数学百日百题(新).docVIP

“一题多元、多题一源、纵横联系、类比类推”在数学百日百题中的应用例题：在平面直角坐标系xoy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积为-.（）求动P点的轨迹方程；() 设直线AP与BP分别与直线x=3交于M与N，问：是否存在P点使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. (1) 以一题多元优化思维多 元路 径求点的坐标？ 从不同的思维出发给出本题（II）的详细解答过程：()方法一:常规解法 (推荐人:程娟秀) 设点p的坐标为（x0,y0）,点坐标分别为（3，yM），（3, yN），则直线AP的方程为y-1=y0-1x0+1(x+1),直线BP的方程为y+1=y0+1x0-1(x-1)令x=3得yM=4y0+x0-3x0+1, yN=2y0-x0+3x0-1于是PMN的面积为SPMN=12|yM-yN|(3-x0)=x0+y0(3-x0)2|x02-1|又直线AB的方程为x+y=0,|AB|22,点P到AB直线的距离d=x0+y02于是PAB的面积为SPAB=12|AB|d=x0+y0,由SPMN=SPAB得x0+y0=x0+y0(3-x0)2|x02-1|又x0+y00所以(3-x0)2=|x02-1|，解得x0=53因为x02+3y02=4，所以y0=339故存在点P使得PMN与PAB的面积相等，此时点P的坐标为(53, 339)解法二:数形结合（推荐人:411B班白永燚 指导教师:张敏)若存在点P使得PMN与PAB的面积相等设点p的坐标为（x0,y0），则12|PA|PB|sinAPB=12|PM|PN|sinMPN.因为sinAPB=sinMPN所以|PA|PM=|PN|PB|，所以|x0+1|3-x0|=|3-x0|x0-1|即（3-x0）2=|x02-1|, 解得x0=53因为x02+3y02=4，所以y0=339故存在点P使得PMN与PAB的面积相等，此时点P的坐标为(53, 339) 以上两种法方中第二种法通过对几何的推理,减少了很多的计算,属于最优解.（2）以多题一源可优化思维对称斜率三角形面积(3) 以纵横联系可优化思维每个命题都由对应的关键字或词或义而构成，优化思维就是要训练从每个命题中学会吸收具有内涵价值的关键字、词、句、义。该题中具有思维价值的关键词是“对称”，“斜率”，“面积”同时展开纵横联系，又能达到优化思维的目的。“对称”从数学科展开联系，如：函数的对称与圆锥曲线的对称两大部分。对于“函数图像的对称”，要知“函数图像的对称”的内涵要义是什么？函数的解析式的变化对对称造成什么影响了？怎样从函数的解析式观察出函数的图像的对称性的？函数的对称包含哪两类对称呢？一个是函数图像自身对称，一个是两个函数图像之间的对称，他们的规律有什么异同？圆锥曲线的对称，又怎样从方程中得出图像的对称关系的？从方程中怎样得出对称轴、对称中心？。通过以上比较发现，函数图象的对称具有代表性、典型性、重要性。我们可以从“关于x轴，y轴，原点，y=x+b”等常见的四个维度进行优化思维。由数学科从“斜率”展开纵横联系。如：通过倾斜角表达斜率，通过直线的方向向量求斜率，通过点的坐标求斜率，通过斜率解决三角函数值域等，由以上均可构建对题一源的相关体系，以达到优化思维的目的。由“面积”展开纵横联系，可以与三角函数发生关系，还可以与初中的平面几何进行联系，以上均可构建多题一源的相关体系，以达到优化思维的目的。(4)以类比类推可优化思维理解几何对象的本质特征是实现几何代数化的基础。例1：过定点M（a,b）任作互相垂直的两条直线和，分别与x轴、y轴交于A,B两点， 求线段AB中点P的轨迹方程.分析1：利用，. 设，则.分析2：连结PM，由，为直角三角形，分析3：点O,A,M,B四点共圆，由分析1、分析2、分析3就可以看出当把几何对象的本质特征挖掘出来时（如分析3）计算量就明显减少，提高了准确率。例2：若直线与连接点A和点的线段有公共点，求a的取值范围.几何特征： A,B两点必在直线两侧或其中一点在此直线上.