闵行暑假班新王牌数学暑假补习班晋S老师数列归纳法.doc

数学归纳法【知识精要】1、归纳法：由特殊事例推出 一般结论 的推理方法，叫做归纳法。根据推理过程中考察的对象是涉及事物的全体或部分可分为 完全 归纳法和 不完全 归纳法。2、数学归纳法证题的步骤：（1）（归纳基础）证明当n取第一个值 时，命题成立；（2）（归纳假设）假设当 （）时命题成立，证明当 时命题也成立，只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。注：1）、在第二步的证明中 必须用到前面的归纳假设 ，否则就不是数学归纳法了。2）、数学归纳法只适用于 和正整数有关 的命题。3、数学归纳法的应用：（1）证明与自然数n有关的恒等式和不等式； （2）证明整除问题；（3）证明与正整数n有关的几何问题； （5）证明某些归纳，猜想问题。（4）由数列的递推关系证明通项公式问题； 【热身练习】 1、用数学归纳法证明：，第一步左式= ，右式= 。2、设，则= 3、用数学归纳法证明，在假设时等式成立，进一步要证明时的等式为 4、若用数学归纳法证明凸n边形个内角和等于，则n所取的第一个值应为 3 。【精解名题】一、等式归纳法证明：例1、用数学归纳法证明：当时，。证明：略。 点评：本题证明与自然数n有关的恒等式，证明过程中第二步由n=k时等式成立到n=k+1时等式也成立的证明是难点也是重点。变式训练：用数学归纳法证明：1+3+6+=(nN).证明：略。 例2、证明：能被6整除。答案：略。点评：本题考查数学归纳法及数的整除法。关键：1）归纳假设的正确运用；2）对于3k(k+1)能被6整除的说明。变式训练：证明：对于任意，是133的倍数。二、不等式归纳法证明：例3、当n1，nN时，求证：答案：略。变式训练：用数学归纳法证明： 答案：略。三、几何归纳法证明：例4、用数学归纳法证明：凸n边形的对角线的条数为。答案：略。点评：本题是证明与正整数n有关的几何问题。关键是：弄清从k到k+1时变化规律。变式训练：证明：两两相交且没有任何三条直线共点的n条直线将平面分成的部分为。答案：略。例5、已知一次函数满足，又令在这个一次函数的图像上，若，且当时，恒有。（1）求的解析式； （2）分别写出的值，并求出的通项公式，并证明。答案：（1） （2），猜想：点评：关键是建立的关系式。变式训练：已知数列中，是的前n项和，且是的等差中项。（1） 求，并猜想的表达式；（2） 用数学归纳法证明猜想。答案：（1） 猜想： 四、简单的数列极限运算：例6、（1），求实数的值。（2）已知，求的值。答案：（1） （2）2【备选例题】1、用数学归纳法证明：答案：略，2、当n1，nN时，求证：答案：略。3、用数学归纳法证明：能被整除，其中为整数，答案：略。4、已知数列是等差数列， (1)求数列的通项bn(2)设数列的通项,记是数列的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论。答案：（1） （2） 5、已知数列中，（1）求：，猜想的表达式； （2）用数学归纳法证明猜想。答案：（1）， ， 6、设f(n)=是否存在一个最大的自然数m，使不等式f(n) 对nN恒成立？若不存在，请说明理由；若存在，求出m之值，并证明该不等式。答案：17【巩固练习】1、对某些，用数学归纳法可以证明不等式：成立，第一步验证不等式成立，正确的是 （ D ）A、n=1时， B、n=2时，C、n=1时， D、n=2时，2、用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN)时，从“k到k+1”左边需增乘的代数式是( C )。(A)2k+1 (B) (C) (D)3、用数学归纳法证明：1+1)在验证n=2成立时，左式是( C )。(A)1 (B)1+1/2(C)1+1/2+1/3 (D)1+1/2+1/3+1/44、某个与自然数n有关的命题，若n=k时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立。现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得( C )。(A)当n=6时该命题不成立(B)当n=6时该命题成立(C)当n=4时该命题不成立(D)当n=4时该命题成立5、用数学归纳法证明：1-+-+-=+，第一步应验试左式是 ，右式是 。6、k为正偶数，表示等式则表示的等式为 7、若要用数学归纳法证明2nn2(nN)则仅当n取值范围是 时不等式才成立。8、设，则= 9、猜想：1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,第n个式子为 1-4+9-+(-1)n+1n2=(-1)n+1n2=(-1)n-1(1+2+n) 。10、计算：= 6 【作业】1用数学归纳法证明时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是 （ ）AB C D2 .用数学归纳法证明对n为正偶数时某命题成立，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）A时等式成立B时等式成立C时等式成立D时等式成立3.用数学归纳法证明“能被6整除”的过程中，当时，对式子的变形为 4.证明：当时，.5.已知，且，求证.6. 已知数列中，.()求的值；()推测数列的通项公式，并证明.7. 用数学归纳法证明等式：8.是否存在常数使等式对一切自然数都成立，并证明你的结论.9. 已知数列是等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的通项anlg（1），记Sn为的前n项和，试比较Sn与的大小，并证明你的结论10. 1.设，则（ ）ABC D11.凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为 ( )A.f（n）+n+1 B.f（n）+n C.f（n）+n1 D.f（n）+n212.用数学归纳法证明“1+n（nN*，n1）”时，由n=k（k1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 ( )A.2k1 B.2k1 C.2k D.2k+113某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得 （ ）A当n=6时该命题不成立B当n=6时该命题成立C当n=4时该命题不成立D当n=4时该命题成立14.用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）=2n13（2n1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为 15由归纳原理分别探求：(1)凸n边形的对角线条数f(n)= ;(2)平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f(n)= . 16.（2004重庆）设数列an满足a1=2，an+1=an+ （n=1，2，）.（1）证明an对一切正整数n都成立；（2）令bn= （n=1，2，），判定bn与bn+1的大小，并说明理由.答案：1. 【提示或答案】B.提示：将上式中的分别换为和，得到两个式子，在比较两个式子的差异。【基础知识聚焦】用数学归纳法证明等式或不等式时，由到时，要弄清等式或不等式的两边会增加多少项？增加怎样的项？2. 【提示或答案】B.提示：因为为正偶数，故为偶数）时，下一个偶数应该是。【基础知识聚焦】假设成立时，推证的不一定就是，关键是要弄清的“后继数”是什么？当为奇数或偶数时，其“后继数”是，当为自然数时，其“后继数”是.3. 【提示或答案】.【基础知识聚焦】在用数学归纳法证明的过程中，由成立推出成立时，必须用上归纳假设。4. 【提示或答案】【证明一】（数学归纳法）（1）当时，左边，右边，右边=左边，所以等式成立。（2）假设时等式成立，即则时所以当时，等式成立。由（1）（2）可知，对一切等式成立。【证明二】（裂项相消）从而等式得证。【基础知识聚焦】（1）数学归纳法证题的步骤：即先验证使结论有意义的最小的正整数，即当时，命题成立；假设当(，)时，命题成立.根据这个假设，推出当时，命题也成立；由可知命题得证。以上三个步骤缺一不可。（2）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式（或不等式）时，关键在于“先看项”，弄清式子的构成规律，等式（或不等式）的两边各有多少项？项的多少与的取值是否有关？由到时，等式的两边会增加多少项？增加怎样的项？5.不等式 【证明一】（数学归纳法）（1）当时。左边，右边，左边右边，不等式成立。（2）假设时不等式成立，即，当时，时不等式也成立。由（1）（2）对任意，且，不等式 都成立。【证明二】，从而不等式得证。【证明三】令，则，所以在上为增函数，所以，所以时，故.【点评】对于与正整数有关的命题，可考虑数学归纳法或二项式定理或构造函数，特别的若在幂指数的位置时，利用二项式定理较为方便。6. 解:()， ，即 ，即+， ，即+， ，()猜想.证明如下：【证明一】（1）当时，结论成立.假设时成立，即.即 由得=，说明当时，结论也成立.综合上述，可知对一切nN，都有【证明二】,相减得,累乘可得:【点评】证明一采用了归纳猜想证明，证明二采用逐商求积，都是处理求通项问题的通法通解，二者要灵活运用。7. . 当时，左边，右边，左边=右边，时等式成立；. 假设时等式成立，即，当时，左边 =右边，即时等式成立，根据，等式对都正确.【点评】用数学归纳法证明时注意：（1）的变化规律。（2）到时，等式左边增加了多少项？那些项？8.【解法一】 解:令n=1，得 1=(1+a)(1+b)，令n=2，得 4=(2+a)(2+b)，整理得解得a=1，b=2.下面用数学归纳法证明等式： (1)当时，1=123，结论成立.(2)假设时结论成立，即当时，则 说明当时结论也成立.综合上述，可知结论对一切都成立. 【解法二】比较可知。【点评】解法一利用特殊值探路，再证明，是处理“是否存在型”问题的常规解法。解法二利用了分组求和法，关键时弄清等式两边的构成规律，也是常用的公式。【变式与拓展】是否存在正整数，使得对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.【答案】由，得f（1）=36， f（2）=336， f（3）=1036， f（4）=3436，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：（1）当时，显然成立.（2）假设时，能被36整除，即能被36整除;当时，由于是2的倍数，故能被36整除.这就是说，当时，也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n都有能被36整除，m的最大值为36.9.（1）容易得n2n1.（2）由n2n1，知Snlg（11）1g（1）lg（）lg（）（）（）. 又1gbn1g，因此要比较Sn与1gbn的大小，可先比较（1）（）（）与的大小. 取n=1，2，3可以发现：前者大于后者，由此推测（1+1）（1+） （）. 下面用数学归纳法证明上面猜想：当n=1时，不等式成立.假设n=k时，不等式成立，即（11）（1）（）.那么n=k+1时，（）（）（）（）（）. 又2（）2，=当n=k+1时成立.综上所述，nN*时成立由函数单调性可判定Sn1gbn.【点评】用数学归纳法证明不等式，推导也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法、分析法、综合法均要灵活运用.在证明过程中，常常利用不等式的传递性对式子放缩，建立关系。1.数学归纳法的步骤、原理、注意事项：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.2.题型.方法.思想：证明恒等式、不等式、整除性；探求平面几何及数列问题；证明的关键是”找出与的递推关系,用好归纳假设,凑出结论”10.1