利用插补法求解组距数列的中位数和众数.docVIP

利用插补法求解组距数列的中位数和众数一、中位数(Median) 中位数是一组数据按从小到大排序后，处在中间位置上的变量值，用Me表示。中位数将全部数据等分成两部分，使一部分数据比中位数大，另一部分数据则比中位数小。中位数是一个位置代表值，它主要用于测定数据的集中趋势，且不受极端数值的影响。此外，中位数还具有一个性质，就是各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即 (1) 根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置，其公式为：中位数的位置=，式中的为数据的个数，凭此确定中位数的具体数值。设有一组数据从小到大排序后为。若为奇数，则中位数为；若为偶数，则中位数是与的平均数。即 (2) 根据分组数据计算中位数时，要先根据公式确定中位数的位置，并确定中位数所在的组。如果是单项数列，则中位数就取中位数所在组的组值(即标志值)；如果是组距数列，则采用下面的公式计算中位数的近似值： (3)式(3)中，为数据的个数(总次数)；L为中位数所在组的下限值；为中位数所在组以前各组的累积频数；为中位数所在组的频数；为中位数所在组的组距。式(3)中，假定中位数所在组的频数在该组内是均匀分布的。 ACiXB图-1 组距数列中位数的分布图那么，我们接下来要讨论的是如何求证式(3)，即组距数列中位数的计算公式。假设上面图-1是某组距数列次数分布图。利用插补法进行比例推算。图-1中，A点表示中位数所在组的下限，其值为L；B点表示中位数所在组的上限；C点表示中位数所处的位置，其值为Me；A点到B点所夹的距离，也就是中位数所在组的组距，其值为；A点到C点所夹的距离，就是中位数所在组的下限到中位数位置的距离，其值设为X。我们假定图-1中，AB区域即整个中位数所在的组内，次数分布是均匀的，依次分布着个次数或频数。同样，再假定AC区域内，次数分布也是均匀的，且依次分布着个次数或频数，式中的是中位数所在的位置，为中位数所在组以前各组的累积频数。这样，我们可以得到下面的等式： (4)将上述假设代入式(4)，得： 所以，有 (5)中位数所在的位置是： (6)将式(5)代入式(6)，则： 上面的式(3)就得到了证明。 例一、设某车间50名工人日加工零件数分组表如下： 表-1按零件数分组(个)频数(人)频率(%)105110361101155101151208161201251428125130102013013561213514048合计50100要求：计算该车间50名工人日加工零件数的中位数。解：由表-1可知，中位数的位置=，根据累计频数可测得中位数在120125这一组中，L=120，=16，=14，=5，根据式(3)，得 二、众数(Mode) 众数是一组数据中出现次数最多的变量值，用表示。众数是一个位置代表值，它也不受数列中极端数值的影响。但它可以反映总体各单位某一标志值的集中趋势。当然，在特殊情况下，可能没有众数，也可能多于一个众数。在实际应用中，众数用来说明现象的一般水平。 众数的计算分两种情况，在未分组资料或单项数列中，可用观察法直接确定众数，即总体中出现次数最多的标志值就是众数。在组距数列中，确定众数时，先要确定次数最多的一组为众数组，然后根据数列的次数分布情况，计算众数的近似值。用公式表示为： (7)式中，为众数组的下限值；为众数组的组距；是众数组的次数与靠近下限的邻组次数之差；是众数组的次数与靠近上限的邻组次数之差。BACDEFGHO MO 下面，我们仍要利用插补法推导组距数列中众数的计算公式，即式(7)，为了能直观地介绍该方法，利用几何图解比较好理解。 图-2 组距数列中的众数位置图 图-2假定是组距数列的次数分布直方图，横坐标是组距，纵坐标是次数分布状况。一般来说，在等距数列中次数分布愈集中，直方柱愈高。为了便于说明此问题，我们只画了三根直方柱。从图中可以看到，中间一组就是中位数所在的组，其次数分布最集中。我们假定G点是众数所在的组的下限，H点是众数所在的组的上限，GH的距离就是众数组的组距()，点就是众数所处的位置。从图中我们可以看出，众数的位置主要取决于众数所在组的左右两邻组的次数分布。如果左右两邻组的次数分布相等即高度相等(=)，无疑众数就在众数所在组的正中央；如果左邻组的次数分布高于右邻组的次数分布()，则会偏向左边，靠近众数组的下限；如果左邻组的次数分布低于右邻组的次数分布()，则会偏向右边，靠近众数组的上限。图-2中，我们连结AD和BC两条线段，它们的交点为O，而O点垂直连线与横坐标轴的交点就是，现假定G点到的长度为X，则到H点的长度是X。另外，假定众数所在组的次数为；AB的距离为，且=；CD的距离为，且=。由于O是垂直连线，EO=G=X；OF=H=X。G点是众数所在组的下限，其值为L。 我们从图-2中可以发现，AOBCOD，根据相似三角形的性质，这两个相似三角形所对应的底边和高成比例，即 (8)将上述的设定分别代入式(8)，则 化简得： (9)由于=所以， 这样，组