多元复合函数的求导法则

1 复合函数的求导法则 全微分形式不变性 第四节 多元复合函数的求导法则 求导法则 微分法则 一元复合函数 2 一、 复合函数的求导 法则 1. )(),(),( ),(),(),(.2 3 )( 可微 , ),( z ,21 0,0 21 ,0 时当 t ,0,0 ()( );()( 证 ，获得增量设 t t t t t)(),(),(.1 4 推广 三个中间变量 ),( )(),(),( 321 ,s in t c o s)s i n( c o s 求全导数 , ,co s 解 : ),(),(),( 两个中间变量 两个自变量 2. 的情形 . 1211 1c o ss i n .c o s ()s i n ( ).c o s ()s i n ( 例 ,s i n u 设 和求9 ),(,),( 121 22 表示 f (x,(x,y)固定 y对 表示 f (x,v)固定 v对 注意 : 这里 与 不同 , ，求解 x y z x y 变量树图 )s i n ( z )s i n ( z 例 y)c o s ( z xz ),s i n (),()c o s ( z 13 ,s i n,),( 2222 ,求解 : 2222 422 s i s i 2222 422 s i c o ss i n(2 2222 2222 yx yx 4 ,),(),( 均连续可微设 .,求)( 21 答案： )1( 15 已知 f (t)可微 , 证明 满足方程 )( 22 提示 )( ()(222,22 令)()(22 )(1 设 ,22求 z u v x y 22),( 22),( 要设中间变量 . 解 ,2121 17 2212 32242121121 22u v x y 变量树图 ,22求 ),( 22232 212f 1(f 11( f 22f 22 f231222221211 22f 1x21(f 2f 1x11( f 18 2求c c o s 1211 )c o ss i 222 c o sc o ss i n 解 s ,2 设 c o 21 fs 2112 f s 221 f 有连续的二阶导数 , ) , ( ), 2 ( v u f x y y x f z 其中 设 21 c o s2 19 2 o s x )212 (2 xx s 12)c o s ye x s ,s i n x 22 设 x s x c o s( 11 )222 x c o 。求设x222 ),s i n(224 112 c in x 21 2s i n x 1c os x 20 ,)(),()2( 二阶可导其中设 .,),(2求有连续二阶导数2g 22解 ,2 设 , 1 2gf 2 1g y 12f 2212 24 二、全微分形式不变性 ),( 设函数 具有连续偏导数 , ;?),(),( 当, d .d 26 解 0)2(d ze z d)2(d)2(d ,2,02 和求)(d ze )全微分求一阶偏导数 ,有时更灵活方便 . 27 内容小结 1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘 , 分叉用加 , 单路全导 , 叉路偏导” 例如 , 22. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是中间变量 , vu d),(d),(d 28 解答提示 : 7 )1(22 22 82 题 8(2) 11 2f121 22 2f 11f 13f 21f 23f 11 32 13 )(dd1)1,1( 3 3 ),(,(1 ),(,(2 1x,1)1,1( f