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- 1 - 绝密绝密启封并使用完毕前启封并使用完毕前 试题类型：试题类型：A 2015 全国高考数学试题及答案（纯全国高考数学试题及答案（纯 word 版）版） 20152015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 新课标 1 注意事项：注意事项： 1.本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷（非选择题）两部分。第卷卷 1 至至 3 页，第页，第卷卷 3 至至 5 页。页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第第卷卷 一一. . 选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 （1） 设复数 z 满足 1+z 1z =i，则|z|= （A）1 （B）2 （C） 3 （D）2 【答案】A （2）sin20cos10-con160sin10= （A） 3 2 （B） 3 2 （C） 1 2 （D） 1 2 【答案】D 【解析】原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30= 1 2 ，故选 D. （3）设命题 P：nN， 2 n2n，则P 为 （A）nN, 2 n2n （B） nN, 2 n2n （C）nN, 2 n2n （D） nN, 2 n=2n - 2 - 【答案】C 【解析】p: 2 ,2nnN n ，故选 C. （4）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次 投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概 率为 （A）0.648 （B）0.432（C）0.36（D）0.312 【答案】A 【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 223 30.6 0.40.6C=0.648， 故选 A. （5）已知 M（x0，y0）是双曲线 C： 2 21 2 x y 上的一点，F1、F2是 C 上的两个 焦点，若 1 MF 2 MF 0，则 y0的取值范围是 （A） （- 3 3 ， 3 3 ）（B） （- 3 6 ， 3 6 ） （C） （ 2 2 3 ， 2 2 3 ） （D） （ 2 3 3 ， 2 3 3 ） 【答案】A （6） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有 委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角 处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米 堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有 - 3 - A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 【答案】B 【解析】 设圆锥底面半径为 r，则 1 2 38 4 r = 16 3 r ，所以米堆的体积为 2 1116 3 ()5 433 = 320 9 ，故堆放的米约为 320 9 1.6222，故选 B. （7）设 D 为 ABC 所在平面内一点=3，则 （A）=+ (B)= （C）=+ (D)= 【答案】A 【解析】由题知 11 () 33 ADACCDACBCACACAB = 14 33 ABAC ， 故选 A. (8)函数 f(x)=的部分图像如图所示，则 f（x）的单调递减区间为 (A)（）,k (b)（）,k (C)（）,k (D)（）,k - 4 - 【答案】B （9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 【答案】C - 5 - （10）的展开式中，y的系数为 （A）10 （B）20 （C）30（D）60 【答案】A 【解析】在 25 ()xxy的 5 个因式中，2 个取因式中 2 x剩余的 3 个因式中 1 个取x，其余 因式取 y,故 52 x y的系数为 212 532 C C C=30，故选 A. （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的 正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20，则 r= （A）1（B）2（C）4（D）8 【答案】B 【解析】 由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 - 6 - r，圆柱的高为 2r，其表面积为 22 1 4222 2 rrrrrr= 22 54rr=16 + 20 ， 解得 r=2，故选 B. 12.设函数( )f x =(21) x exaxa,其中a1，若存在唯一的整数 x0，使得 0 ()f x 0，则a的取值范围是（ ） A.-，1） B. -， ） C. ， ） D. ，1） 【答案】D 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 （13）若函数 f(x)=xln（x+ 2 ax）为偶函数，则 a= 【答案】1 【解析】由题知 2 ln()yxax是奇函数，所以 22 ln()ln()xaxxax - 7 - = 22 ln()ln0axxa，解得a=1. （14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准 方程为 。 【答案】 22 325 () 24 xy 【解析】设圆心为（a，0） ，则半径为4 |a，则 222 (4 |)|2aa，解得 3 2 a ，故圆的方程为 22 325 () 24 xy. （15）若 x,y 满足约束条件则 y x 的最大值为 . 【答案】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， y x 是可行域内一点 与原点连线的斜率，由图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故 y x 的最大 值为 3. - 8 - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数 学（理工类） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1、 已知集合 A=,B=，则1,2,32,3 A、A=B B、AB= C、AB D、B A 2、在等差数列中，若=4，=2，则= n a 2 a 4 a 6 a A、-1 B、0 C、1 D、6 3、重庆市 2013 年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下： oC - 9 - 则这组数据的中位数是 A、19 B、20 C、21.5 D、23 4、 “x1”是“（x+2）0,b0）的右焦点为 1，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B,C 两 22 22 1 xy ab 点，过 B,C 分别作 AC，AB 的垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于，则 22 aab 该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 A、 （-1,0）（0,1） B、 （-，-1）（1，+） C、 （-，0）（0，） D、 （-，-）222 （，+） 2 二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填写在答题 卡相应位置上. 11、设复数 a+bi（a，bR）的模为，则（a+bi） （a-bi）=_.3 12、的展开式中的系数是_(用数字作答). 5 3 1 2 x x 8 x 13、在ABC 中，B=，AB=，A 的角平分线 AD=,则 AC=_.:120o23 - 11 - 考生注意：（14） 、 （15） 、 （16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前 两题给分. 14、如题（14）图，圆 O 的弦 AB，CD 相交于点 E，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线 交于点 P，若 PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则 BE=_. 15、已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为 1 1 xt yt 极轴建立坐标系，曲线 C 的极坐标方程为，则直线 l 与 2 35 cos24(0,) 44 曲线 C 的交点的极坐标为_. 16、若函数 f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值为 5，则实数 a=_. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 13 分， （I）小问 5 分， （II）小问 8 分） 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个。 （I）求三种粽子各取到 1 个的概率； （II）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望 （18） （本小题满分 13 分， （I）小问 7 分， （II）小问 6 分） 已知函数 2 sinsin3cos 2 f xxxx （I）求的最小正周期和最大值； f x （II）讨论在上的单调性. f x 2 , 63 （19） （本小题满分 13 分， （I）小问 4 要， （II）小问 9 分） 如题（19）图，三棱锥中，平面分别PABCPC ,3,. , 2 ABC PCACBD E 为线段上的点，且,AB BC 2,22.CDDECEEB （I）证明：平面DE PCD （II）求二面角的余弦值。APDC （20） （本小题满分 12 分， （I）小问 7 分， （II）小问 5 分） - 12 - 设函数 2 3 x xax f xaR e （I）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点 f x0x a yf x 处的切线方程； 1,1f （II）若在上为减函数，求的取值范围。 f x3,a （21） （本小题满分 12 分， （I）小问 5 分， （II）小问 7 分） 如题（21）图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线 22 22 10 xy ab ab 12 ,F F 2 F 交椭圆于两点，且,P Q 1 PQPF （I）若求椭圆的标准方程 12 22,22PFPF （II）若求椭圆的离心率 1 ,PFPQ. e （22） （本小题满分 12 分， （I）小问 4 分， （II）小问 8 分） 在数列中， n a 2 111 3,0 nnnn aaaaanN （I）若求数列的通项0,2, n a 公式； （II）若证 00 2 0 1 ,1,kNk k 明： 0 1 00 11 22 3121 k a kk 版权所有：高考资源网() - 16 - - 17 - - 18 - - 19 - 江 苏 一. 填空题 （1）已知集合，则集合中元素的个数为_.1 2 3A ，2 4 5B ，AB - 20 - （2）已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为_. （3）设复数 z 满足（i 是虚数单位） ，则 z 的模为_. 2 34zi （4）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为_. （5）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一 次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为_. （6）已知向量=（2,1） ，=（1，-2） ，若=（9，-8） （m，nR） ，则 m-n 的值 a v b v manb vv 为_. （7）不等式的解集为_. 2 24 xx 8.已知，则的值为_.tan2 1 tan 7 tan 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个。若 将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新 的底面半径为 。 10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的xOy)0 , 1 ()(012Rmmymx 所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。 11.数列满足，且（） ，则数列前 10 项的和为 n a1 1 a1 1 naa nn * Nn 1 n a 。 12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线xOyP1 22 yxP 的距离大于 c 恒成立，则是实数 c 的最大值为 。01 yx 13.已知函数，则方程实根的个数|ln|)(xxf 1, 2|4| 10 , 0 )( 2 xx x xg1| )()(|xgxf 为 。 14.设向量，则的值为 )12, 2 , 1 , 0)( 6 cos 6 sin, 6 (cosk kkk ak 12 0 1) ( k kk aa 。 - 21 - 15.在中，已知ABCV2,3,60 .ABACA o (1)求 BC 的长； （2）求的值。sin2C 16.如图，在直三棱柱中，已知.设的中点为 D， 111 ABCABC 1 ,ACBC BCCC 1 AB 11 .BCBCE 求证：（1） 11 / /DEAACC平面 (2) 11 BCAB （17） （本小题满分 14 分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的 交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 ，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 12 ll， M 到的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到的距离分别为 20 千米和 2.5 千米， 12 ll， 12 ll， 以所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 12 ll， （其中 a，b 为常数）模型. 2 a y xb - 22 - （I）求 a，b 的值； （II）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t. 请写出公路 l 长度的函数解析式，并写出其定义域； f t 当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度. （18） （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆的离心率为，且右 22 22 10 xy ab ab 2 2 焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程. 19. 已知函数。),()( 23 Rbabaxxxf （1）试讨论的单调性；)(xf （2）若（实数 c 是与 a 无关的常数） ，当函数有三个不同的零点时，a 的取值acb)(xf - 23 - 范围恰好是，求 c 的值。), 2 3 () 2 3 , 1 ()3,( 20.设是各项为正数且公差为 d的等差数列 1234 ,a a a a(0)d （1）证明：依次构成等比数列； 3124 2 ,2 ,2 ,2 aaaa （2）是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由； 1, a d 234 1234 ,a aaa （3）是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明 1, a d, n k 35 1234 , nn knknk aaaa 理由。 附加题 U.（选做题）本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答， 若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （1）选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 10 分） 如图，在中，的外接圆O 的弦交于点 DABCACAB ABCeAEBC 求证：ABD:AEB B、选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，矩阵Ryx, 1 1 0 1 y x A2 以及它的另一个特征值。A - 24 - C.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知圆 C 的极坐标方程为，求圆 C 的半径. 2 2 2 sin()40 4 D选修 4-5：不等式选讲 解不等式|23| 3xx 22.如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，PABCDPA ABCDABCD , 2 ABCBAD 2,1PAADABBC (1)求平面与平面所成二面角的余弦值；PABPCD （2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长 23.已知集合，设 * 1,2,3,1,2,3,., () n XYnnN ，令表示集合所含元素的个数.( , )|, nn Sa baa aX bY整除b或除( )f n n S （1）写出的值；(6)f （2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明。6n ( )f n - 25 - - 27 - - 28 - - 29 - - 30 - - 31 - - 32 - 2015 年普通高等学校全国统一考试（安徽卷）年普通高等学校全国统一考试（安徽卷） 数学（理科）数学（理科） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项：考生注意事项： 1 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在 答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 2 答第 I 卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3 答第 II 卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、 笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑 色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的 - 33 - 答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效。 4 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式：参考公式： 第第卷（选择题卷（选择题 共共 50 分）分） 一、选择题：本大题共 10 个小题；每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的。 （1）设 i 是虚数单位，则复数 2 1 i i 在复平面内所对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【答案】B （2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 （A）ycosx （B）ysin x （C）ynlx （D） 2 1yx 【答案】A 【解析】 （3）设:12, :21 x pxq，则 p 是 q 成立的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 - 34 - 【答案】A 4、下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为2yx 的是（ ） （A） 2 2 1 4 y x （B） 2 2 1 4 x y （C） 2 2 1 4 y x （D） 2 2 1 4 x y 【答案】C 【解析】 5、已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A）若，垂直于同一平面，则与平行 （B）若m，n平行于同一平面，则m与n平行 （C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线 （D）若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 【答案】D - 35 - 6、若样本数据 1 x， 2 x， 10 x的标准差为8，则数据 1 21x ， 2 21x ， 10 21x 的 标准差为（ ） （A）8 （B）15 （C）16 （D）32 【答案】C - 36 - 7、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A）13 （B）23 （C）12 2 （D）2 2 【答案】B 【解析】 8、CA是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2aA ，C2abA ，则下 列结论正确的是（ ） （A）1b （B）ab （C）1a b （D）4Cab 【答案】D - 37 - 9、函数 2 axb f x xc 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） （A）0a ，0b ，0c （B）0a ，0b ，0c （C）0a ，0b ，0c （D）0a ，0b ，0c 【答案】C 10、已知函数 sinf xx A（A，均为正的常数）的最小正周期为，当 2 3 x 时，函数 f x取得最小值，则下列结论正确的是（ ） - 38 - （A） 220fff （B） 022fff （C） 202fff （D） 202fff 【答案】A 【解析】 第二卷 二填空题 11. 37 1 ()x x 的展开式中 3 x的系数是 （用数字填写答案） 【答案】35 【解析】 - 39 - 12.在极坐标中，圆8sin上的点到直线() 3 R 距离的最大值是 【答案】6 【解析】 13.执行如图所示的程序框图（算法流程图） ，输出的n为 - 40 - 【答案】4 【解析】 14.已知数列 n a是递增的等比数列， 2423 9,8aaa a，则数列 n a的前n项和等于 【答案】21 n 【解析】 15. 设 3 0xaxb，其中, a b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号） (1)3,3ab ；(2)3,2ab ；(3)3,2ab ；(4)0,2ab;(5)1,2ab. 【答案】 【解析】 - 41 - 三.解答题 16.在ABC中，,6,3 2 4 AABAC ,点 D 在BC边上，ADBD，求AD的长。 【答案】10 【解析】 - 42 - 17.已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品， 检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结果. （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 （2）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用（单位：元） ，求 X 的分布列和均值（数学期望） 【答案】 （1） 3 10 ；（2）350 【解析】 - 43 - （18） （本小题 12 分） 设 * nN， n x是曲线 23 1 n yx 在点(1 2)，处的切线与 x 轴交点的横坐标， （1）求数列 n x的通项公式； （2）记 222 1321nn Tx xx ，证明 1 4 n T n . 【答案】 （1） 1 n n x n ；（2） 1 4 n T n 【解析】 - 44 - 19.如图所示，在多面体 111 AB D DCBA，四边形 11 AAB B， 11, ADD AABCD均为正方形， E为 11 B D的中点，过 1, ,A D E的平面交 1 CD于 F （1）证明： 1 / /EFBC (2)求二面角 11 EADB余弦值. - 45 - 【答案】 （1） 1 / /EFBC；（2） 6 3 【解析】 - 46 - （20） （本小题 13 分） 设椭圆 E 的方程为 22 22 10 xy ab ab ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为0a，点 B 的坐标为0 b，点 M 在线段 AB 上，满足2BMMA，直线 OM 的斜率为 5 10 . （I）求 E 的离心率 e； （II）设点 C 的坐标为0b，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐 标为 7 2 ，求 E 的方程. 【答案】 （1） 2 5 5 ；（3） 22 1 459 xy 【解析】 - 47 - 21.设函数 2 ( )f xxaxb. （1）讨论函数(sin ) 2 2 fx 在(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （2）记 2 0000 ( ),(sin )(sin )fxxa xbfxfx求函数在 2 2 (-,)上的最大值 D； （3）在（2）中，取 2 00 0,D1 4 a abzb求满足时的最大值。 【答案】 （1）极小值为 2 4 a b；（3）1 【解析】 - 48 - - 49 - 2015 年北京高考数学（理科）年北京高考数学（理科） 本试卷共 5 页，150 分考试时长 120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第一部分第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 1复数i 2i ABCD12i12i12i 12i 2若，满足则的最大值为xy 0 1 0 xy xy x ， ， ， 2zxy - 50 - A0B1CD2 3 2 3执行如图所示的程序框图，输出的结果为 ABCD22 ，40 ，44，08， 主 主 x=1主 y=1主 k=0 s=x-y主 t=x+y x=s主 y=t k=k+1 k3 主 主 (x主 y) 主 主 主 主 4设，是两个不同的平面，是直线且 “”是“”的mmm A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 主 (主 )主 主 11 主 主 主 主 (主 )主 主 2 1 A B C D5254522 5 - 51 - 6设是等差数列. 下列结论中正确的是 n a A若，则 B若，则 12 0aa 23 0aa 13 0aa 12 0aa C若，则 D若，则 12 0aa 213 aa a 1 0a 2123 0aaaa 7如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是 f xACB 2 log1f xx A B Ox y -12 2 C A B| 10xx | 11xx C D| 11xx | 12xx 8汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车 在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 - 52 - B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 第二部分第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9在的展开式中，的系数为 （用数字作答） 5 2x 3 x 10已知双曲线的一条渐近线为，则 2 2 2 10 x ya a 30xya 11在极坐标系中，点到直线的距离为 2 3 cos3sin6 12在中，则ABC4a 5b 6c sin2 sin A C 13在中，点，满足，若，则ABCMN2AMMC BNNC MNxAByAC x ；y 14设函数 21 421. x ax f x xaxax 若，则的最小值为；1a f x 若恰有 2 个零点，则实数的取值范围是 f xa 三、解答题（共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15 （本小题 13 分） 已知函数 2 ( )2sincos2sin 222 xxx f x () 求的最小正周期；( )f x () 求在区间上的最小值( )f x 0 - 53 - 16 （本小题 13 分） ，两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：AB 组：10，11，12，13，14，15，16A 组：12，13，15，16，17，14，Ba 假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选 1 人，组选出的人记为甲，ABA 组选出的人记为乙B () 求甲的康复时间不少于 14 天的概率； () 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；25a () 当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）aAB - 54 - 17 （本小题 14 分） 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，AEFCBAEFAEF EFCB ，为的中点EFBC4BC 2EFa60EBCFCB OEF () 求证：；AOBE () 求二面角的余弦值；FAEB () 若平面，求的值BE AOCa O F E C B A 18 （本小题 13 分） 已知函数 1 ln 1 x f x x （）求曲线在点处的切线方程； yf x 00f， （）求证：当时，；0 1x， 3 2 3 x f xx （）设实数使得对恒成立，求的最大值k 3 3 x f xk x 0 1x，k - 55 - 19 （本小题 14 分） 已知椭圆：的离心率为，点和点都C 22 22 10 xy ab ab 2 2 0 1P，A mn，0m 在椭圆上，直线交轴于点CPAxM （）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示） ；CMmn （）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是OBAxPBxNy 否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由QOQMONQ Q 20 （本小题 13 分） 已知数列满足：，且 n a * 1 a N 1 36a 1 218 23618 nn n nn aa a aa ， ， 12n ， 记集合 * | n ManN （）若，写出集合的所有元素； 1 6a M （）若集合存在一个元素是 3 的倍数，证明：的所有元素都是 3 的倍数；MM （）求集合的元素个数的最大值M （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） - 56 - - 57 - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数 学（理工类） 第第 I I 卷（选择题共卷（选择题共 5050 分）分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. - 58 - 1、若集合 （ 是虚数单位） ， ，则 等于 234 , ,Ai i i ii1, 1B AB A. B. C. D. 111, 1 2、下列函数为奇函数的是 A. B. C. D. yxsinyxcosyx xx yee 3、若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且， 22 :1 916 xy E 12 ,F FPE 1 3PF 则 等于 2 PF A.11 B.9 C.5 D.3 4、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如 下统计数据表： 收入 （万x 元） 8.28.610.011.311.9 支出 （万y 元） 8.59.8 根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一 ybxa 0.76,baybx 户收入为 15 万元家庭年支出为 A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元 5、若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 , x y 20, 0, 220, xy xy xy 2zxy A. B. C. D.2 5 2 2 3 2 6、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 A.2 B.1 C.0 D. 1 7、若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ”的 , l mmlm/ /l A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8、若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个, a b 2 0,0f xxpxq pq, , 2a b 数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于pq - 59 - A.6 B.7 C.8 D.9 9、已知 ，若点 p 是 所在平面内一点，且 1 ,ABAC ABACt t ABC ，则 的最大值等于 4ABAC AP ABAC PB PC A.13 B.15 C.19 D.21 10、若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足 R f x 01f fx 1fxk ，则下列结论中一定错误的是 A. B. C. D. 11 f kk 11 1 f kk 11 11 f kk 1 11 k f kk 第第 IIII 卷（非选择题共卷（非选择题共 100100 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置. 11、 的展开式中， 的系数等于 .（用数字作答） 5 2x 2 x 12、若锐角 的面积为 ，且 ，则 等于 .ABC10 35,8ABACBC 13、如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 ，若在矩形A1,0C2,4 2 f xx 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .ABCD 14、若函数 （ 且 ）的值域是 6,2, 3log,2, a xx f x x x 0a 1a ，则实数 的取值范围是 .4,a 15、一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 ，其中 * 12n x xxnN 称为第 位码元，二元码是通信中常用的码，但在1,2, k xknk 通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 0 变为 1，或者由 1 变为 0） 已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组： 127 x xx 4567 2367 1357 0, 0, 0, xxxx xxxx xxxx 其中运算 定义为： 000,011,101,110 - 60 - 其中运算定义为：00=0，01=1,10=1,11=0 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用k 上述校验方程组可判定 等于 .k 三、解答题:大小题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 13 分） 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银 行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则 继续尝试，直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望. 17.（本小题满分 13 分） 如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB 丄平面 BEG，BE 丄 EC，AB=BE=EC=2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点. (1)求证：GF/平面 ADE (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值. 18. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E：过点，且离心率为 e=. 22 22 1(a0) xy b ab +=(0,2） 2 2 (1)求椭圆 E 的方程； (2)设直线 l；x=my-1（mR）交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G 9 ( 4 -, 0) 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由. 19.（本小题满分 13 分） - 61 - 已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点f( )x( )cosg xx=( )g x 的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图像向右平移个单位长度. (1)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；f( )x (2)已知关于的方程在0.2内有两个不同的解 ，xf( )g( )xxm+= 1)求实数 m 的取值范围； 2)证明：cos(-)=-1 20.（本小题满分 14 分） 已知函数，g（x）=kx（kR）f( )ln(1)xx=+ (1)证明：当；0xxxf( )( )xg x； (3)确定 k 的所以可能取值，使得存在，对任意的 x（0，t） ，恒有.0t 2 |f( )( )|xg xx- + 所以，故 G在以 AB 为直径的圆外. |AB| |GH| 2 9 ( 4 -, 0) 解法二：(1)同解法一. (2)设点，则 1122 (y ),B(,y ),A xx 1122 99 GA(,),GB(,). 44 xyxy=+=+ 由所以 1212 22 23 y +y =,y y = m2m2 m + ， 从而 22 2 1212 22 52553(m +1)25 (m +1)y(y ) 4162(m2)m216 m ym y=+=-+ + 2 2 172 0 16(m2) m + = + . 故点 G在以 AB 为直径的圆外. 9 ( 4 -, 0) 19. 本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、 抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、 数形结合思想. 满分 13 分. 解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）得到( )cosg xx= 的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到y2cosx=y2cosx= 的图像，故y2cos() 2 x p =-f( )2sinxx= 从而函数图像的对称轴方程为f( )2sinxx= (2)1) 21 f( )g( )2sincos5(sincos ) 55 xxxxxx+=+=+ - 66 - 12 5sin()(s