二元一次方程组单元复习与巩固.doc

二元一次方程组单元复习与巩固知识网络目标认知学习目标1了解二元一次方程组及其解的有关概念；2掌握消元法解二元一次方程组的方法；了解代入消元法和加减消元法是两种不同的消元途径；3理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；4掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；5通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念.重点二元一次方程组的解法和列二元一次方程组解简单的应用题.难点本章的难点是列出二元一次方程组解决实际问题.知识要点梳理知识点一：二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 注意：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点二：二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 注意：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来.，即通常用 的形式表示；一般地，在任何一个二元一次方程中，如果把其中的一个未知数任取一个数，都可以通过方程求得与之对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数解，即有无数多对数适合这个二元一次方程.知识点三：二元一次方程组的概念定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组知识点四：二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.注意：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个 方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程 组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程 组 的解有无数个. 知识点五：解二元一次方程组的思想1消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组 转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种 将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2消元的基本思路：未知数由多变少.3消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点六：解二元一次方程组的基本方法1、代入消元法（1）定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. （2）用代入法解二元一次方程组的一般过程：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；解这个一元一次方程，求出（或）的值；把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.注意：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化 简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法。如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个 未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体 代入法。整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度 及准确率。2、加减消元法（1）定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（2）用加减法解二元一次方程组的一般过程：根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；将两个未知数的值用“”联立在一起即可.注意：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单。知识点七：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就必须列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.知识点八：列方程解应用题中常用的基本等量关系1行程问题：速度时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度.2工程问题：工作效率工作时间=工作量.3浓度问题：溶液浓度=溶质.4银行利率问题：免税利息=本金利率期数.知识点九：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1审题、弄清题意及题目中的数量关系；2设未知数，可直接设元，也可间接设元；3找出题目中的等量关系4列出方程组，根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5解所列的方程组，并检验解的正确性；6写出答案.注意：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否 合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 解答步骤简记为：问题方程组解答知识点十：三元一次方程组1、定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。等都是三元一次方程组。注意：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组。2、三元一次方程组的解一般的，使三元一次方程两边的值相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解。三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解。注意：三元一次方程组的解是三个数，要将这三个数代入方程组中的每一个方程进行检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才能是这个方程组的解，而一元一次方程的解是一个数，这是它们之间的区别。3、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数解三元一次方程组的一般步骤是：（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未 知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；（5）将求得的三个未知数的值用“”合写在一起注意：（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里 的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方 程的左、右两边不相等就不是原方程组的解规律方法指导学习本章要注意转化、化归的思想方法. 对于二元一次方程组的定义要特别注意，必须满足如下三个条件：整式方程；含有两个未知数；未知数的次数是1，三者缺一不可.二元一次方程和二元一次方程组有很多类似的地方，学习时可运用类比的思想方法，比较二者有关概念的相同点和不同点，这样，不但能加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识，而且能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力. 解二元一次方程组的关键在于消元，也就是要化“二元”为“一元”，在解方程组时应灵活地选用适当的方法进行解答. 列方程组解应用题的关键是分析题意，找出相等关系，有些题中有多个相等关系，在找相等关系时应尽量找全. 把握题中贯穿整个题意的相等关系，然后列方程组. 本章内容是中考命题的重点内容之一，重点考查方程思想、消元思想以及列方程组解决实际问题的能力，尤其注重方法与技巧的考察.二元一次方程组的解法一、知识要点梳理知识点一：二元一次方程的概念含有两个未知数(一般设为x、y)，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 如xy24，都是二元一次方程.要点诠释：(1)在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.(2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1. 如xy的次数是2，所以方程 6xy90不是二元一次方程.(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 如方程的左边不是整式，所以它就不是二元一 次方程.(4)判断某个方程是不是二元一次方程，一般先把它化为axbyc0的形式，再根据定义判断，例 如：2x4y32x不是二元一次方程，因为通过移项，原方程变为4y3，不符合二元一次方程的 形式。知识点二：二元一次方程的解能使二元一次方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。由于使二元一次方程的左右两边相等的未知数的值不只一个，故每个二元一次方程都有无数组解。如，都是二元一次方程xy3的解，我们把有无数组解的这样的方程又称之为不定方程。要点诠释：(1)使二元一次方程左右两边都相等的两个未知数的值(二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不 是一个数值),即二元一次方程的解都要用“”联立起来，如,是二元一次方程xy2的解。(2)在二元一次方程的无数个解中，两个未知数的值是相互联系、一一对应的。即其中一个未知数的值 确定后，另一个未知数的值也随之确定并且唯一。知识点三：二元一次方程组的概念把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 例如， 都是二元一次方程组.此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一次方程组.知识点四：二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：(1)方程组的解要用大括号联立，如 ，而不能表示成x9,y4.(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个.(3)检验一组数是否是二元一次方程组的解时，一定要将这一组数代入方程组中的每一个方程，看是否 满足每一个方程，只有这组数满足方程组中的所有方程时，该组数才是原方程组的解，否则不是。知识点五：消元法1消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组 转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种 将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2消元的基本思路：未知数由多变少.3消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点六：代入消元法1代入消元法是解方程组的两种基本方法之一。代入消元法就是把方程组其中一个方程的某个未知数 用含另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程，消去一个未知数，将二元一次方程组转化 为一元一次方程来解。这种解二元一次方程组的方法叫代入消元法，简称代入法。2用代入法解二元一次方程组的一般步骤：(1)从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表 示；(2)将变形后的这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；(4)将求得的这个未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；(5)把求得的两个未知数的值用符号“”联立起来写成方程组的解的形式.要点诠释：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化 简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法。如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个 未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体 代入法。整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度 及准确率。知识点七：加减消元法1加减消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，加减消元法是通过将两个方程相加(或相减)消去 一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解,这种解法叫做加减消元法，简称加减法。2用加减法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组中的两个方程，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就可用适当的数去乘一 个方程或两个方程的两边，使两个方程中的某一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加减(相同时相减，相反时相加)，消去一个未知数，得到一个一元一次方 程；(3)解这个一元一次方程，求得其中一个未知数的值；(4)把所求得的这个未知数的值代入到原方程组中系数比较简单的一个方程，求出另一个未知数的值；(5)把求得的两个未知数的值用符号“”联立起来写成方程组的解的形式。要点诠释：一般地，加减消元法的选择方法是：(1)选择系数绝对值较小的未知数消元；(2)某一未知数绝对值相等，如果符号不同，用加法消元，如果符号相同，用减法消元；(3)某一未知数系数成倍数关系时，直接对其中一个方程变形，使其系数绝对值相等，再运用加减法消 元；(4)当相同的未知数的系数都不相等时，找出某一个未知数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形， 转化为绝对值相同的系数，再用加减法来解。用加减法解方程组时需注意：对某个方程变形处理时各项都要扩大相同的倍数；两个方程的左右两边的各项都要同时相加或相减。三、规律方法指导1二元一次方程的整数解的求法：一般情况下，一个二元一次方程都有无数个整数解，解这类问题时，先用一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后根据条件逐一求出相应的解.2判断二元一次方程组的方法：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组，判断一个方程是不是二元一次方程组，就看它是否满足以下两个条件：(1)看整个方程组里含有的未知数是不是两个；(2)看含未知数的项的次数是不是1.3检验一对数是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法是：将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；否则，如果这对数值不满足其中的任何一个方程，那么它就不是此方程组的解.4运用代入法、加减法解二元一次方程组要注意的问题：(1)当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，用代入法比较简单；(2)若方程组中未知数的系数为1(或1)，选择系数为1(或1)的方程进行变形，用代入法比较简便；(3)当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相同或相反时，进行加减消元比较方便；(4)若两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系，利用等式性质，可以转化成(3)的类型，选择加减 消元法比较简便；(5)若两个方程中，同一个未知数的系数的绝对值都不相等，那么，应选出一组系数(选最小公倍数较小 的一组系数)，求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等 (都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元；(6)对于比较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母、去括号、合并同类项等). 通常要把每个方程 整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作加减消元的考虑.实际问题与二元一次方程组知识要点梳理知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.要点诠释：(1)寻找等量关系的方法有：画出示意图分析；列表分析；信息的分类处理等等(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组(4)最后的结果必须使实际问题有意义知识点二：列方程解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追及问题:追及问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段 图便于理解、分析。其等量关系式是:两者的行程差开始时两者相距的路程；路程速度时间； 速度；时间。(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观， 因而也画线段图帮助理解、分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。(3)航行问题:船在静水中的速度水速船的顺水速度； 船在静水中的速度水速船的逆水速度； 顺水速度逆水速度2水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2.工程问题：工作效率工作时间=工作量.3.浓度问题：溶液质量浓度=溶质质量.4.教育储蓄问题：(1)基本概念 本金：顾客存入银行的钱叫做本金。 利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 本息和：本金与利息的和叫做本息和。 期数：存入银行的时间叫做期数。 利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 利息税：利息的税款叫做利息税。(2)基本关系式 利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数本金(1利率期数) 利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。 税后利息利息(1利息税率) 年利率月利率12 月利率年利率。注意：免税利息=利息 5.销售中的盈亏问题：(1)利润售价成本(进价)；(2)；(3)利润成本利润率；(4)标价成本(进价)(1利润率)；(5)实际售价标价打折率；注意：“商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。6.优化方案