北京四中高考综合复习专题1集合与简易逻辑.doc

高考综合复习 专题1 集合与简易逻辑 一.知识网络以“集合”为基础，由“运算”分枝杈. 二高考考点1对于集合概念的认识与理解，重点是对集合的识别与表达.2对集合知识的综合应用，重点考查准确使用数学语言的能力以及运用数形结合思想解决问题的能力.3理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；命题的四种形式；相关命题的等价转换，重点考查逻辑推理和分析问题的能力.4充分条件与必要条件的判定与应用.三知识要点（一）集合1.集合的基本概念（1）集合的描述性定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合.认知：集合由一组指定的（或确定的）对象的全体组成，整体性是其重要特征之一.集合的元素须具备以下三个特性：（I）确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象是否为这个集合的元素是明确的，只有“是”与“否”两种情况.（II）互异性：集合中的任何两个元素都不相同.（III）无序性：集合中的元素无前后顺序之分.（2）集合的表示方法集合的一般表示方法主要有（I）列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法.提醒：用列举法表示集合时，须注意集合中元素的“互异性”与“无序性”，以防自己表示有误或被他人迷惑.（II）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.描述法的规范格式：x|p(x),xA其中，大括号内的竖线之前的文字是“集合的代表元素”，竖线后面是借助代表元素描述的集合中元素的属性及范围（即判断对象是否属于集合的确定的条件）.认知集合的过程：认清竖线前的代表元素；考察竖线后面代表元素的属性及范围结合前面的考察与集合的意义认知集合本来面目.例：认知以下集合：; ；; ，其中M=0，1.分析：对于A，其代表元素是有序数对（x,y）,即点（x,y）点（x,y）坐标满足函数式y=x2-1(xR) 点（x,y）在抛物线y=x21上 集合A是抛物线y=x2-1(xR)上的点所组成的集合.对于B，其代表元素为y y是x的二次函数：y=x2-1(xR)，再注意到集合的意义是范围集合B是二次函数y=x2-1(xR)的取值范围集合B是二次函数y=x2-1(xR)的值域，故B=y|y1.对于C，其代表元素是x x是二次函数y=x2-1的自变量集合C是二次函数y=x2-1的自变量的取值范围集合C是二次函数y=x2-1(xR)的定义域，即C=R.对于D，其代表元素是x x是集合M的子集集合D由M的（全部）子集组成，故D=，0，1，0，1.（III）数轴法和文氏图法：文氏图法是指用一条封闭曲线围成的区域（内部）表示集合的方法.此为运用数形结合方法解决集合问题的原始依据.评注：集合的符号语言与文字语言的相互转化，是师生研究集合的基本功.为了今后的继续性发展，这一软性作业必须高质量完成.2集合间的关系（1）子集（I）子集的定义（符号语言）：若xAxB,则AB（注意：符号的方向性）规定：空集是任何集合的子集，即：对任何一个集合A，都有A显然：任何一个集合都是自身的子集, 即AA.（II）集合的相等：若AB且BA，则A=B.（III）真子集定义：若AB且AB；则AB（即A是B的真子集）.特例：空集是任何非空集合的真子集.（2）全集，补集（I）定义设I是一个集合，AI，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I中子集A的补集（或余集），记作 A，即 A=x|xI,且xA.在这里，如果集合I含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则将I称为全集，全集通常用U表示.（II）性质：=U； U=； （A）=A（III）认知：补集思想为我们运用“间接法”解题提供理论支持.对于代数中的探求范围等问题，当正面入手头绪繁多或较为困难时，要想到运用“间接法”进行转化求解.（3）交集，并集（I）定义：由所有属于集合A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB，即AB=x|xA,且xB;由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB，即AB=x|xA,或xB.（II）认知：上面定义、中的一字之差（“且”与“或”之差），既凸显交集与并集的个性，又展示二者之间的关系.在这里，要特别注意的是，并集概念中的“或”与生活用语中的“或”含义不同，并集概念中的“或”源于生活，但又高于生活中的“或”：生活用语中的“或”是“或此”.“或彼”.二者只取其一，并不兼有；而并集概念中的“或”是“或此”.“或彼”“或彼此”，可以兼有.因此，“xA或xB”包括三种情形：xA且xB；xB且xA；xA且xB.（III）基本运算性质“交”的运算性质AB=A；A=；AB= BA；AA =；（AB）C= C（AB）= ABC“并”的运算性质AA=A；A=A；AB= BA；AA=I；（AB）C=A（BC）= ABC交.并混合运算性质A（BC）= （AB）（AC）；A（BC）=（AB）（AC）；A（AC）=AA（AB）=A（ IV ）重要性质AB=AAB； AB=BAB； AB=（AB）； AB=（AB）上述两个性质，是今后解题时认知、转化问题的理论依据.（二）简易逻辑1.命题（1）定义（I）“或”.“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.（II）可以判断真假的词句叫做命题.其中，不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简易命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.复合命题的构成形式：p或q；p且q；非p（即命题p的否定）.（2）复合命题的真假判断（I）当p、q同时为假时“p或q”为假，其它情况时为真；（II）当p、q同时为真时“p且q”为真，其它情况时为假；（III）“非p”与p的真假相反.（3）认知（I）这里的“或”与集合的“并”密切相关（并集又称为或集）：集合的并集是用“或”来定义的：AB=x| xA或xB.“p或q”成立的含义亦有三种情形：p成立但q不成立；q成立但p不成立,p,q同时成立.它们依次对应于AB中的A B；B A；AB.不过，AB强调的是一个整体，而“p或q”是独立的三种情形的松散联盟.（II）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定p且q；“p且q” p或q.它们类似于集合中的（AB）=（A）（B），(AB）=（A）（B）（4）四种命题（I）四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为原命题：若p则q； 逆命题：若q则p;否命题：若p则q 逆否命题：若q则p.（II）四种命题的关系原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除、之外，四种命题中其它两个命题便是的真伪无必然联系.2.充分条件与必要条件（I）定义：若pq则说p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq则说p 是q的充分必要条件（充要条件）.（II）认知：关注前后顺序：若pq则前者为后者的充分条件；同时后者为前者的必要条件.辨析条件、结论注意到条件与结论的相对性.若条件结论，则这一条件为结论的充分条件；若结论条件，则这一条件为结论的必要条件.充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.四.经典例题例1判断下列命题是否正确.（1）方程组的解集为（x,y）|x=1或y=2;（2）设P=x|y=x2,Q=(x,y)|y=x2,则pQ;（3）设，则MN；（4）设，则集合等于MN；分析：（1）不正确.事实上，方程组的解为有序实数对（-1，2），而1或2不是有序实数对，故命题为假.正确解题：方程组解集应为（初始形式）=（-1，2）（2）不正确.在这里，P为数集，Q为点集，二者无公共元素，应为PQ=.（3）为认知集合中的元素的属性，考察代表元素的特征与联系：对两集合的代表元素表达式实施通分，对于集合M，其代表元素，2k+1为任意奇数；对于集合N，其代表元素，k+2为任意整数.由此便知MN，故命题正确.（4）不正确.反例：注意到这里f(x),g(x)的定义域未定，取，则f(x)g(x)=1(x3且x1)，此时f(x)g(x)=0无解.揭示：一般地，设函数f(x),g(x)的定义域依次为P、Q，且，则有例2设集合A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a21=0（1）若AB=B，求a的值；（2）若AB=B，求a的值.解：集合A=4，0（1）AB=BBA即B4，0由有关元素与B的从属关系，引入（第一级）讨论.（I）若0B，则有a21=0a=1（以下由a的可能取值引入第2级讨论）.又当a=1时，方程x2+2(a+1)x+a21=0x2=0x=0此时B=0符合条件；当a=1时，方程x2+2(a+1)x+a21=0x2+4x=0x(x+4)=0此时B=A符合条件.（II）若4B，则有16+2（a+1）(4)+a21=0a28a+7=0(a1)(a7）=0 a=1或a=7当a=1时，由（I）知B=A符合条件；当a=7时，方程x2+2(a+1)x+a21=0x2+16x+48=0(x+12)(x+4)=0x=12或x=4此时B=12，4A.（III）注意到BA，考察B=的特殊情形：B=4（a+1）24(a21)0a1,此时集合B显然满足条件.于是综合（I）、（II）、（III）得所求a的取值集合为a|a=1或a1.（2）集合B中至少有两个元素 而方程x2+2(a+1)x+a21=0至多有两个实根集合B中至多有两个元素由、得集合B中只含两个元素 B=A此时，由(1)知a=1，即所求a的的数值为a=1.点评：（1）在这里，对有关事物进行“特殊”和“一般”的“一分为二”的讨论尤为重要：对集合A.B的关系，分别考察特殊（相等）和一般（真包含）情形，引出第一级讨论；对集合B的存在方式，又分别考察特殊（B=）和一般（B）的两种情形，引出第二级讨论.“特殊”（特殊关系或特殊取值）是分类讨论的切入点.（2）空集作为一个特殊集合，既是解题的切入点，又是设置陷阱的幽灵，注意到“一般”与“特殊”相互依存的辩证关系，解题时应适时考察“特殊”，自觉去构建“特殊”与“一般”的辩证统一.例3已知A=x|x2-4x+30,xR,B=x|21-x+a0且x2-2(a+7)x+50,xR若AB，试求实数a的取值范围.解：A=x|1x0),若是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.分析：从认知与q入手，为了化生为熟，将，q分别与集合建立联系.解：由已知得：x10；q：x1+m(m0).令A=x|x10,B=x| x1+m(m0),则由是q的必要而不充分条件得BA或m9所求实数m的取值范围为9，+）.点评：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的又一基本策略.例5设有两个命题，p：函数f（x）2ax4的图像与x轴没有交点；Q:不等式恒成立，若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数a的取值范围是（ ）A.（，2） B.2, C.-2,2 D.(-2,2)分析：（）化简或认知P、Q：函数f（x）2ax4的图像与x轴没有交点，2a2P: 2a2 又 不等式恒成立a小于的最小值2 由、得 a2即Q: a2（）分析、转化已知条件“P或Q”为真P、Q中至少有一个为真a2 “P且Q”为假P、Q中至少有一个为假或为真a2或a2于是由得，同时满足上述两个条件的a的取值范围是 a2实数a的取值范围为（，2.例6. 若p：2m0，0n1；q：关于x的方程有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件？分析：在这里，q是关于x的二次方程有两个小于1的正根的条件，为便于表述，设该方程的两个实根为，且.然后根据韦达定理进行推理.解：设，为方程的两个实根，且，则该方程的判别式为：又由韦达定理得当01时，由得2m0，0n1即 qp 另一方面，若在p的条件下取m1，n0.75，则这一关于x的二次方程的判别式130，从而方程无实根p q 于是由得知，p是q的必要但不充分的条件.点评：若令f（x），则借助二次函数y的图像易得关于x的二次方程有两个小于1的正根的充要条件为在这里容易产生错误结论为：方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的充要条件是想一想：错在哪里？你能举出反例吗？注意到这里的p由式中部分条件构造而成，它关于m、n的限制当然更为宽松.五.高考真题1（2005全国卷A）设I为全集，S1，S2，S3是I的三个非空子集，且S1S2S3=I，则下面判断正确的是（ ）AS1（S2S3）= B. S1 （S2S3）CS1S2S3= D. S1 （S2S3）分析：对于比较复杂的集合运算的问题，一要想到利用有关结论化简，二要想到借助特取法或文氏图筛选.解法一（直接法）：注意到AB=（AB），AB=（AB）及其延伸，S1S2S3=（S1S2S3）=I=，故选C解法二（特取法）：令S1=1，2，S2=2，3，S3=1，3I=1，2，3则S1=3S2=1S3=2由此否定A、B；又令S1=S2=S3=a，则I=a，S2=S3=，由此否定D.故本题应选C2（2004安徽春招卷）：已知向量集合，则MN等于（ ）A（1，1） B. （1，1），（-2，-2） C .（-2，-2） D.分析：首先考虑化生为熟.由向量的坐标运算法则得，又令=(x,y)，则有，消去得4x3y+2=0,M=(x,y)|4x-3y+2=0,x,yR.同理=(x,y)|5x-4y+2=0,x,yRMN=（2，2），本题应选C点评：从认知集合切入，适时化生为熟，乃是解决集合问题的基本方略.3（2004湖南卷）：设集合I=(x,y)|xR,yR,A=(x,y)|2xy+m0,B=(x,y)|x+yn0,那么点P(2,3)A(B)的充要条件是（ ）A m-1,n5 B m-1,n-1,n5 D m5分析：由题设知P(2,3) A，且P（2，3）B （）又B=(x,y)|x+y-n0,由（）得，故本题应选A4（2004江苏卷）设函数，区间M=a,b(a0时，f(x)0;当x=0时，f(x)=0；当x0.由此可知，当x0时，f(x) (xM)的值域与定义域M不可能相等；又当x=0时，f(x)的定义域为0，故不存在ab使区间a,b仅含元素0，因此，本题应选A.点评：解决分段函数问题的基本策略：分段考察，综合结论.在这里，认知集合N仍是解题成败的关键所在.5（2004北京卷）函数，其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)=y|y=f(x),xPf(M)=y|y=f(x),xM,给出下列四个判断：若PM=，则f(P)f(M)= ； 若PM，则f(P)f(M)；若PM=R，则f(P)f(M)= R； 若PMR，则f(P)f(M) R其中正确判断有（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个分析：首先认知f(P)，f(M)：f(P)为函数y=f(x)(xP)的值域；f(M)为函数y=f(x)(xM)的值域.进而考虑仿照第1题，从构造反例切入进行筛选.（1）取P=x|x0,M=x|x0此时PM=，PM=R，但f(P)f(M) ，f(P) f(M) R由此判断.不正确（2）当PM时，则由函数f(x)的定义知PM=0（否则便由f(x)的解析式导出矛盾），所以0f(P)，0f(M)，从而f(P)f(M).由此判断正确.（3）当PMR时，若0PM，则由函数f(x)的定义知，0f(P) f(M)若存在非零x0PM, (