尝试对“数列的极限”的新讲法.doc

尝试对“数列的极限”的新讲法学习极限，首先遇到的就是数列的极限，现行教材采用的是以下两种方法之一：1. 要求较高的教材是直接引进极限的严格定义“-”定义，它理论上非常严谨。但是，学习比较费力费时,很多学员并不能够达到深入理解-定义的要求。2. 要求较低的教材都是使用了的极限的形象化定义, 学员们很容易接受。但是，对于后面紧接的“极限的性质”只能用解释代替证明。这样不严格的东西养成习惯，对学员综合素质的培养是不利的。 本文尝试采用取長补短的方法： 10 首先使用形象化定义,学员们很容易接受；20交给学员武器_“小邻域定理”(先只作解释，以后在适当的时候，再用-证明它)；30 将数列的极限的性质经过组织加工成“极限的八条性质”，这八条，比较规范化，可以 减轻记忆负担(函数的极限仍然是同样的八条)。40 用“小邻域定理”来证明这八条，证明的思路清晰，逻辑推导得力，过程简单明嘹；这样做的好处是使学员得到了一次很好的逻辑思维的训练，训练中自然加深了对这些极限性质的理解和记忆，而且所花时间并不多！一、数列的极限1. 几个数列的例子(1) un=, (n=1,2, ) 即 ( )(2) un=, (n=1,2, ) 即 ( )(3) un=, (n=1,2, ) 即 ( )(4) un=2n-1, (n=1,2, ) 即 (1,3,5, ) un是数列的通项,un=u(n)它实质上是一个函数,自变量为n_是该项的序号,定义域是N+(自然数) un本身也是一个变量,当序号n无限增大时,我们来研究变量un的变化趋势。显然, 数列（1）的项会变得愈来愈靠近常数1；数列（2）的项会变得愈来愈靠近常数0；数列（3）的项会变得愈来愈靠近常数0；数列（4）的项不会变得愈来愈靠近任何一个常数。定义1:当变量x变得愈来愈靠近某个常数A时,我们称x以A为极限。记为xA。定义2:当序号n无限增大时,数列的通项un变得无限趋近某个常数A时,我们称变量un以A为极限。记为unA 或 = A。 (否则记为unA；“”表示不趋近于)。上述定义,不难理解,但它只是提供了一个感觉的标准,不够严密。在最简单的情况下能够得到正确结果, 复杂的情况下仅靠感觉就不行了,下面的定理将非常有用。 2. 小邻域定理: un=A对0,在小邻域U(A,)外只有数列un的有限多个项。(U(A,)中包含un的无穷多个项)。 说明: (1) 靠近“极限”A的标准,可以用小邻域半径长度来衡量: 即当变量u进入小邻域U(A,)内並往后始终只在U(A,)内变化时,我们认为u实现了程度为的靠近。我们任意给出一个“靠近”的标准（正数）只要在某个项数N往后,变量u靠近“A”的程度就能够达到标准。可以是任意的小,也就是说标准可以任意的高！因此,我们就能够断言,u能够无限靠近“A”了,以上的说明能帮助我们理解极限。(图1) (2) 推论:若0, 在小邻域U(A,)中只有数列un的有限多个项。或在小邻域U外有数列un的无穷多个项,一定有: A不是un的极限(图2)；“小邻域定理”的严格证明见其它文档。(3) 引用“小邻域定理”去证明许多有关极限的命题非常方便。3. 若数列un收敛于A则它有性质:10 唯一性：若unA, unB, 则AB即极限唯一。证: 若AB,可设A 0,取=A/2,U(A ,)中包含un的无穷多个项都大于0。(图4）40 保序性：当n充分大时，两个收敛数列对应项的差保持同号。证: 设unA,v nB,A0,un落在U(A ,)外只有有限(m)项，vn 落在U(B,) 也外只有有限(k)项，设n这m+k项中最大的项数，则un必定落在U(A ,)內而vn也必定落在U(B,)內，总有un0,U(A,)外只有数列un的有限多个项U(A,)外更只有的有限多个项 A。推论:如果存在某个子序列不收敛(或A),那麽,un也一定不收敛(或A)！60 如果所有的(即任意取的)子序列都收敛,那麽,原数列un也一定收敛。证: 因为un就是它自身的一个子序列， 序列un收敛。记 unA。再由50知: 所有的un的子序列都一定收敛于A。70: 数列收敛的充要条件是它的任何一个子序列都收敛。 (50,60合并而成)。80.两边夹准则:若三个数列的对应项,满足unvnwn ,n1,2,3,而且unA,wnAvnA。证: 0 ,设数列un在U(A,)外的项中最大下标为m，wn在U(A,)外的项中最大下标为k，N=m+k。当nN时，数列un与wn所有的项都落在U(A,)内数列vn中nN的项也落在U(A,)内vn在U(A,)外至多只有N项。vnA。二、 函数的极限1. 定义:当自变量x无限增大时,函数y=f(x)的值无限趋近于常数A,则称A为函数f(x)在自变量x时的极限。记为f(x)A, 或f(x)= A。例如 1) = 0 (图5)； 2) =0 , 3) =0；2. 定义: 当自变量x无限靠近常数x0时, y=f(x)的值无限趋近于常数A, 则称A为函数f(x)在自变量xx0时的极限,记为f(x)A, 或f(x)=A。例如：=c；=4；极限不存在！(图5)。3. 定义:当自变量x从小于x0方向无限靠近常数x0时, 函数f(x)的值无限趋近于常数A,则称A为函数f(x)在自变量xx0时的左极限,记为f(x0-0)或f(x)=A。 同理f(x0+0) 或f(x)=A是右极限。左极限与右极限称为单边极限, 由2.定义的称为双边极限。4. 定理: f(x)=Af(x0-0)= f(x0+0)=A, 即左、右极限都存在且相等。5. 函数的极限(当xx0时)与数列的极限有类似的性质: (用“小邻域定理”不能证明函数的极限性质，说明(1)正是极限严格定义的思想，只有用它才能证明这些性质。略)10 唯一性； 20 局部有界性； 30 局部保号性； 40 局部保序性；50 收敛函数的“子序列”收敛。推论: 若存在某个子序列不收敛(或A),那麽f也一定不收敛 (或A)