C 为 5 4 矩阵 二阶矩阵 A 1 10 15 10 51 设 A B 1 24 03 41 2 03 1 4,，则 ( )A B 815 360设 均为 3 阶矩阵，且 A B 3 ，则 272 设 均为 3 阶矩阵，且 A B 1 3, ，则 3 1 2( )A B 3 若 A a 10 1为正交矩阵，则 a 0 矩阵 2 1 24 0 20 3 3的秩为 2 设 A , 是两个可逆矩阵，则 A 121 1211 （三）解答题（每小题 8 分，共 48 分） 设 A B C 1 23 51 14 35 43 1, ,，求 A B ； A C ； 2 3A C ； A B 5 ； ( ) 答案： 81 30 40 66 73 161732 012 22265 1223 77 80151 2156)( A B C 1 2 10 1 21 0 32 1 11 1 43 2 10 0 2, ,，求 C 3 解 ： 10221046200123411102420)( 已知 A B 3 1 01 2 13 4 21 0 21 1 12 1 1,，求满足方程 3 2A X B 中的 X 解 ： 3 2A X B 252112712511234511725223821)3(21写出 4 阶行列式 1 0 2 01 4 3 60 2 5 33 1 1 0中元素 a 2, 的代数余子式，并求其值 答案 ： 0352634020)1( 1441 a 45350631021)1( 2442 a 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵： 1 2 22 1 22 2 1； 1 2 3 42 3 1 21 1 1 11 0 2 6 ； 1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 1 1 解：（ 1） 919292929192929291100010001919292031320323110021020112201203231900630201102012001360630221100010001122212221|2313323212312122913123222 9192929291929292911A 4 （ 2）35141201132051717266221A (过程略 ) (3) 11000110001100011A 求矩阵1 0 1 1 0 1 11 1 0 1 1 0 01 0 1 2 1 0 12 1 1 3 2 0 1的秩 解 ： 000000001110001110110110110101110000111000111011011011011221110011100011101101101101102311210121010011011110110143424131212 3)( （四）证明题（每小题 4 分，共 12 分） 对任意方阵 A ，试证 A A 是对称矩阵 证明： )()( A A 是对称矩阵 若 A 是 n 阶方阵，且 ，试证 A1 或 1 证明 ： A 是 n 阶方阵，且 12 A1 或 1A 若 A 是正交矩阵，试证 A 也是正交矩阵 证明： A 是正交矩阵 1 )()()( 111 即 A 是正交矩阵 工程数学作业（第二次） (满分 100 分 ) 第 3 章 线性方程组 （一）单项选择题 (每小题 2 分，共 16 分 ) 用消元法得 x x xx 32 332 4 102 的解 为（ C ） A. , , 1 0 2 B. , , 7 2 2 C. , , 11 2 2 D. , , 11 2 2 5 线性方程组 x x xx xx 31 32 32 3 263 3 4 （ B ） A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解 向量组 100010001121304, , , ,的秩为（ A） A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 设向量组为 1 2 3 41100001110101111, , ,，则（ B ）是极大无关组 A. 1 2, B. 1 2 3, , C. 1 2 4, , D. 1 A 与 A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（ D） A. 秩 ( )A 秩 ( )A B. 秩 ( )A 秩 ( )A C. 秩 ( )A 秩 ( )A D. 秩 ( )A 秩 ( )A 1 若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（ A ） A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 以下结论正确的是（ D ） A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解 若向量组 1 2, , , 向量组内（ A ）可被该向量组内其余向量线性表出 A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量 9设 A，为 n 阶矩阵， 既是又是的特征值， x 既是又是的属于 的特征向量，则结论（ ）成立 是 特征值 是 A+B 的特征值 是 A B 的 特征值 x 是 A+B 的属于 的特征向量 10设，为 n 阶矩阵，若等式（ ）成立，则称和相似 )( 1 （二）填空题 (每小题 2 分，共 16 分 ) 当 时，齐次线性方程组 x xx 1 200 有非零解 向量组 1 20 0 0 1 1 1 , , , , ,线性 相关 向量组 1 2 3 1 2 0 1 0 0 0 0 0, , , , , , , , , , ,的秩是 设齐次线性方程组 1 1 2 2 3 3 0x x x 的系数行列式 1 2 3 0，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量 1 2 3, , 是线性 相关 的 6 向量组 1 2 31 0 0 1 0 0 , , , , ,的极大线性无关组是 21, 向量组 1 2, , , 1 2, , , 相同 设线性方程组 中有 5 个未知量，且秩 ( )A 3 ，则其基础解系中线性无关的解向量有 个 设线性方 程组 AX b 有解， 它的一个特解，且 的基础解系为 X , ，则 AX b 的通解为 22110 9若 是的特征值，则 是方程 0 的根 10若矩阵满足 1 ，则称为正交矩阵 （三）解答题 (第 1 小题 9 分，其余每小题 11 分 ) 1用消元法解线性方程组 x x x xx x x xx x x xx x x 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 43 2 63 8 5 02 4 124 3 2 解： 2612100090392700188710482319018431001850188710612312314112141205183612314132124131215323 33110004110046150101 2 4420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213 31000101001001020001310004110046150101 2 44200134241441542111 方程组解为31124321有线性方程组 1 11 11 112 为何值时，方程组有唯一解 ?或有无穷多解 ? 解： 22322222)1)(1()1)(2(00)1(110111110110111111111111111132312131 当 1 且 2 时， 3)()( 方程组有唯一解 当 1 时， 1)()( 方程组有无穷多解 7 判断向量 能否由向量组 1 2 3, , 线性表出，若能，写出一种表出方式其中 837102713350256311 2 3, , , 解 ：向量 能否由向量组 321 , 线性表出，当且仅当方程组 332211 解 这里 571000117100041310730110123730136578532, 321 A )()( 方程组无解 不能由向量 321 , 线性表出 计算下列向量组的秩，并且（ 1）判断该向量组是否线性相关 1 2 3 4112343789131303319636, , ,解 ： 000000001800021101131631343393608293711131, 4321 该向量组线性相关 求齐次线性方程组 x x x xx x x xx x x xx x 3 41 2 3 41 2 3 41 2 43 2 05 2 3 011 2 5 03 5 4 0 的一个基础解系 解： 300000007314021145011031407314073140213140535211132152131423212413121 14335 8 000010000143100145010000100021143102114501000030002114310211450123133432212131141 方程组的一般解为0143145432313x ，得基础解系 10143145 求下列线性方程组的全部解 x x x xx x x xx x xx x x 3 41 2 3 41 2 41 2 3 45 2 3 113 4 2 59 4 175 3 6 1 解： 00000000002872140121790156144280287214028721401132511163517409152413113251423212413121214553 0000000000221711012179012141r 方程组一般解为2217112197432431令 13 ， 24 ，这里 1k ， 2k 为任意常数，得方程组通解 00211021210171972217112197212121214321证：任一维向量 4321 , 都可由向量组 00011 ，00112 ，01113 ，11114 线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式 证明：00011 001012 010023 100034 9 任一维向量可唯一表示为 )()()(10000100001000013442331221143214321 ()()( 试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解 证明： 设 为含 n 个未知量的线性方程组 该方程组有解，即 )()( 从而 有唯一解当且仅当 )( 而相应齐次线性方程组 0有零解的充分必要条件是 )( 有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组 0有零解 9设 是可逆矩阵的特征值，且 0 ，试证：1是矩阵 1A 的特征值 证明： 是可逆矩阵的特征值 存在向量 ，使 A 1111 )()()( 11 是矩阵 1A 的特征值 10用配方法将二次型 4332422124232221 2222 化为标准型 解： 4224423232214332422423221 2)(2)(222)( 222423221 )()( 令 211 ， 4232 ， 23 ， 44 即44432332311232221 工程数学作业（第三次） (满分 100 分 ) 第 4 章 随机事件与概率 （一）单项选择题 为两个事件，则（ B）成立 A. ( )A B B A B. ( )A B B A C. ( )A B B A D. ( )A B B A 如果（ C）成立，则事件 A 与 B 互为对立事件 A. B. C. 且 D. A 与 B 互为对立事件 10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前 3 个购买者中恰有 1 人中奖的概率为（ D ） A. C 103 20 7 0 3 . . B. 03. C. 07 032. . D. 3 0 7 0 32 . . 4. 对于事件 ，命题（ C ）是正确的 10 A. 如果 互不相容，则 A B, 互不相容 B. 如果 A B ，则 A B C. 如果 对立，则 A B, 对立 D. 如果 相容，则 A B, 相容 某随机试验的成功率为 )10( 则在 3 次重复试验中至少失败 1 次的概率为（ D ） A. 3)1( p B. 31 p C. )1(3 p D. )1()1()1( 223 B n p ( , ) ，且 E X D X( ) . , ( ) . 4 8 0 96，则参数 n 与 p 分别是（ A ） A. 6, B. 8, C. 12, D. 14, .设 f x( ) 为连续型随机变量 X 的密度函数，则对任意的 a b a b, ( ) ， E X( ) （ A ） A. xf x x( )d B. xf x )d C. f x )d D. f x x( )d B ） A. f x x x( ) s i n , 2320 其它B. f x x x( ) s i n , 0 20其它C. f x x x( ) s i n , 0 320其它D. f x x x( ) s i n , 00 的密度函数为 f x( ) ，分布 函数为 ) ，则对任意的区间 ( , )a b ，则 )( D） A. F a F b( ) ( ) B. F x )d C. f a f b( ) ( ) D. f x )d 为 随机变量， E X D X( ) , ( ) 2，当（ C ）时，有 E Y D Y( ) , ( ) 0 1 A. Y X B. Y X C. Y X D. Y X 2（二）填空题 从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为52 A P B( ) . , ( ) . 0 3 0 5，则当事件 互不相容时， P A B( ) ， P ) 3. 为两个事件，且 B A ，则 P A B( ) 4. 已知 P A B P A p( ) ( ) , ( ) ，则 P B( ) P1 5. 若事件 相互独立，且 P A p P B q( ) , ( ) ，则 P A B( ) 6. 已知 P A P B( ) . , ( ) . 0 3 0 5，则当事件 相互独立时， P A B( ) ， P ) U ( , )0 1 ，则 X 的分布函数 F x( )111000 B ( , . )20 0 3 ，则 E X( ) 6 11 N ( , ) 2 ，则 P X( ) 3 )3(2 10. E X E X Y E Y( ( )( ( ) 称为二维随机变量 ( , )X Y 的 协方差 （三）解答题 B C, , 为三个事件，试用 A B C, , 的运算分别表示下列事件： A B C, , 中至少有一个发生； A B C, , 中只有一个发生； A B C, , 中至多有一个发生； A B C, , 中至少有两个发生； A B C, , 中不多于两个发生； A B C, , 中只有 C 发生 解 :(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. 袋中有 3 个红球， 2 个白球，现从中随机抽取 2 个球，求下列事件的概率： 2 球恰好同色； 2 球中至少有 1 红球 解 :设 A =“ 2 球恰好同色”， B =“ 2 球中至少有 1 红球” 521013)(252223 1091036)(25231213 3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是 2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是 3%，求加工出来的零件是正品的概率 解： 设 第 i 道工序出正品”（ i=1,2） |()()( 12121 4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占 50%，乙厂产品占 30%，丙厂产品占 20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为 90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率 解： 设 1 产品由甲厂生产A 2 产品由乙厂生产A 3 产品由丙厂生产A 产品合格B )|()()|()()|()()( 332211 5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止已知他每发命中的概率是 p ，求所需设计次数 X 的概率分布 解： )1( 1()2( )1()3( k 1)1()( 故 X 的概率分布是 k k 12 )1()1()1( 的概率分布为 0 1 2 3 4 5 60 1 0 15 0 2 0 3 0 12 0 1 0 03. . . . . . .试求 P X P X P X( ) , ( ) , ( ) 4 2 5 3 解： ()3()2()1()0()4( ()4()3()2()52( (1)3( 12 具有概率密度 f x x x( ) , 2 0 10 其它 试求 P X P X( ) , ( ) 12 14 2 解：412)()21( 210221021 xx d 16152)()241( 1412141241 xx d 设 X f x x x ( ) , 2 0 10 其它，求 E X D X( ) , ( ) 解：32322)()( 10310 xx d )( 10410 222 xx d 2(21)()()( 222 设 )( 2计算 P X( . . )0 2 1 8 ； P X( ) 0 解： 8 1 6 8 ) 0 4 7 2 )()0( X X , , , 是独立同分布的随机变量，已知 E X D X( ) , ( )1 1 2 ，设 11，求E X D X( ) , ( ) 解： )()()(1)(1)1()(21211 ()()(1)(1)1()( 2122121 22211 工程数学作业（第四次） 第 6 章 统计推断 （一）单项选择题 设 x x , , , 是来自正态总体 N( , ) 2 （ , 2 均未知）的样本，则（ A）是统计量 A. B. C. . 设 x x 3, , 是来自正态总体 N( , ) 2 （ , 2 均未知）的样本，则统计量（ D）不是 的无偏估计 13 A. m a x , , x x 3 B. 12 1 2( )x xC. 2 1 2x x D. x x 3 （二）填空题 1统计量就是 不含未知