东南大学数值分析第四章三次样条插值.doc

第四章 多项式插值与函数最佳逼近曲线拟合之3次样条插值*（学号） *（姓名）上机题目要求见教材P195,37题。一、算法原理题目要求编写第一边界条件的3次样条插值函数的通用程序，同时根据汽车门曲线值点构造三次紧压样条曲线函数。其基本原理如下定义设有N+1个点，其中。如果存在N个三次多项式，系数为满足如下性质：则成为三次样条函数。现证明其存在：由于是分段三次多项式，其二阶导数是在区间内是分段线性的。根据线性拉格朗日插值可以表示为：用代入上式，得将上式积分两次，会引入两个积分常数，可得到如下形式：将代入上式，并利用可得两个方程：求解，并将所得的结果带入方程得求式（7）的导数，并化简得由上述方程可得如下方程重组上述方程，得三角线性方程组，表示为该式具有严格对角优势。算出系数后可由如下公式计算的样条系数。二、流程图开始输入数据及边界条件计算H，D，U利用端点约束计算求各段的样条系数结束用已知的N+1个点构造三次紧压样条曲线的问题。其通用程序流程图1所示。图1关于求解三阶样条曲线算法流程图具体步骤如下：1) 计算，2) 联系端点约束条件求解样条函数的系数。三、计算代码核心代码for k=2:N-1 temp=A(k-1)/B(k-1); B(k)=B(k)-temp*C(k-1); U(k)=U(k)-temp*U(k-1);endfor k=N-2:-1:1 M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2)/B(k);for k=0:N-1 S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1)/(6*H(k+1); S(k+1,2)=M(k+1)/2; S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2)/6; S(k+1,4)=Y(k+1);end完整代码function S=Three_fit(X,Y,dx0,dxn)%Input - X is a vector that contains a list of abscissas% - Y is a vector that contains a list of ordinates% - dx0=S(x0) first derivative boundary condition% - dxn=S(xn) first derivative boundary condition%Output - S rows of S are the coefficients , in descending order ,for% the cubic interpolantsN=length(X)-1;H=diff(X);D=diff(Y)./H;A=H(2:N-1);B=2*(H(1:N-1)+H(2:N);C=H(2:N);U=6*diff(D);%clamped spline endpoint constraintsB(1)=B(1)-H(1)/2;U(1)=U(1)-3*(D(1)-dx0);B(N-1)=B(N-1)-H(N)/2;U(N-1)=U(N-1)-3*(dxn-D(N);%Gauss elimination to solve mk for k=2:N-1 temp=A(k-1)/B(k-1); B(k)=B(k)-temp*C(k-1); U(k)=U(k)-temp*U(k-1);endM(N)=U(N-1)/B(N-1);for k=N-2:-1:1 M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2)/B(k);endM(1)=3*(D(1)-dx0)/H(1)-M(2)/2;M(N+1)=3*(dxn-D(N)/H(N)-M(N)/2; for k=0:N-1 S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1)/(6*H(k+1); S(k+1,2)=M(k+1)/2; S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2)/6; S(k+1,4)=Y(k+1);end四、计算结果及分析根据题目数据调用函数如下X=0:10;Y=2.51,3.30,4.04,4.70,5.22,5.54,5.78,5.40,5.57,5.70,5.80;dx0=0.8;dxn=0.2;S=Three_fit(X,Y,dx0,dxn)plot(X,Y,o),hold onyprint=;for ii=1:10 x=X(ii):0.1:X(ii+1); y=polyval(S(ii,:),x-X(ii);%分段拟合 yprint=yprint,polyval(S(ii,:),0.5);plot(x,y)endxlabel(x,FontSize,20),ylabel(y,FontSize,20)title(三次样条插值,FontSize,22)hold offdisp(-)disp( x(i) = 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5)disp(-)disp(S(i+0.5)= num2str(yprint(1) num2str(yprint(2) . num2str(yprint(3) num2str(yprint(4) num2str(yprint(5). num2str(yprint(6) num2str(yprint(7) num2str(yprint(8). num2str(yprint(9) num2str(yprint(10)disp(-)输出三次样条函数的系数S = -0.0085 -0.0015 0.8000 2.5100 -0.0045 -0.0270 0.7715 3.3000 -0.0037 -0.0404 0.7041 4.0400 -0.0409 -0.0514 0.6123 4.7000 0.1074 -0.1741 0.3868 5.2200 -0.2685 0.1479 0.3606 5.5400 0.4266 -0.6575 -0.1491 5.7800 -0.2679 0.6222 -0.1844 5.4000 0.0549 -0.1814 0.2565 5.5700 0.0584 -0.0168 0.0584 5.7000打印出的值- x(i) = 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5-S(i+0.5)= 2.9086 3.6784 4.3815 4.9882 5.3833 5.7237 5.5944 5.4299 5.6598 5.7323-输出拟合曲线:Fig2 三次样条曲线分析：由图形可以看出，三阶样条曲线非常光滑，用该法能获得很好的拟合效果。五、结论对数据进行