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浅谈不等式问题的优化策略秦社刚（贵州省三都民族中学 558100）【摘 要】：不等式问题一直是高考命题中的一个热点与难点，对有些不等式的求解，常有同学因不会变通或思维定势，导致因运算过繁而计算终止或弃而不解。针对这种情况，本文就结合教学中的实例谈谈不等式问题的优化策略。【关键词】： 不等式 优化策略不等式问题一直是高考命题中的一个热点，对有些不等式的求解，常有同学因不会变通或思维定势，导致因运算过繁而计算终止或弃而不解。针对这种情况，本文就结合教学中的实例谈谈不等式问题的优化策略。1.逆向思考，执果索因例1. 已知适合不等式的的最大值为3,求的值.解析:按先去绝对值后解不等式再求最值的常规方法,势必很繁琐.由的最大值为3注意到“3”是不等式解的一个端点值,利用不等式的性质得是对应方程的一个解,代入得或.当时,不等式为,因为所以,或满足题意.当时,不等式为 .易知是不等式的解,故不等式有大于3的解,不满足题意.所以注意:先待定后验证,解法令人“拍案叫绝”。2挖掘隐含条件，避开复杂讨论例2已知二次函数，是否存在使的定义域和值域分别为和？说明理由。解析：若就函数的对称轴和区间的相对位置来讨论，势必很繁。注意到函数，从而由，即，又可知在区间上函数为增函数，根据已知条件得,因为，解得。3积零为整，各异特征总体说明例3已知函数，若不等式在上恒成立，求整数的取值范围。解析：将代入得，不等式在上恒成立，整理后即:对上恒成立。设。因为，只须证时即可，的最大值的讨论要考虑到与区间的关系，此时不妨放缓讨论，总体分析其特征，注意到，故问题的解只需，解得。注：本题的解答实际上是一种“化整为零”分析，“积零为整”解决的解题方法。4构建函数，实现高次问题的常规处理例4问是否存在，使得成立？解析：从高次不等式出发显然无法完成解答，不妨转换视角从函数的角度、利用函数的性质来解决。设，考虑在上的单调性。因为，显然当时，所以为单调减函数。又因为，所以存在，使得成立。注：避开高次不等式，运用导数来研究函数性质是一种新解法。5等价转化、回避参数例5已知且，求证.解析：对于本题，很多人都会按先去绝对值符号，后按和 进行分类讨论来解，事实上，正因为有绝对值利用换底公式即可得到解答与参数无关。,因为，所以，所以。所以。 6避重就轻，巧用性质例6设定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围。分析：函数的单调区间为和，那么在某个区间内还是分别在两个区间内？如果就此展开讨论将比较复杂而且不易完整，巧用偶函数的性质，就大可不必讨论变量可能所在的区间了。解：因为已知为偶函数，所以，由，得，根据单调性得。7转换视角、变更主元例7若在时恒为正数，求实数的取值范围。分析：本题如果当成是关于的二次函数，这样就等于走进了一个讨论的大圈子，而且很难顺利地走出来。变更主元把原函数当成是关于的一个函数，则问题的解决就仅与两个端点有关了。解析：设关于的函数 当时恒成立。即。
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