湖北省宜昌市七校2016-2017学年高一下期末考试数学试题含解析

宜昌市部分示范高中教学协作体 2017 年春期末联考 高一数学 一选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的） 1. 已知 且 ，下列不等式中成立的一个是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由不等式的性质结合题意： ， cd，且 ab， 相加可得 acbd， 故选： B 2. 已知向量 ，向量 ，且 ，那么 等于（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】 C 【解析】 由向量平行的充要条件有： ，解得： . 本题选择 C 选项 . 3. 在 中， ，则 ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】 A 【解析】 由正弦定理： 可得： ， 则 . 本题选择 点睛 ： 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 4. 下列结论正确的是（ ） A. 各个面 都是三角形的几何体是三棱锥； B. 一平面截一棱锥得到一个棱锥和一个棱台； C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥； D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【答案】 D. 【解析】 A、如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故 A 错误； B、 一平行于底面的平面截一棱锥才能得到一个棱锥和一个棱台，因此 B 错误； C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形 以正六边形为底面，侧棱长必然要 大于底面边长，故 C 错误； D、根据圆锥母线的定义知， D 正确 . 本题选择 D 选项 . 5. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题意可知，该几何体是在棱长分别为 的长方体中的三棱锥 ， 且： ， 该四面体的体积为 . 本题选择 A 选项 . 点睛： 三视图的长度特征： “长对正、宽相等，高平齐 ”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线 ，在三视图中，要注意实、虚线的画法正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同 6. 已知 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由题意可得： 据此有： . 本题选择 B 选项 . 7. 设 是公比为正数的等比数列， ，则 （ ） A. 2 B. C. 8 D. 答案】 C 【解析】 由题意有： ，即： ， 公比为负数，则 . 本题选择 8. 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 （ ） A. B. C. 2 D. 3. 【答案】 D 【解析】 由余弦定理： ，即： ， 整理可得： ,三角形的边长为正数，则： . 本题选择 D 选项 . 9. 不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 不等式 0 的解集为 x|1x2， 1,2是一元二次方程 =0 的两个实数根，且 a0， ，解得 a=1， b=1. 则不等式 2x2+bx+a0 化为 2x2+x10， 解得 1x . 不等式 2x2+bx+a0 的解集为 . 本题选择 点睛： 解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集 . 10. 已知各项均为正数的等差数列 的前 20 项和为 100，那么 的最大值是 ( ) A. 50 B. 25 C. 100 D. 2 【答案】 B 结合题意和均值不等式的结论有： ， 当且仅当 时等号成立 . 本题选择 B 选项 . 11. 对 于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 当 m=0 时 ,=10，不等式成立； 设 y=，当 m0时函数 ，抛物线开口向下且与 要 m0 且 0 得到： 解得 4m0. 综上得到 4m0. 本题选择 . 点睛： 不等式 c 0 的解是全体实数 (或恒成立 )的条件是当 a 0 时，b 0， c 0；当 a0时， 不等式 c 0 的解是全体实数 (或恒成立 )的条件是当 a 0 时， b 0， c 0；当 a0时， 12. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类如下图中实心点的个数 为梯形数根据图形的构成，记此数列的第 项为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 观察梯形数的前几项，得 5=2+3= 9=2+3+4= 14=2+3+4+5= ， 由此可得 +3+4+5+2011= 20142017， = 201420175=100720175=20191006， 本题选择 D 选项 . 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5 分，共计 20分，将答案填在答题纸上） 13. 不等式 的解集是 _。 【答案】 【解析】 不等式即： ，则： ， 转化为二次不等式： ， 据此可得不等式的解集为： . 点睛： 解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决 14. 已知函数 在 处取最小值，则 _。 【答案】 3 考点：均值不等式求最值 15. 在等比数列中，已知 ，求 =_。 【答案】 或 【解析】 当 时满足题意， 否则： ，解得： ， 综上可得： 或 . 16. 已知 ，则 _。 【答案】 解析】 由题意可得： . 三、 解答题（本大题共 70 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知平面向量 的夹角为 ，且 。 （ ）求 （ ）求 【答案】 （ 1） 12（ 2） 【解析】 试题分析： 首先求得 的值： (1) 利用平面向量数量积的运算法则可得： = ； (2)首先求得 的值，然后利用平面向量模的求解公式可得. 试题解析： 解： （ ） = （ 2） 18. 已知函数 的最大值为 2。 （ 1）求 的值及 的最小正周期； （ ）求 的单调递增区间。 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】 试题分析： (1)整理函数的解析式，由函数的最大值可得 ， 函数的最小正周期为 ； (2)结合 (1)中的结论可得函数 的单调增区间为 试题解析： 解： （ ） 当 =1时， 的最小正周期为 。 . （ ） 由（ 1）得 得 的单调增区间为 19. 在 中， 的对边分别是 ，且 成等差数列。 的面积为 。 （ ）求 的值； （ ）若 ，求 的值。 【答案】 （ 1） 2（ 2） 或 【解析】试题分析：（ 1）首先根据 A、 B、 C 成等差数列求出角 B，再根据安三角形面积公式 ，求出 （ 2）根据余弦定理 ，求出 ，在根据（ 1）中的 ，即可求出 a， c. 试题解析：解：（ 1） A、 B、 C 成等差数列 2B=A+C 2 分 4 分 （ 2） ， ， 6 分 即 a=2 或 8 分 考点： 1. 正弦定理在三角形面积中的应用； 20. 已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， ， 。 （ ）求 的通项公式； （ ）设 ，求数列 的前 项和 。 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】试题分析：（ ）由已知条件求得等比数列的首项和公比，从而得到 的首项和公差，从而得到其通项公式；（ ）首先求得数列 的通项公式，结合其特点采用分组求和法求解 试题解析：（ ）等比数列 的公比 , 所以 ， 设等差数列 的公差为 ，因为 ， , 所以 ，即 ， 因此 . （ （ I）知， ， 因此 从而数列 的前 项和 考点：等差数列等比数列通项公式；数列分组求和 21. 一个面积为 的矩形场地 ,要求矩形场地的一面利用旧墙 (利用的旧墙需要维修 ),其它三面围墙要新建 ,在旧墙对面的新墙上要留下一个宽度为 的出口 ,如图所示 ,已知旧墙的维修费为 45 元 /m,新墙的造价为 180元 /单位 :m),修此矩形场地围墙的总费用为 (单位 :元 ). () 将 表示为 的函数； () 试确定 ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小 ,并求出最小总费 用。 【答案】 （ 1） （ 2） 当 总费用最小 ,最小总费用为 10440元 . 【解析】试题分析：（ 1）设矩形的另一边长为 根据围建的矩形场地的面积为 360得 ，此时再根据旧墙的维修费用为 45 元 /m，新墙的造价为 180 元 /m，我们即可得到修建围墙的总费用 y 表示成 x 的函数的解析式；（ 2）根据（ 1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的 x 值 试题解析：（ 1）如图，设矩形的另一边长为 a m 则 45x+180（ +1802a=225x+360已知 60,得 a= , 所以 y=225x+ （ 2） 当且仅当 225x= 时，等号成立 即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元 考点：函数模型的选择与应用 22. 已知点 是函数 图像上一点，等比数列 的前 项和为 。数列 的首项为 2 ，前 项和满足 （ ）。 （ ) 求数列 的通项公式； （ ）若数列 的前 项和为 ，问使 的最小正整数 是多少？ 【答案】 （ 1） （ 2） 59 【解析】 试题分析： (1)利用题意求得数列的首项和公比均为 ，则 数列 的通 项公式是 ； (2)裂项求得数列的前 n 项和为 ，求解关于 n 的不等式可得 最小正整数为59