解线性方程组的克拉默法则.doc

第一章 解线性方程组的克拉默法则 解方程是数学中一个基本问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要地位，因此这个问题是读者所熟悉的，譬如说，如果我们知道了一段导线的电阻，它的两端电位差，那么通过这段导线的电流强度，就可以由关系式 求出来，这就是通常所谓一元一次方程的问题，在中学代数中，我们解过一元，二元，三元以致四元一次方程组，这一章和下一章主要就是讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组，这一章是引进行列式来解线性方程组，而下一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问题。线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。对于二元线性方程组 当时，此方程组有唯一解，即 我们称为二级行列式，用符号表示为 于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式 时，该方程组有唯一解，即 对于三元线性方程组有相仿的结论，设有三元线性方程组 称代数式为三级行列式，用符号表示为我们有：当三级行列式 时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 其中 在这一章中我们要把这个结果推广到元线性方程组的情形 2克拉墨法则 现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题，在这里只考虑方程个数与未知量的个数相等的情形，以后会看到这是一个重要的情形，下面我们将得出与二元和三元线性方程组相仿的公式。 本节的主要结果是定理：如果线性方程组 的系数矩阵 的行列式 那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为 其中是把矩阵中第列换成方程组的常数项所成的矩阵行列式，即 定理中包含着三个结论：1，方程组有解；2，解是唯一的；3，解由公式(3)给出，这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是： 1，把代入方程组，验证它的确是解2，假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出，在下面的证明中，为了写起来简短些，我们尽量用连加号 证明：1 把方程组(1)改写为 首先来证明(3)的确是(1)的解，把(3)代入第个方程，左端为 (6)因为 所以 根据定理中(6)有这与第个方程的右端一致，换句话说，把(3)代入方程使它们同时变成恒等式，因而(3)确实为方程组(1)的解2 设是方程组(1)的一个解，于是有个恒等式 (7)为了证明，我们取系数矩阵中第列元素的代数余子式，用它们分别乘(7)中个恒等式；有 这还是个恒等式，把它们加起来，即得 (8)等式右端等于在行列式按第列的展开式中把分别换成，因此，它等于把行列式中第列换成，所得的行列式，也就是，再来看(8)的左端，即 所以 于是，(8)即为 也就是 这就是说，如果是方程组的一个解，它必为 因而方程组最多有一组解定理通常称为克拉默法则例 解方程组 方程组的系数行列式 因之可以用克拉默法则，由于 所以方程组的唯一解为 应该注意，定理只是讨论系数矩阵的行列式不为零时的方程组，它只能应用于这种方程组，至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章讨论常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，显然，齐次线性方程组总是有解的，因为就是一个解，它称为零解，对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除去零解以外还有没有其他解，或者说它有没有非零解，对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有 定理：如果齐次线性方程组 (10)的系数矩阵的行列式，那么它只有零解，换句话说，如果方程组(10)有非零解那么必有 证明： 应用克拉默法则，因为行列式中有一列为零，所以 这就是说，它的唯一的解是 例 求在什么条件下，方程组 有非零解 根据定理，如果方程组有非零解，那么系数行列式 所以，不难验证，当时，方程组确实有非零解 克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，