高一三角函数知识点总结

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 54 高一三角函数知识点总结 高一三角函数知识 一任意角和弧度制 ?正角：逆时针方向旋转 ? 1.负角：顺时针防线旋转 ?零角 ? 直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 与 ?终边相同的角的集合： ?|?k?360?,k?Z 终边在 x 轴上的角的集合： ?|?k?180?,k?Z 终边在 y 轴上的 角的集合： ?|?k?180?90?,k?Z 终边在坐标轴上的角的集合： ?|?k?90?,k?Z 终边在 y= ? ? ? ? ?|?k?180 ? ? ?45?,k?Z 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 54 ? 终边在 y?|?k?180?45?,k?Z 若角 ?与角 ?的终边关于 x 轴对称，则角 ?与角 ?的关系： ?360k?， k?Z 若角 ?与角 ?的终边关于 y 轴对称，则 ?与角 ?的关系： ?360?k?180?， k?Z 若角 ?与角 ?的终边在一条直线上，则 ?与角 ?的关系： ?180k?， k?Z 角 ?与角 ?的终边互相垂直，则 ?与角 ?的关系： ?180k?90， k?Z 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。 360度 =2弧度。若圆心角所对 的弧长为 l，则其弧度数的绝对值 |? ? ? ? ? ? l ,其中 r 是圆的半径。 r 180 5. 弧度与角度互换公式： 1 1 ? ? 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 . 6. 第一象限的角： ?|2k? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 54 ? ? ? ?2k?,k?Z? 2? 锐角： ?|0? ? ? ? ?o ? ； 小于 90的角： ?|? 2?2? 2 7. 弧长公式： l?|?|R 扇形面积公式： S?|R 任意角的三角函数 1. 任意角的三角函数的定义：设 ?是任意一个角， P 是 ?的终边 上 的任意一点 ，它与原点的距离是 r? ?0，那么 ,， ,?x?0? 角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 54 2. 三角函数线 正弦线： 余弦线： 正切线： ? 4. 同角三角函数的基本关系式： 平方关系： 1,1?商数关系： 2 2 2 1 平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 三角函数的诱导公式 k? 2 ? ） ?） ?） ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 54 ?)?2?2） ?） ? ） ? ?)?)?2?2? 三角函数的图像与性质 于函数 f，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时， f?f 都成立，那么就把函数 f 叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。 y?y?. y? y?周期 T?2? . y?周期为 T? ? ? y?x? ?T?2?，如图） 的周期为 2?几个物理量： A振幅； f? 1 频率； ?x? 相位； ?初相； T 函数 y?达式的确定： A 期确定； ?由图象上的特精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 54 殊点 确 f?； f _ 23 函数 y? “五点法”设 X?x?，令 X 0， ? 2 ,?, 3? ,2?求出相应的 x 值，计算得出 五 2 点的坐标，描点后得出图象； 图象变换法：这是作函数简图常用方法。 函数 y?k 的图象与 y?函数y?图象纵坐标不变，横坐标向左或向右平移 |?|个单位得 y?x?的图象；函数 y?x?图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ，得到函数 ? y?x?的图象； 函数 y?x?图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 54 y?图象； 函数 y?象的横坐标不变，纵坐标向上或向下，得到 y?x?k 的图象。 要特别注意，若由 y?x?得到 y?x?的图象，则向左或向右平移应平移 | ? |个单位 ? 例：以 y?换到 y?4例 3 ? y?单位 y?左平移 ? 3? ? 横坐标变为原来的 1? 倍 y?x? 3? ? 纵坐标变 为原来的 4 倍 y?4x? 3? 1 y?坐标变为原来的倍 y?x? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 54 向左平移 ? 个单位 y?x?x? 9?3? ? 纵坐标变为原来的 4 倍 y?4x? 3? 注意：在变换中改变的始终是 x。 函数性质：求对称中心、对称轴、单调区间的方法 兄妹 内存联系“知 一求二” 高中数学第四章 1. 与 ?终边相同的角的集合： ?|?k?360?,k?Z? 终边在 x 轴上的角的集合： ?|?k?180,k?Z? ? 终边在 ?|?k?180?90?,k?Z? 终边在坐标轴上的角的集合： ?|?k?90?,k?Z? 终边在y=?|?k?180?45?,k?Z? 终边在 y ?x 轴上的角的集 合： ?|?k?180?45?,k?Z? 1、 2、 3、 4 表示第一、二、三、四象限一半所在区域 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 54 若角 ?与角 ?的终边关于 x 轴对称，则角 ?与角 ?的关系： ?360?k? 若角 ?与角 ?的终边关于 y 轴对称，则角 ?与角 ?的关系： ?360?k?180? 若角 ?与角 ?的终边在一条直线上，则角 ?与角 ?的关系： ?180?k? 角 ?与角 ?的终边互相垂直，则角 ?与角 ?的关系： ?360?k?90? 2. 角度与弧度的互换关系： 360 =2? 180 =? 1 = 1= =57 18 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 . 、弧度与角度互换公式： 1180 =5718 1 ? ?180 3、弧长公式： l?|?|?r. 扇形面积公式： s 扇形 ? 12 12 |?|?r ? 4、三角函数：设 ?是一个任意角，在 ?的终边上任取一点 r，则 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 54 ； ? ? ? . ? 5、三角函数在各象限的符号： 正弦、余割 余弦、正割 正切、余切 6、三角函数线 正弦线： 余弦线： 正切线： 7. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 54 三角函数的定义域： 16. 几个重要结论 : 若 o 2 8、同角三角函数的基本关系式： ?1 1 1 ?1 ?1 ?1 9、诱导公式：把 k?的三角函数化为 ?的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限， ?当成锐角看！”基本关系 公式组一公式组二 公式组三 ?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 54 x+x=1si x x =1 x x 1+ x = x ? 1+x=x ?式组四 公式组五 公式组六 ?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 54 角与角之间的互换 公式组一 公式组二 221?1?2 2? 1?2 ? 2 ?2 ? 1?2 ?精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 54 ? 1?1?1? 公式组三 公式组四 公式组五 2 12? ? 2? ?2 12 ? ? ? 21?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 54 2 ? ?1? ? 2 ? 2? ? ） 2 1? 2 2 2? 2? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 54 ? 2?2? ? ?)?2 ? 2?2 2? ? ? ?4 , ,? ? 3 ,. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 54 2 ? 2 ? ? 6?4 2 y? a,b上递增，则 y?a,b上递减 . y? x y ?xy?f 与 y ?周期是 ?. ?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 54 ? y? y y?周期 T? 2? . 的周期为 2?. ? 2 y?对称轴方程是 x，对称中心，对称中心； y? 的对称轴方程是 x ?k? ? 12 ； y?的对称中心 . y?y?当 ?1,?k? ? 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 54 ?1,?k? ? 2 . y ?与 y?2k?是同一函数 ,而 y?是偶函数，则 ?x? ? 2 ? y?函数 y? R 上为增函数 . 只能在某个单调区间单调递增 . 若在整个定义域， y?样也是错误的 . 定义域关于原点对称是 是满足奇偶性条件，偶函数： f?f，奇函数： f?f） 奇偶性的单调性：奇同偶反 . 例如： y?y? 3 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 20 / 54 奇函数特有性质：若 0? f 一定有 y ?f?0. ； y?y?非所有周期函数都有最小正周期，例如： y=|图象 y?f?5?f,k?R. y ?a?b 22 a2?b2?y. 11、三角函数图象的作法： ）几何法： ）描点法及其特例 五点作图法，三点二线作图法 . ）利用图象变换作三角函数图象 三角 函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等 函数 y 振幅 |A|，周期 T ?2?|?| ，频率 f ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 21 / 54 1T ? |?|2? ，相位 ?x?;初相 ?， 由 y 坐标伸长或缩短到原来的 |A|倍，得到 y 做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换 由 y 坐标伸长或缩短到原来的 | 得到 y x 的图象，叫做周期变换或叫做沿 x 轴的 伸缩变换 由 y 图象上所有的点向左或向右平行移动个单位，得到 y 做相位变换或叫做沿 由 y 图象上所有的点向上或向下平行移动b个单位，得到 y 由 y 图象利用图象变换作函数 y 图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。 竞赛知识要点 一、反三角函数 . 1. 反三角函数： ?反正弦函数 y?奇函数，故精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 22 / 54 x?1,1? 注： x ， x?1,1? ，?,?. ? ? 2 2? 1 ? |倍， ? 反 余 弦 函 数 y? 奇 非 偶 ， 但 有?2k?， x?1,1?. 注： x， x?1,1?，0,?. y?偶函数， y?奇非偶，而 y?y?奇函数 . ?反正切函数： y?义域，值域， y?奇函数， ?x， x?. ? 2,2 ?反余切函数： y?义域，值域， y? ?2k?， x? x， x?. y?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 23 / 54 ?2k?,x?1,1 同理为奇而 y ?2k?,x?1,1. a ? y?奇非偶但满足 ? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集： a 的取值范围 解集 a 的取值范围 解集 x?a 的解集 a 的解集 ? 1 ?k?Z? k a 1 ? a 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 24 / 54 =1 ?x|x?2k? 1 a =1 ?x|x?2k?k?Z? a ?x|x?k?1? k?Z ?k?Z? ? a 1 ?x|x?k?a a,k?Z? x?x|x?k? 解集： ?x|x?k?k?Z? 3 二、三角恒等式 . 组一 组二 n . 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 25 / 54 n n?1 n?1 ?34433 ? 2 ? 2 ?k?1 ?2 k ?2 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 26 / 54 ?4 8 ?2 n ? n ?2 n n ?k?0n k?0 ?精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 27 / 54 ?组三 三角函数不等式 x ? x,x? f? 上是减函数 若 A?B?C，则 x2?y2?角函数 三角函数知识框架图 知识要点 : 定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角 l 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 28 / 54 叫做一弧度。 360 度 =2弧度。若圆心角的弧长为 l，则其弧度数的绝对值 | |=,其中 r 是圆的半径。 r 定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，在角 y 的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为，到原点的距离为 r,则正弦函数 , r 弦函数 ,正切函数 , 正角 :按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角 :按顺时针方向旋 转形成的角 ?零角 :不作任何旋转形成的角 ? 2、角 ?的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 ?为第几象 ? 限 角 第 一 象 限 角 的 集 合为 ?k?360?k?360?90?,k?=?2k?2k?,k? 2? ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 29 / 54 ? 第 二 象 限 角 的 集 合为 ?k?360?90?k?360?180?,k?=?2k?2k?,k? 2? ? - 1 - ? 第 四 象 限 角 的 集 合为 ?k?360?270?k?360?360,k?=_ 终边在 ?k?180,k?=_ 终边在 y 轴上的角的集合为 ?k?180?90,k?=_ 终边在坐标轴上的角的集合为 ?k?90,k?=_ 3 、与角 ? 终 边 相 同 的 角 的 集 合为 ?k?360?,k?=_ ? ? ? ? ? ? ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 30 / 54 第 三 象 限 角 的 集 合为 ?k?360?180?k?360?270?,k?=_ 4、已知 ?是第几象限角，确定 ? n?所在象限的方法：先把各象限均分 n 等份，再从 n * 轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则 ?原来是第几象限对应的标号即为在的区域 ? 终边所落 n ?180? 5、弧度制与 角度制的换算公式： 2?360?， 1?，1? ?180? C?2r?l， 6、若扇形的圆心角为 ?为弧度制 ?，半径为 r，弧长为 l，周长为 C，面积为 S，则 l?r?， ? ? 11 S?lr? 22 7、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 31 / 54 象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正 ? 8、三角函数线： ?， ?， ?若 x?0,?，则 ?2? 9 、 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关系： ?1?1?1?1?； ; ?2? ? ? ? k? ?形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 2 10、三角函数的诱导公式：； 1? ? 1?12、和差化积与积化和差公式 : ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 32 / 54 ?,2, ?2?2?2?2? + =2, =, 2222? 11 2211 - 22 13 、 二 倍 角 的 正 弦 、 余 弦 和 正 切 公 式 ： 2 1? 21?1?2 22 2 2 1?1? 14、半角公式 :=?； ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 33 / 54 22221?2?15、辅助角公式 :?，其中 16、万能公式 2 ? ? ? ， 1? ， 2 2 1? 2 1? 2 17、函数 y?个单位长度，得到函数 y?x?的图象；再将函数 y?x?的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 | 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 34 / 54 1 ? |倍，得到函 数 y?x?的图象；再将函数 y?x?的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 ?倍，得到函数 y?x?的图象 - 3 - 函数 y?1 ? 倍，得到函数 y?x 的图象；再将函数 y?x 的图象上所有点向左平移 | ? |个单位长度，得到函数 ? 再将函数 y?x?的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 ?倍 y?x?的图象； ，得到函数 y?x?的图象 例：以 y?换到 y?4例 3 y?左平移 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 35 / 54 个单位 ? y? 3? 横坐标变为原来的 1? 倍 y?x? 33? ?纵坐标变为原来的 4 倍 y?43x? 3? 1 y?坐标变为原来的倍 y?x? 向左平移 ? 个单位 y?x?x? 9?3? ?纵坐标变为原来的 4 倍 y?43x? 3? 注 意 ： 在 变 换 中 改 变 的 始 终 是 x 。 函数y?x?0,?0?的性质： 振幅： ?；周期： ? 2? ? ；频率： f? 1?；相位： ?x?；初相： ? ?2? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 36 / 54 函数 y?x?B，当 x?得最小值为 当 x?，取得最大值为 则 ? ? ?x2?x1?x1? - 4 - 1212?2 三角函数题型分类总结 一 三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有： a) 常数代换法：如： 1?b) 配角方法： ?,2?,? - 5 - ? 2 ? ? 2 ,? ? 2 ? ? 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 37 / 54 三角函数 应用 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿 x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角 . 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 ?k?360?k?Z? ? x 轴上角： ?k?180?k?Z? y 轴上角： ?90?k?180 ? ? ?k?Z? 3、第一象限角： ?0?k?360?90?k?360?k?Z? 第二象限角： ?90?k?360?180?k?360?k?Z? 第三象限角： ?180?k?360?270?k?360?k?Z? 第 四 象 限角： ?270?k?360?360?k?360?k?Z? 4、区分第一象限角、锐角以及小于 90的角 第一象限角： ?0?k?360?90?k?360?k?Z? 锐 角： ?0?90? 小于 90的角： ?90? ? ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 38 / 54 5、若 ?为第二象限角，那么 ? 2 ?2 为第几象限角？ ? 4?k? 5?4 ?2k?2k? ? 2 ? ? k?0, ? 4 ? ? 2 , k?1,? 23?2 ?k? , 所以 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 39 / 54 在第一、三象限 2 6、弧度制：弧 长等于半径时，所对的圆心角为 1 弧度的圆心角，记作 17、角度与弧度的转化： 1?8、角度与弧度对应表： ? ? 180 ? 1? 180? ? ?57?18? 9、弧长与面积计算公式 弧长： l?R；面积： S? 二、任意角的三角函数 1、正弦： yr xr 2 l?R? 12 2 ?R，注意：这里的 ?均为弧度制 . ；余弦 ； 正切 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 40 / 54 其中 ?x,y?为角 ?终边上任意点坐标， r? 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 . 第 一 象 限 ： ,y?0 0,0,0, 第 二 象 限 ： ,y?0 0,0,0, 第 三 象 限 ： ,y?0 0,0,0, 第 四 象 限 ： ,y?0 0,0,0, 4、三角函数线 设任意角 ?的顶点在原点 O，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与 P， 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M；过点 A 作单位圆的切线，它与角 ?的终边或其反向 延长线交于点 T. 由四个图看出： 当角 ?的终边不在坐标轴上时，有向线段 OM?x,MP?y，于是有 y? ?AT xr?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 41 / 54 ?x? ? 们就分别称有向线段 M,正弦线、余弦线、正切线。 P 5、同角三角函数基本关系式 1 2 2 ?1 2 ?1?22 ?1?26、诱导公式 n? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 42 / 54 口诀：奇变偶不变 ,符号看象限 ?22 n?n?n 为偶数 ?n 为偶数 ?)?；n 为奇数 ?n 为奇数 ?与 ?2k?,?k?Z? ?与 ? ? ? ? ?与 ? ? ? ? ?与 ? ? ? ? ?与 ?2 ? ? ? ? ?2?2? ?与 ?2 ? ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 43 / 54 ? ? ?2?2? ?与 3?2 ? ?3?3? ? ?2?2? ?与 3?2 ? ?3?3? ? ?2?2? 三、三角函数的图像与性质 1、将函数 y?图象上所有的点，向左平移 ?个单位长度，得到函数 y?x?的图象；再将函数 y?x?的图象上所有点的横坐标伸长到 原来的 1 ? 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 A 倍，得到函数y?x?的图象。 倍 ， 得 到 函 数 y?x? 的 图 象 ； 再 将 函 数y?x? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 44 / 54 2、函数 y?x?A?0,?0?的性质： 振幅： A；周期： T? 2? ? ；频率： f? 1T ? ?2? ；相位： ?x?；初相： ?。 3、周期函数：一般地，对于函数 f?x?，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足f?x?T?f?x?，那么函数 f?x?就叫做周期函数， T 叫做该函数的周期 . k? ?4、 y?称轴：令 ?x?k? 对称 中心： ?x?k?，得 x? k? ?2 ? ，得 x? ,0)； ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 45 / 54 ? ，对称轴：令 ?x?k?，得 x? ? 2 k? k? ?k? ?； ? ,0)； 对称中心： ?x?k?周期公式 : ，得 x? ? ，及 y? 0). 函数 y? x?的周期 T ? . 5、三角函数的图像与性质表格 高中数学第四章 1. 与 ?终边相同的角的集合： ?|?k?360?,k