数学：第六章二次函数复习教案(苏科版九年级下).doc

第六章 二次函数复习学案一. 教学内容： 二次函数小结与复习二. 重点、难点： 1. 重点： 体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值；会运用待定系数法求二次函数的解析式；利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思. 2. 难点：二次函数图象的平移；将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策. 三. 知识梳理：1. 二次函数的概念及图象特征二次函数：如果，那么y叫做x的二次函数通过配方可写成，它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线2. 二次函数的性质值函数的图象及性质0开口向上，并且向上无限伸展；当x时，函数有最小值；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大0开口向下，并且向下无限伸展；当x时，函数有最大值；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小3. 二次函数图象的平移规律 抛物线可由抛物线平移得到. 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论4. 、及的符号与图象的关系a决定抛物线的开口方向；a0. 开口向上；a0，开口向下a、b决定抛物线的对称轴的位置：a、b同号，对称轴（0在y轴的左侧；a、b异号，对称轴（0）在y轴的右侧. c决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x0）的位置：c0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；c0，抛物线经过原点；c0，与y轴的交点在y轴的负半轴上b24ac决定抛物线与x轴交点的个数：当b24ac0时，抛物线与x轴有两个交点；当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点；当b24ac0时，抛物线与x轴没有交点5. 二次函数解析式的确定用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法：设一般形式：（a0）；设顶点形式：（a0）；设交点式：（a0）. 6. 二次函数的应用问题解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型，同时还要注意符合实际情景. 【典型例题】例1. 二次函数y=x2+2x1通过向 （左、右）平移 个单位，再向_（上、下）平移 个单位，便可得到二次函数y=x2的图象. 分析：y=x2+2x1的顶点为（3，2），y=x2的顶点为（0，0），因此可以根据顶点坐标确定平移的方向和距离. 解：y=x2+2x1=（x3）2+2，把二次函数y=x2+2x1向左平移3个单位，再向下平移2个单位，便得到y=x2的图象例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则下列5个代数式：ab，ac，ab+c，b24ac，2a+b中，值大于0的个数有（ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2解析：抛物线开口向上，a0. 对称轴在y轴左侧，a，b同号. 又a0，b0. 抛物线与y轴的交点在x轴下方，cO. ab0，ac0. 抛物线与x轴有两个交点，b24ac0. 对称轴x=1，b=2a. 2a+b0当x=1时，y=ab+c0. 选C. 例3. 如图，抛物线y=x2+2（m+1）x+m+3与x轴交于A、B两点，且OA：OB=3：1，则m的值为（ ）A. B. 0 C. 或0 D. 1分析：二次函数的图象与x轴交点的横坐标与点到原点的距离即线段的长度应区分开，当点A在原点右侧时，xA=OA；当点A在原点左侧时，xA+OA=0（注：点A在x轴上）. 解：设OB=x，则OA=3x（x0），则B（x，0），A（3x，0）. x，3x是方程x2+2（m+1）x+m+3=0的根，x+3x=2（m+1），x3x=m3. 解得m1=0，m2=. 又x0，m=不合题意. m=0，因此选B. 例4. 已知二次函数y=mx2+（m1）x+m1有最小值为0，求m的值. 分析：二次函数y=ax2+bx+c有最大（小）值a0（a0）. 解：二次函数y=mx2+（m1）x+m+1有最小值为0，即解得m=1. 例5. 已知关于x的二次函数y=（m+6）x2+2（m1）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，求m的取值范围. 分析：这个函数是二次函数，应注意m+60这个条件. 解：二次函数y=（m+6）x2+2（ml）x+（m+1）的图象与x轴总有交点， m且m6. 例6. 如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4. 9m，AB=10m，BC=2. 4m. 现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道. 问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道顶部？（抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁）分析：由已知条件知，抛物线经过原点O（0，0）、C（10，0），顶点的纵坐标为（4. 92. 4）=2. 5. 由此可求出抛物线的关系式，要想使汽车的顶部不碰到隧道的顶部，看y=42. 4=1. 6时，求出x的值. 解：由已知条件知，该抛物线顶点的横坐标为=5，纵坐标为4. 92. 4=2. 5，C点坐标为（0，0），设抛物线的函数关系式为y=a（x5）2+2. 5. 把（0，0）或（10，0）代入上式，得0=25a+2. 5. 解得a=. y=（x5）2+2. 5. 当y=42. 4=1. 6时，1. 6=（x5）2+2. 5. 解得x1=8，x2=2（不合题意，舍去）. x=8，OCx=108=2（米）. 故汽车离开右壁至少2米，才不会碰到顶部. 点拨：将实际问题转化成数学问题时，要注意（1）顶点纵坐标是（4. 92. 4）而不是4. 9；（2）求出的x=2是汽车的右侧离开隧道右壁的距离（因为该隧道是双向的，因此会出现两种情况），若改为“汽车离开隧道壁多少米才不至于碰隧道顶部”，则x1=2，x2=8都合题意. 例7. 今年夏季我国部分地区遭受水灾，空军某部奉命赶赴灾区空投物资。已知在空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线的顶点在机舱口A处，如图. 如果空投物资离开A处后下落的垂直高度AB=160米时，它到A处的水平距离为BC=200米，那么要使飞机在垂直高度AO=1000米的高空进行空投，物资恰好准确落在P处，飞机距P处的水平距离OP为多少米？如果根据空投时的实际风力和风向测算，当空投物资离开A处的垂直距离为160米时，它到A处的水平距离为400米，要使飞机仍在中O点的正上方空投，且使空投物资准确地落在P处，那么飞机空投的高度应调整为多少米？分析：中由题意可知抛物线的顶点坐标为（0，1000），点C的坐标为（200，840），因此可设抛物线关系式为y=ax2+1000，再把点C的坐标代入即可；由题意知C（400，h160），再由P点坐标即可求出关系式. 解：由题意知，A（0，1000），C（200，840）. 设抛物线的关系式为y=ax2+1000，把x=200，y=840代入上式，得840=a40000+1000. 解得a=. y=x2+1000. 当y=0时，x2+1000=0. 解得x1=500，x2=500（舍去）. 飞机应在距P处的水平距离OP=500米的上空空投物资. 设飞机空投时离地面的高度应调整为h米，则设抛物线的关系式为y=ax2+h. 把点C（400，h160）代入上式，得h160=a4002+h. 解得a=. y=x2+h. 把x=500，y=0代入上式，得0=5002+h. h250. 飞机空投时离地面的高度应调整为250米. 点拨：已知抛物线的顶点时，可先列出二次函数的顶点式，然后根据条件用待定系数法求函数关系式. 例8. 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数关系式 . 分析：本题主要考查二次函数的性质、待定系数法、数形结合思想及抛物线与x轴、y轴交点坐标、分类讨论思想. 解：如图，设抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于C，则ABOC=3. ABOC=6. 分类讨论：若AB2，则OC3. A（3，0），B（5，0），C（0，3）或（0，3）. 若AB=4，则OC=1. 5. A、B、C三点的坐标都为整数，故不合题意. 若AB=6，则OC=1. A（1，0），B（7，0），C（0，1）或（0，1）. 用待定系数法求得y=x2x+1或y=x2+x1或y=x2x+3或y=x2+x3. 点拨：只需填写一个答案即可. 例9. 阅读下面材料，再回答问题. 一般地，如果函数y=f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（x）=f（x），那么y=f（x）就叫做奇函数；如果函数f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（x）=f（x），那么f（x）就叫偶函数. 例如f（x）=x3+x，当x取任意实数时，f（x）=（x）3+（x）=x3x=（x3+x），即f（x）=f（x），所以f（x）=x3+x是奇函数. 又如f（x）=|x|，当x取任意实数时，f（x）=|x|=|x|，即f（x）=f（x），所以f（x）=|x|是偶函数. 问题：下列函数中：y=x4；y=x2+1；y=；y=；y=x+. 所有奇函数是 ，所有偶函数是 . 请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数. 分析：本题综合运用函数及一次函数、二次函数等知识，通过阅读理解奇函数、偶函数的定义，分析理解所给例子，灵活解决问题，因此要认真理解奇函数，偶函数定义，仔细比较所给的两个例子. 解：（x）4=x4，y=x4是偶函数. （x）2+l=x2+1，y=x2+l是偶函数. ，y=是奇函数. 和不一定相等，y=即不是奇函数，也不是偶函数. （x）+，y=x+是奇函数. 是偶函数，是奇函数. 如y=x是奇函数，y=2x21是偶函数. 例10. 已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）任作一条与抛物线y=ax2（a0）交于两点的直线，设交点分别为A、B，且AOB=90. 判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；确定抛物线y=ax2（a0）的关系式；当AOB的面积为4时，求直线AB的关系式. 分析：中A、B两点是抛物线与直线的交点，因此可列方程组并结合一元二次方程根与系数的关系来求解，在此基础上，再求. 解：直线AB过P（0，2），设直线AB的关系式为y=kx+2. 由y=kx+2 ，y=ax2 ，得ax2kx2=0. 设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1x2，则x1，x2是方程ax2kx2=0的两根，x1+x2=，x1x2=. y1y2=ax12ax22=a2=4. A、B两点的纵坐标的乘积为常数4，是一个确定的值. 如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N. AOB=90，1+2=90. 又2+3=90，3=1. RtAOMRtOBN. . . y1y2=x1x2，即4=，a=. y=x2. SAOB=4，即S梯形AMNBSAOMSBON=4. （y1+y2）（x2x1）（x1）y1x2y2=4，（x2y1x1y2）=4. y1=x12，y2=x22，x1x2（x1x2）=4. 又x1x2=4. x1x2=4，（x1x2）2=32. （x1+x2）24x1x2=32. 解得k1=2，k2=2. y=2x+2或y=2x+2 点拨：二次函数与一元二次方程、相似形等有着密切的联系，解答综合题时要充分展开联想，弄清它们之间的密切联系. 【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题：1. 下列各式中，是二次函数的有（ ）（1）y=2x23xz+5；（2）y=32x+5x2；（3）y=+2x3；（4）y=（2x3）（3x2）6x2；（5）y=ax2+bx+c；（6）y=（m2+1）x2+3x4；（7）y=m2x2+4x3. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 如图，函数y=ax2和y=ax+b在同一坐标系中的图象可能为（ ）3. 下列抛物线中，开口向上且开口最小的抛物线为（ ）A. y=x2+1 B. y=x22x+3C. y=2x2 D. y=3x24x+74. 已知二次函数y=kx27x7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（ ）A. k B. k且k0C. k D. k且k05. 二次函数图象y=2x2向上平移1个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的关系式为（ ）A. y=2（x+3）2+1 B. y=2（x3）2+1C. y=2（x+3）21 D. y=2（x3）216. 二次函数y=2（x1）25的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（ ）A. 开口向上，对称轴为直线x=1，顶点（1，5）B. 开口向上，对称轴为直线x=1，顶点（1，5）C. 开口向下，对称轴为直线x=1，顶点（1，5）D. 开口向上，对称轴为直线x=1，顶点（1，5）7. 如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，点P（a+b，ac）是坐标平面内的点，则点P在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限8. 二次函数y=x2+bx+c图象的最高点是（1，3），则b、c的值为（ ）A. b=2，c=4 B. b=2，c=4C. b=2，c=4 D. b=2，c=49. 如果二次函数y=ax2+bx+c中，a：b：c=2：3：4，且这个函数的最小值为，则这个二次函数为（ ）A. y=2x2+3x+4 B. y=4x2+6x+8C. y=4x2+3x+2 D. y=8x2+6x+410. 抛物线的顶点坐标为P（1，3），且开口向下，则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围为（ ）A. x3 B. x3C. x1 D. x1二. 填空题：11. 请你任写一个顶点在x轴上（不在原点）的抛物线的关系式 . 12. 已知二次函数y=x24x3，若1x6，则y的取值范围为 . 13. 抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标为（2，3），则a= ，c= . 14. 二次函数y=2x24x1的图象是由y=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b= ，c= . 15. 不论x取何值，二次函数y=x2+6x+c的函数值总为负数，则c的取值范围为 . 16. 抛物线y