反常积分总结

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 46 反常积分总结 一、不定积分 1、不定积分的概念也性质 定义 1：如果在区间 I 上，可导函数 F 的导函数为 f，即对任一 x?I,都有 F=f或 dF=那么函数 F 就称为 区间 I 上的原函数。 定义 2：在区间 I 上，函数 f 的带有任意常数项的原函数称为 f 在区间 I 上的不定积分，记作 ? 性质 1：设函数 f 及 g 的原函数存在，则 ?f?g 性质 2：设函数 f 的原函数存在， k 为非零常数，则 ?k? 2、换元积分法 第一类换元法： 定理 1：设 f 具有原函数， ?可导，则有换元公式 ?f? ?。 例：求 ?2 ?2d? 将 ?2得 ?2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 46 第二类换元法： 定理 2：设 x?是单调的、可导的函数，并且 ?f?具有原函数，则有换元公式 ?f?1 其中 ?是 x?的反函数。 t? ?1 , 例：求 ? a 2 2 22 解 1? ? 设 x?t?，那么 2?2 x2?a2?a2?a?dx? 于是 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 46 ? ?2 ? ? dx a 2 2 ? x2?且 a ? ?C?， C?C?1? 22?xx?a ? ?3、分部积分法 定义：设函数 ?及 ?具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为 ? 移项 得 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 46 ? 对这个等式两边求不定积分，得 ?公式为分部积分公式。 例：求 ? ? ? 分部积分的顺序：反对幂三指。 4、有理函数的积分 例：求 ? x?1 x?5x?6 2 解 x?5x?6?，故设 x?1? x?6x?3x?2 其中 A,式两端去分母后，得 x?1?A?B 即 x?1?x?2A?3B 比较上式两端同次幂的系数，既有 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 46 ?A?B?1 ? ?2A?3B?1 从而解得 A?4,B?3 于是 x?13?4 ?3?C ?x?6? ?x?3x?2? 其他有些函数可以化做有理函数。 5、积分表的查询 二、定积分 1、定积分的定义和性质 定义：设函数 f 在 ?a,b?上有界，在 ?a,b?中任意插入若干个分点 a?x0?x1?xn?b 把区间 ?a,b?分成 n 个小区间 ?x0,?x1,?,?,各个小区间的长度依次为 ?x1?x1?x2?x2?,?xn?xn? 在每个小区间 ?,任取一点 ?i?i?作函数值 f 与小区间长度 ?乘积 f?xi?i?1,2,?,n?，并作出和 S?f?xi i?1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 46 n 记 ?,?如果不论对 ?a,b?怎么划分，也不论在小区间 ,点 ?要当 ?0时，和 S 总趋于确定 ? 的极限 I，那么称这个极限 I 为函数，记作 f 在区间 ?a,b?上的定积分 ? b a n ? 其中变量， b a ?f?0 i?1 f 叫做被积函 数， x 叫做积分 a 叫做积分下限， b 叫做积分上限， ?a,b?叫做积分区间。 f 在区间 ?a,b?上有界，且只有有限个间断点，则 f 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 46 定理 1：设 f 在区间 ?a,b?上连续，则 f 在 ?a,b?上可积。 定理 2：设 在 ?a,b?上可积。 性质 1： 性质 2： ?f?g? a bb a a b ?k? a bb a 性质 3： 设 a?c?b，则 ? b a a c 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 46 质 4：如果在区间 ?a,b?上 f?1，则 ?1dx?b?a a a 质 5：如果在区间 ?a,b?上， f?0，则 ? ? ba b a ?a?b? 推论 1：如果在区间 ?a,b?上， f?g，则 a?b? a b 反常积分的收敛判别法 阿文 摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值 . 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 46 关键词： 别法； 别法； 别法 引 言 一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值 握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的 . 一 非负函数反常积分的收敛判别法 设在 a,?)上恒有 0?f?K?，其中 ?是正常数，则 当 ? 当 ?a ?敛时 ?a?收敛； a? 判别法 设在 a,?)?上恒有 f?0， ?是正常数， ?K若 f?p，且 p1,则 ? ?若 f?p，且 p?1，则 ? 一般函数反常积分的收敛判别法 判别法 ? ?敛， g 在 a,?)单调有界，则 ?- 1 - ?2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 46 收敛； 判 别法 F=? a,?)上有界， g 在 a,?)上单调且 ，则 ?A? 敛 . 三 无界函数反常积分的收敛判别法 判别法 设在 a,b)上恒有 f?0，当 x 属于 b 的某个领域 b?0,b)时，存在正常数 K，使得 f?p bK f?,且 p?1 则 ? 别法 ?b g 在 a,b)上单调有界，则 ? 别法 F? b 在 a,b)上单调且 , x?b?则 ?敛 . 总 结 函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同 . 熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 46 出正确的估计及计算 一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高 . 参考文献 1陈纪修，於崇华，金路 M，北京：高等教育出版社， - 2 - 第十一章 反常积分 1 反常积分的概念 教学目的：掌握反常积分的定义和计算方法 教学内容：无穷积分；瑕积分 基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法 教学建议：讲清反常积分是变限积分的极限教学要点 1 反常积分概念 一 问题的提出 例 1 在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球， 问初速度至少多大？ 解 设地球半径为 R，火箭质量为 m 地面重力加速度为 g，有万有引力定理， 在距地心 x 处火箭受到的引理为 F? 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 46 22 于是火箭上升到距地心 r 处需要做到功为 r ? R 2 dx? r?时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 ? ? R 2r ?r? ? R 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 46 2 ?由能量守恒定律，可求得处速度 12 ? ? 例 2 从盛满水开始打开小孔，问需多 长时间才能把桶里水全部放完？ 解 由物理学知识知道，桶里水位高度为 h?x 时，水从小 孔里流出的速度为 v? x 设在很短一段时间 ?里水面降低的 高度为 ?x，则有下面关系： 22 ?R?x?v?r?t 由此得 ?t? 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 46 x,x?0,h 所以流完一桶水所需的时间应为 h ?r R 2 2 是，被积函数在 u?h ? 相对于以前学习的定积分，我们把这里的积分叫做反常积分。 二 两类反常积分的定义 无穷限反常积分的定义 F? ? A ， a 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 46 无穷限反常积分几何意义 ? 例 1 讨论积分 ?2 , x ? ? f?F?F. a ? , ? 1?x 2 ? 1?x 2 的敛散性 . 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 46 第七讲 非黎曼积分 一、知识结构 我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间 . 下面研究积分区间无限 ,或积分区间不是闭区间的积分 ,我们称这样的积分为反常积分 ,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常 我们主要研究它的计算问题 ,而对反常积分 , 主要研究它的收敛问题 . 1、 一元函数的反常积分 一元函数反常积 分的概念和定义 我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间 a,，如果将积分区间 a,b 换成无限区间 a,?)或非闭区间或非闭区间在无限区间 a,?)连续，则定义 ? ? a ?a ? A 果极限 ?a ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 46 A 们称反 常积分 ? ? a 定义 2 函数 f 在非闭区间 dx? ?0 b a? 果极限 ? k?a k ?0 a? 41 存在，我们称反常积分 ? b 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 46 a x?a 函数 f 在点 a 右邻域内无界的意思是： f? 函数 f 可以存在 ,这时 a 不在点 a 没有定义 ,但函数 f 在点 x?a 是被积函数 f 的瑕点 . 1,所以 x?0不是在点 0 处没有定义 ,但 x?0瑕点 . ?是反常积分 . 将积分 ?积分 ?000如 ,函数 作推广的黎曼积分 . 因为 , 如果被积函数 f 在闭区间 ?a,b?上仅有有限个第一类间断点 , 则积分 ? b a 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 46 它也是收敛的 . 定义 3 函数 a,定义 ? b a a c ?0 a? ?0 b? c 如果极限 ?0 b ? c 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 20 / 46 a? ?0 b? c 们称反常积分 a 定义 4 函数 f 在无限区间连 续， a 是函数 f 的瑕点，则 定义 ? ? a a b? b ?0 A?b b a? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 21 / 46 ?b ? A 如果极限 ?0 ?a ? b a? A 们称反常积分 积分区域无限且被积函数 f 有瑕点 . 242 2、一元函数反常积分的性质与收敛判别 请同学们切记如下例子中的结论 . ?11和 ?0敛散性 . 11?1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 22 / 46 均发散 . 解 显然 ?和 ?01 在区间 . 当 p?1时 , 函数 p?, 01 即前者的图像在后者的图像上方 ,这时 ? 0x 11 在区间 1,?)上 , 当 p?1时 , 函数 p?, 即前者的图像在后者的 ?1 当 p?1时 , 函数图像上方 ,这时 ?111 ?收敛 . 1 结论 : ? ?1 ，当 p?1时， 1? ?1?,当 p?1时 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 23 / 46 和 ? ? 1 ?，当 p?1时， 1?1? ?,当 p?1时 ?p?1 无穷积分的性质与收敛性判别 无穷积分的性质 若 ? a ? a ? a 则 ? a ?a ? 收敛 , 且 ? ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 24 / 46 dx?k1? a ?a 若 f 在任何有限闭区间 a,u上可积 ,a?b, 则 ? 243 ? ? b? 并且 ?b ? a 若 f 在任何有限闭区间 a,u上可积 , 且有则 ? ? a f 收敛， 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 25 / 46 ? ? a ? ? a ?a ? a 当 ? ? a f 收敛时 , 称 ? 我们称收敛而不绝对 收敛者为条件收敛 . 无穷积分的收敛判别 柯西收敛准则 对无穷积分判断 . 定理 1 无穷积分 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 26 / 46 ? ? a 敛散性用以下准则可以作出 u?a u ? ? a 对 u1,时 , 有 ?0, ?U?0, ?U, 当 ? u1 a ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 27 / 46 u2 u1 . 无穷积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到 . 比较法则 定理 2 设定义在 a,?)上的两个函数 f和 a,u上可积 ,且满足 f?g,x?a,?),则当 ? ? a ? a f 必收敛 ; 当 ? ? a f 发散时 ?a ? 必发散 . 考虑当 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 28 / 46 ? a ? a 当 ? ? a 44 发散时 ? ? a 推论 1设定义在 a,?)上的两个函数 f和 g 都在任何有限区间 a,u上可积 ,g?0, 且 当 0?c?时 , 当 c?0时 , 由 ? ? fg x? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 29 / 46 ?c, 则有 ? ? ? a f 与 ?敛态 ; a a ? ? a f 也收敛 ; ? 当 c?时 , 由 ? a 式 a f 也发散 . 利用不等 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 30 / 46 c? c? ，即 ?c?g?f?c?g 可证上述结论 . 推论 2 设 f 是定义在 a,?)的函数 ,且在任何有限区间 a,u上可积 ,则有 : ?1 x?a,?)p?1,且时 , p?1 当 f?p,x?a,?),且 p?1时 , ? 当 f? 利用结论 ? ? 1 ?，当 p?1时， 1?1?可证上述结论 . ?p,当 p?1时 x?p?1 推论 3 设 f 是定义在 a,?)的函数 ,在任何有限区间a,u上可积 ,且 x? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 31 / 46 c, 则有 : ? 当 p?1,0?c?时 , ? ? a f 收敛 ; 245 第五章 定积分 创新生技 102班 张梦菲 2010015066 一、主要内容 . 定积分概念： 1. 定积分定义：设 f 在区间 a,b上有界，在 a,b中任意插入若干个分点 小区 a?x0?x1?xn?a,b分成 ,，间的长度记为 ?xi?xi?,，在 ,任意取一点 ?i，作 n ?f?x， i i 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 32 / 46 i?1 n 若 ?0 ?f?x 存在 . 就称该极限为 f 在 a,b上的定积分 . i i i?1 1?i?n i 记为 ? b a f?0 i?1 n 当上述极限存在时，称 a,b上可积 . 2. 若 a,b上连续，则 f 在 a,b上可积。 3. 若 f 在 a,b上有界，且只有有限个间断点，则 f 在a,b上可积 . . 定积分的几何意义 定积分 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 33 / 46 ? b a 曲线 y?f，直线 x?a和 x?b 以及 积的代数和 . 定积分的性质 1. 补充规定：当 a? ? b a b 当 a? 2. 性质： ? a ?b b a ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 34 / 46 b a f?g a ?a b ? ba b ab k?a b a a c dx?b?a 若在 a,b上， f?0，则 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 35 / 46 ? b a , 推论 1：若在 a,b上， f?g，则 推论 2： ? b a a b ? b a f,. a b 若在 a,b上， m?f?M,则 m? ? b a , 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 36 / 46 ：若 f 在 a,b上连续，则在 a,b上至少存在 ?，使 ? b a f, ? 3. 连续函数 f 在 a,b上的平均值， y? . 积分上限函数及其导数 1. 若对任意 x?a,b， 1b ab?a x ? x a 称 ? a 2. 若 f 在 a,b上可积，则 f 在 a,b上有界 . 且积分上限函数 ? ? x a 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 37 / 46 a,b上连续 . 3. 设 f 在 a,b上连续，则 ?a,b上可导，且 a x dx f,. ?d? f?. 4. 设 f 连续， ?可导，则 ? dx?a ? 5. 设 f 连续， ?， ?可导，则 ? d? f?f?. ? . 牛顿 莱布尼兹公式 . 设 f 在 a,b上连续， F 为 f 在 a,b上的一个原函数，则 ? b a 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 38 / 46 ?F. . 定积分的换元法 设 f 在 a,b上连续， x?满足： ?a,?b. ?在 ?,?上具有连续导数，且 x?的值域不越出 a,b的范围，则有 ? b a f? ? 注：当 ?的值域 R?A,B越出 a,b的范围，但满足其余条件时，只要 f 在 A,B上连续，则换元法的结论仍然成立 . . 定积分的分部积分法 设 u 与 v 在 a,b上具有连续导数，则有 ? b a ?a a b b 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 39 / 46 . 几类 特殊的积分公式 1. 设 f 在 ?a,a上连续，则有 ? a ?a f?fa ? a ?a a ?2f? ?0 ?0 当 fx?aa 上连续的偶函数时 ,当 f 为 ?a,a上连续的奇函数时 2. 设 f 是以 l 为周期的连续函数，则对任意实数 a， 有 ? a?l a 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 40 / 46 l 3. 设 f 在 0,1上连续，则 ? ? 20 2 ? ? 2? ?0 ? ? ?2n?1n?231?422? ?n?1n?242 ?1 4. ?0202 ?53?1? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 41 / 46 . 反常积分 1. 无穷限的反常积分 设 f 在 a,?)上连续 , 设 f 在 dx?b?a b ? ? a?a b 设 f 在上连续 , ? ? ? ? a?a b?0 0?0b 若上述各式右端的极限