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大学物理练习册解答 10 大学物理下习题册二大学物理下习题册二 1、一导体球半径为 R1，其外同心地罩以内、外半径分别为 R2和 R3的厚导体壳，此系 统带电后内球电势为 U，外球所带电量为 Q，求此系统各处的电势和电场分布。 解：设内球带电量为 q内,依据题意可知电场分布 3 2 0 32 21 2 0 1 Rr r4 Qq RrR0 RrR r4 q Rr0 E 内 内 213132 213210 30210 2 R 1 R 3 R 2 0 2 0 RRRRRR QRRRRR4U q R4 Qq ) R 1 R 1 ( 4 q dr r4 Qq dr r4 q U 内 内内内内 3 0 32 30 21 30200 1 Rr r4 Qq RrR R4 Qq RrR R4 Qq R4 q r4 q RrU U 内 内 内内内 注上式采用带电球壳的电势叠加，也可用 ldEu 获得 2、半径为 R1和 R2 (R1a)， 求单位长度上的电容。 解：设两导线间任意 P 点，距导线中心为 r，则 P 点 E 为 ) rd(2r2 E 00 两导线间的电势差 UA-UB a ad ln ad a ln 2a ad ln 2 dr ) rd(2r2 drEdEUU 0 00 ad a 00 BA l a ad ln UU q C 0 BA l r a d 大学物理练习册解答 13 7、如图，连接三个电容器，,20,30,50 321 FCFCFC （1）求该连接的总电容； （2）当在 AB 两端加 100V 的电压后，各电容器上的电压和电量各是多少？ 解： （1）设总电容为 C, 则 321 111 CCCC F CCC CCC C25 )( 321 321 （2）设 AB 两端的电压为 U CCUQ 36 1 105 . 21001025 V C Q U50 1050 105 . 2 6 3 1 1 1 VUUUU5050100 132 CUCQ 36 222 105 . 1501030 CUCQ 36 333 100 . 1501020 8、一空气平行板电容器，极板面积 S=0.2m 2，间距 d=1.0cm，充电使其两板电势差 U0=310 3V，然后断开电源再在两极板间充满介质，最后两板间电压降至 1103V，试 计算: (1) 原空气电容器电容 C0； (2) 每一极板上所带电量 Q； (3) 两板间原电场强度 E0； (4) 放入介质后的电容和两板间场强 E； (5) 介质极化后每一面上的极化电荷 Q； (6) 介质的相对介电常数 r ； 解：F1077. 1 100 . 1 2 . 01085. 8 d s C) 1 ( 10 2 12 0 0 mV10 101 1000 d U E F1031. 5 101 1031. 5 U Q C)4( mV103 100 . 1 103 d U E)3( C1031. 51031077. 1UCQ)2( 5 2 10 3 7 5 2 3 0 0 7310 000 3 1077. 1 1031. 5 C C )6( C1054. 32 . 01085. 8)10103( s)EE(s Q)5( 10 10 0 r 71255 010 B C CC A 大学物理练习册解答 14 9、平行板电容器极板面积为 S，两板间距离为 d，当极板上充以等量异号电荷 Q 后断 开电源，然后在电容器的左半面插入相对介电常数为 r =3 的陶瓷介质板(忽略边缘效应)，求： (1) 极板上的自由电荷 面密度分布1、2； (2) 两极板之间 a、b 两点电场强度 E、 电位移矢量 D 和极化强度 P； (3) 陶瓷板插入前、后两极板 电势差变化多少? 解： （1）左右两边电势差相等 dEdE 21 ) 1 ( 3 dd 0 2 0 1 r0 2 r0 1 且 )2 (Q 2 S 2 S 21 由（1） 、 （2）解得 S2 Q , S2 Q3 21 （2）此组合可看作两电容器的并联，电势差相等，距离相等 S2 Q EE 00 2 ba S2 Q D, S2 Q3 D 2b1a ) 1(0P S Q E) 1(ExP raa0ra0ea 真空 d S2 Q S2 Qd S Qd UUU 000 10、半径为 R 的导体球，带有电荷 Q，球外有一均匀电介质的 同心球壳，球壳内、外半径分别为 a 和 b，相对介电常数为 r ， 如图所示，试求： (1) 介质内、外的电位移矢量 D 和电场强度 E ； (2) 介质内的电极化强度 P 和介质两表面上的极化电荷面 密度 ； (3) 画出电场线和电位移线，加以比较。 解： （1）由题可知场的分布是球对称，应用高斯定理为半径 r 的同心球面 r0 DD E r4 q DqSdD 0E0DRr 11 )D,E( r4 Q E, r4 Q Dbr r4 Q E, r4 Q Dbra r4 Q E, r4 Q DarR 2 0 4 2 4 2 r0 3 2 3 2 0 2 2 2 方向均为径向 （2）介质内的极化强度 2 r 2 r0 r03r0 r4 Q ) 1 1 ( r4 Q ) 1(E) 1(P 2 r 0 bb 2 r aa b4 Q ) 1 1 (0cosP a4 Q ) 1 1 (cosP ; 1 2 b b R a O r a (3) 大学物理练习册解答 15 （3） 11、圆柱形的电容器由半径为 R1的导线和与它同轴的导体圆筒构成， 圆筒的半径为 R2，长为l，其间充满相对介电常数为r的溶液。设沿轴线单位长度导线上的电荷为 ， 单位长度圆筒上的电荷为。 略去边缘效应，试求: (1) 介质中电位移矢量 D、 电场强度 E 和极化强度 P ； (2) 两极的电势差；(3) 介质表面的极化电荷。 解：(1) 应用有介质时高斯定理 ll r2DSdD r D 2 r2 ) 1(ExP r2 DD E r0 r0e0 r0r0 方向： R1指向 R2 (2) 1 2 0 1 2 0 1 2 21 ln 22R Rdr drEUU r R R r R R (3) 2 ) 1(0cos ; 2 ) 1(cos 2 2 1 1 R P R P r r r r 12、厚度为 b 的无限大平板内分布有均匀电荷密度（0）的自由电荷，在板外两侧 分别充有介电常数为 1、2的电介质，如图所示。求（1）板内 外的电场分布；（2）板外的 A 点与 B 点分别距左右两板壁为 l， 求电势差 UAB 解：板内存在一平面 E 为零，以此面为原点建立图示坐标，设 d1、d2，d1+d2=b，作高斯面 1、2、3，见图示 板内 SxSDSdD 1 0 x ExD 板外 SdSDSdD 22 2 2 2 2 22 d EdD l R2 O R1 电位移线 电场线 图 9-9 大学物理练习册解答 16 SdSDSdD 11 3 1 2 1 11 d EdD 2 2 1 1 21 dd EE (1) 12 ddb+= （2） 由（1）（2）得 1 1 12 b d e ee = + ， 2 2 12 b d e ee = + 板外 1 21 2 21 + 13、一单芯同轴电缆，中心为一半径 R1=0.5cm 的金属导线，它外围包一层 r =5 的固 体介质，最外面是金属包皮。当在此电缆上加上电压后，介质内紧靠内表面处的场强 E1为紧靠外表面处的场强 E2的 2.5 倍。若介质的击穿场强 Em=40kV/cm，求此电缆能受 的最大电压是多少？ 解：设内外圆筒单位长度带电量，则介质中的场强 r2 E r0 1 介质内外表面的场强 1r0 1 R2 E 2r0 2 R2 E 根据题意 21 E5 . 2E 可解得 cm25. 15 . 05 . 2R5 . 2R 12 又 E1的场强最大，故电压升高后，该处先击穿。令 M1 EE ，则有 M1r0 ER2 电缆能承受的最大电压 kV3 .18 R R lnERdr r2 U 1 2 M1 2 R 1 R r0 M 11、 半径均为 a 的两根平行长直导线， 相距为 d (da)， 求单位长度上的电容。 解：设两导线间任意 P 点，距导线中心为 r，则 P 点 E 为 21 12 0 2 0 2 2 1 2 1 b dx x EdxldEU d d d d B A AB )0( 1 2 1 B d d A l dEl dE 大学物理练习册解答 17 ) rd(2r2 E 00 两导线间的电势差 UA-UB a ad ln ad a ln 2a ad ln 2 dr ) rd(2r2 drEdEUU 0 00 ad a 00 BA l a ad ln UU q C 0 BA l 14、一空气平板电容器的电容 C=1.0 pF，充电到电量为 Q=C100 . 1 6 后将电源切断 (1) 求两极板间的电位差和电场能量； (2) 将两极板拉到原距离的两倍, 试计算拉开前后电场能量的变化； 解：V100 . 1 100 . 1 100 . 1 C Q U) 1 ( 6 12 6 J5 . 0 100 . 12 100 . 1 C2 Q W 12 2 62 e J5 . 0WWWW W2 C2 Q W C 2 1 d2 S C)2( eeee e 2 e 0 大学物理练习册解答 18 15、电量为 Q0，半径为 R0导体球，置于相对介电常数为r的介质球壳中，如果介质 的内半径为 R0，外半径为 R，求: (1) 介质中的电场能量密度； (2) 贮存在介质球壳内的电场能量。 解：(1)能量密度 2 r0 E 2 1 由于场分布为球对称，应用高斯定理得 r0 42 2 0 2 r0 2 0 r0 r0 2 0 r0 2 0 r32 Q r4 Q 2 1 r4 QD E r4 Q D （2）) R 1 R 1 ( 8 Q drr4 r32 Q dVW 0 R 0 R r0 2 02 r0 42 2 0 e 16、两层相对介电常数分别为r1和r2的介质，充满圆柱形电容器两极板之间 (如图)， 电容器内、外两极圆筒在单位长度上的带电量分别为 和。求: (1) 单位长度上的电容； （2）此电容器系统单位长度上的电场的能量。 解： （1）设介质 1 中电场强度为 E1,介质 2 中的电场强度为 E2，由于在两介质中电 场分布为轴对称，由高斯定理得 大学物理练习册解答 19 2 3 2 r01 2 1 r0 2 R 1 R 3 R 2 R 2 r0 1 r0 21 2 r0 2 r0 2 1r 0 1r 0 1 R R ln 2R R ln 2 dr r2 dr r2 UU r2 D E, r2 D E r2 D 2 3 1 r 1 2 2 r 2 r 1 r0 0 2 3 2 r01 2 1 r0 31 R R ln R R ln 2 C C R R ln 2R R ln 2 l UU Q C l （2） 2 r 1 r0 2 3 1 r 1 2 2 r 2 0 2 0 4 ) R R ln R R ln( C2 Q W 拓展题： 1、一个平行板电容器，板面积为 S，板间距为 d，如图： （1）充电后保持其电量 Q 不变，将一块厚为 b 的金属板平行于两极板插入，与金属板 插入前相比，电容器储能增加多少？ （2）导体板进入时，外力（非电力）对它做功多少？是被吸入还是需要推入? (3) 如果充电后保持电容器的电压 U 不变，则（1） （2）两问结果又如何？ 解： （1）金属板插入前，电容器电容为 d S C 0 1 充电后，电容器能量为 S dQ C Q W 0 2 1 2 1 22 金属板插入后，整个电容器可以看成两个电容器的串联组合，一个电容器两极板间距 为 x，另一个电容器两极板间距为)(xbd，则整个电容器的电容为 bd S xbd S x S xbd S x S CC CC C 0 00 00 2221 2221 2 )( )( + d b 大学物理练习册解答 20 电量仍为 Q，则其能量为 S bdQ C Q W 0 2 2 2 2 2 )( 2 金属板插入前后，电容器能量增量为 S bQ S dQ S bdQ WW 0 2 0 2 0 2 12 222 )( （2）外力做功等于电容器能量增量，即 S bQ WWA 0 2 12 2 因为0A，所以金属板是被吸入的。 （3） )(2 2 0 12 bdd SbU WW 电容器电压不变，说明电容器与电源没有断开，此时，插金属板时，除了外力做功外， 电源也会做功。设插入金属板前后，电容器电量分别为 Q1和 Q2 , 2211 UCQUCQ插入金属板时，电源做功为 2 12121 )()(UCCUQQA 设外力做功为 A1 则 1221 WWAA 由此可解得 )(2 )( 2 1 2 02 122 bdd SbU UCCA 金属板仍然是被吸入的。 2、如图所示，一电容器由内、外半径分别为 a 和 b 的两个同 轴圆筒组成，其轴线处于竖直方向外筒固定，内筒悬挂在 天平的一端天平平衡时，内筒只有长度为 L 的一部分置于 外筒中当接上电源使两筒之间的电