复数的概念杨浦高中培训机构新王牌.doc

一、复习引入：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数二、讲解新课：1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. 与1的关系: 就是1的一个平方根，即方程x2=1的一个根，方程x2=1的另一个根是!3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bR)是实数a；当b0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、bR)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、bR)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=2+i可以由有序实数对(2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，1)表示纯虚数i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(2，3)表示的复数是2+3i，z=53i对应的点(5，3)在第三象限等等.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.三、讲解范例：例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，3，0，;虚部分别是3，;i是纯虚数.例2 复数2i+3.14的实部和虚部是什么？答：实部是3.14，虚部是2.易错为：实部是2，虚部是3.14！例3实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？分析因为mR，所以m+1，m1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.解：(1)当m1=0，即m=1时，复数z是实数；(2)当m10，即m1时，复数z是虚数；(3)当m+1=0，且m10时，即m=1时，复数z 是纯虚数.例4已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x，yR，求x与y.解：根据复数相等的定义，得方程组，所以x=，y=4四、课堂练习：1.设集合C=复数，A=实数，B=纯虚数，若全集S=C，则下列结论正确的是( )A.AB=C B. A=B C.AB= D.BB=C2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x2)i为虚数，则实数x满足( )A.x= B.x=2或 C.x2 D.x1且x23.已知集合M=1，2，(m23m1)+(m25m6)i，集合P=1，3.MP=3，则实数m的值为( )A.1 B.1或4 C.6 D.6或14.满足方程x22x3+(9y26y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是_.5.复数z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，则z1=z2的充要条件是_.6.设复数z=log2(m23m3)+ilog2(3m)(mR)，如果z是纯虚数，求m的值.7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.8.已知mR，复数z=+(m2+2m3)i，当m为何值时，(1)zR; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.答案：1.D2.D 3. 解析：由题设知3M，m23m1+(m25m6)i=3，m=1，故选A.4. 解析：由题意知点对有(3，)，(1，)共有2个.答案：25. 解析：z1=z2a=c且b2=d2.答案