大数定律与中心极限定理【PPT课件】

第五章 大数定律与中心极限定理 定义 1 . 1 设有随机变量序列 , 21 果存在常数a，使得对任意的0 ，有 ,1| 为. 相关概念 2 1 大数定律 （了解） 通俗地说，当 n 时 ， 定理 切比雪夫定理的特殊情况 ） 有数则对于任意正的算术平均个随机变量作前和方差：且具有相同的数学期望相互独立设随机变量,1),2,1()(,)(,1221| 即 切比雪夫大数定律 设 随机变量12, , , , 每个存在常数c，使得 c，1 , 2 ,i，则对任意的 0 ，有 1111l i m 1 E 4 2 . 贝努里大数定律 定理 1. 2 设 发生的次数， 在每次试验中发生的概率，则对任意的 0 ，有 l i m 1 ， 即 l i m 5 关于贝努里大数定律的说明 : 。发生偏差的可能性很小与概率几乎相等，两者率很大时， 当试验次数很大时 , 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率 . 3 . 辛钦大数定律 定理 1. 3 设随机变量12, , , , 果，1 , 2 ,i，则对任意的0 ，有 11l i m 1 ，即 11l i mn 7 问题的引入 实例 : 考察射击命中点与靶心距离的偏差 . 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和 , 这些因素包括 : 瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等 ) 的误差以及射击时武器的振动、气象因素 (如风速、风向、能见度、温度等 ) 的作用 , 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的 , 并且它们中每一个对总和产生的影响不大 . 问题 : 某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的 , 研究其概率分布情况 . 2 中心极限定理 9 1. 列维 林德伯格中心极限定理 定理 随机变量序列12, , , , ，20，1 , 2 ,i 令1，1 , 2 ,n 有 221l i m ( ) ( )2 x x e d t，( , ) x 【 注 1 】 定理 为列维 林德伯格中心极限定理，也称为 独立同分布随机变量序列的中心极限 定理 【注 2 】 由定理 2 . 1 表明，当 ) ( )x x， 即得( 0 , 1 )N，从而有 21 ( , ) n n近 似 ),(121近似【 注 3 】 特别地，当 30n 时，其误差可以忽略不计 10 例 2 . 1 设随机变量1 2 4 8, , ,X X ( 0 , 2 ) , 1 , 2 , , 4 8 i 记 481 ，则利用中心极限定理计算 5 0 11 2. 棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理 定理 设随机变量 ( , ) n p，1 , 2 ,n，则 221l i m ( )( 1 ) 2 n pP x x e d tn p p ， 【 注 1 】 定理 2 . 2 称为棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理，也称为二项分布以正态分布为极限分布的中心极限定理 定理 2 . 2为定理 2 . 1 的特例 【 注 2 】 定理 应用： 若 ( , )X B n p ，则当 n 充分大时 ， 有 ( , ( 1 ) )X N n p n p p近 似 （主要结论） 同样，当 30n 时，其误差可以忽略不计 12 例 2. 2 设 )0 0( 求 052 13 例 2. 3 设3221 , 独立同服从参数为 2 的指数分布，记3221 ， ,16 ,12 有（ ） 14 （ A ） a b （ C ） a =b （ D ） a +b 30时， t 分布与标准正态分布就非常接近了。 【注】 t 分布也称为 学生()S t u d e n 性质 设)( 0 ( 1 ) , ( 2 )2 n D T 性质 设)( 当， ( 0 , 1 ) （以上两个性质只作了解 , 不必记 ） 46 例 3. 2 设 随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从正态分布),9,0(, 和91 , 分别是来自总体 X 和Y 的样本，则统计量292191服从（ ） 分布，参数为（ ） 3. F 分布 定义 设随机变量)( 12 ，)( 22 ，且 相互独立，就称21为 服从第一自由度为1n， 第二自由度为2 分布 ， 记作),( 21 48 ,则 。),(1 果 ),( 设),( 21 1 2 1 1 21212 2 2 21 2 1 21212()2( ) , 0 ,( , , )( ) ( )220 , 0 .n n n n n x n x n x n 49 （淡化 ， 不用记 ） ;( 2n 201 5 标准正态分布、 分布、 t 分布及 了便于计算，课本的附录中给出了它们的分布表供查阅。 2（ 记住 图形 ） 性质 设),( 21 22 2 1 222 22 1 2 22 ( 2 )( 2 ) , ( 4 )2 ( 2 ) ( 4 )n n n n D F nn n n n 性质 如果 ( )T t n，则2 ( 1 , )T F n 性质 如果12 ( , )F F n n，则211 ( , )F n 例 3. 3 设 ( )T t n ，则21 ） . (A ) 2 ()n ( B) 2 ( 1 )n (C) )1,( (D ) ( 1 , )（ 了解 , 不必记 ） 51 （ 记住 结论 ） 例 3. 4 设1 2 3 4( , , , )X X X ( 0 , )的一个样本，求1234所服从的分布 52 定义 设 X 为随机变量，p的实数， 如果点, p ， 就称 的 上侧 右侧 53 二、上侧分位点 1. 标准正态分布( 0 , 1 )设随机变量 ( 0 , 1 )满足 P U U 的U 为( 0 , 1 ) 侧分位点 【注 1 】 利用正态分布的对称性， 1U U【注 2 】 U可以通过标准正态分布表查得 例如， 54 U 例 3. 5 设随机变量 ( 0 , 1 )给定的 ( 0 1 )， 数P X U 若P X x ，则 ） （ A ）2U（ B ）21U（ C ）21 U（ D ）1. t 分布 ()上侧分位点 设随机变量 ( )T t n ，称满足 ( ) P T t n 的()()侧 分位点 【注 1 】 利用 t 分布的对称性，1 ( ) ( )t n t n 【注 2 】 当 4 5 , 0 . 2 5 , 0 , 1 0 , 0 . 0 5 , 0 . 0 2 5 , 0 . 0 1 , 0 . 0 0 5n 时， ()可以通过 t 分布表查得 ()如， 0 . 0 5 ( 6 ) 1 . 9 4 3 2t 当 45n 时，由性质 2 . 5 知， () 3 布2 ()n的上侧分位点 设随机变量22 ( )n，称满足 22 ( ) 的2 ()n为2 ()n的 上侧分位点 【注 1 】 由于2分布为非对称的分布，因此， 221 ( ) 1 ，即221 ( ) 【注 2 】 当4 5 , 0 . 2 5 , 0 , 1 0 , 0 . 0 5 , 0 . 0 2 5 , 0 . 0 1 , 0 . 0 0 5n 时，2 ()n和21 ()n 均 可 以通 过2分 布 表 查 得 例如，20 . 1 0 1 3 . 3 6 2 ,( 8 ) 20 . 9 0 3 . 4 9 0( 8 ) )n1- 2()n . F 分布12( , )F n 设随机变量12 ( , )F F n n，称满 足12( , )F F n 的12( , )F n n为12( , )F n 侧分位点 【注 1 】 F 分布为非对称的分布，因此， 1 1 2 ( , ) 1P F F n n ，即1 1 2 ( , ) P F F n n 【注 2 】 当0 , 1 0 , 0 . 0 5 , 0 . 0 2 5 , 0 . 0 1 , 0 . 0 0 5 , 0 . 0 0 1 时，12( , )F n n可以通过 F 分布表查得 例如，0 . 0 1 4 1 0( , ) 5 . 9 9F , )F n n12( , )F n n - 1 1 2( , )F n n在 F 分布表并 不能直接查得 ，需要利用下列 性质转换后，方可查得 性质 1 1 2211( , )( , )F n nF n n 例如 ，0 . 9 90 . 0 1114 1 01 0 4 1 4 . 5 5( , ) ( , )F F 59 三 、 正态总体样本均值和样本方差的分布 内容： 单正态总体样本均值和样本方差的分布 （重点讲授） 双 正态总体样本均值和样本方差的分布 （简单介绍） （本节为第七章和第八章的基础） 60 一、 单正态总体样本均值和样本方差的分布 定理 设12( , , , ) ( , )的一个样本，则 2 ( , ) ，或 ( 0 , 1 )； 222 12() ( ) ； 2222 122()( 1 ) ( 1 ) ， 且 X 与 2S 相互独立 ( 1 )XT t ， 不同 差别 不同 差别 61 例 3. 6 设1 2 9( , , , )X X ( , )的一个样本，求 0 . 4 6 5 6 0 . 9 6 5 5 解 由定理 3 知， ( 8 )9，所以 0 . 4 6 5 6 0 . 9 6 5 5 1 . 3 9 6 8 2 . 8 9 6 5 9 0 . 1 0 0 . 0 1 ( 8 ) ( 8 ) 9XP t 0 . 9 0 0 . 0 1 ( 8 ) ( 8 ) 9XP t 0 . 9 0 0 . 0 1 0 . 8 9 62 例 3. 7 设12( , , , ) ( , )的一个样本，其中 1n 令22011 () ，分别求 20()0()2() 2() 考研必须掌握 其 方法和结论 ！ 63 定理 3 设112( , , , ) ( , )的 样本，样本均值为1111 ，样本方差为1221111()1 212( , , , ) ( , )的一个样本，样本均 值为2121 ，样本方差为2222121()1 ， 且 112, , , , , 则 64 )2(11)()(21 其中 的两个样本，且它们相互独立，则 ),( 21 ),(21 定理 1) 和 ),( 21 N ),( 22 和 二、 双正态总体样本均值差和样本方差比的分布 2)1()1( 222(11 212 )(11 66 ),(222121 )1,0()()(222121)1,1(222212 )1()1( 2212)1()1( 2222的两个样本，且它们相互独立，则 ),( 21 ),(21 定理 2) 设 和 ),( 211 N ),( 222 和 例 3. 7 从总体 ( 1 , 3 ) , 3 0的两个独立样本，求其样本均值差的绝对值小于 1 的概率 68 69 例 3. 8