专题6：排列、组合、二项式与概率专题.doc

排列、组合、二项式定理与概率一、排列与组合的相关知识点与方法：1.解排列组合应用题的基本规律（1）分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：单独使用；联合使用。（2）将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步。（3）对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素。位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置。整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。（4）对解组合问题，应注意以下三点：对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”。设计“分组方案”是解组合题的关键所在。2.解排列、组合题的基本策略与方法（1）去杂法对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。（2）分类处理某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。这是解排列组合问题的基本策略之一。注意的是：分类不重复不遗漏，即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。（3）分步处理与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，后分步。（4）插入法（插空法）某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。（5）“捆绑”法把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”。将特殊元素在这些位置上全排列，即是“捆绑法”。（6）穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。（7）探索法：对于复杂的情况，不易发现其规律的问题，需仔细分析，从特殊到一般，或一般到特殊，探索出其中规律，再给予解决。（8）消序处理对均匀分组问题的解决，一定要区分开是“有序分组”还是“无序分组”，若是“无序分组”，一定要清除均匀分组无形中产生的有序因素。（9）“住店”法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店”法。（10）等价命题转换法将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题。这是解数学题的主要思想方法之一，也是解较难的排列、组合题的重要策略。在排列组合中，常对同一问题可有不同的分类办法去解，可得到有关排列数与组合数的不同关系式。排列组合十三法一相邻问题捆绑法把题中规定相邻的几个元素并为一组（当作一个元素）参与排列。例1：A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有（ ）A、60 B、48 C、36 D、24二相离问题插空法元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端。例2：七人站成一排，如果甲，乙二人必须不相邻，则排法有（ ）A1440 B3600 C4820 D4800三定序问题对称法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用对称思想解题，先排后除。即；例3：A，B，C，D，E五人站一排，B必须站A右边，则不同的排法（ ）A24 B60 C90 D120引例：晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又加了2个节目，若将这2 个节目插入原节目单中，则不同的插法有（ ）种。四定位问题优先法某个（或几个）元素要排在指定位置，可先排这个（或几个）元素，再排其他元素。例4：一个老师和四名学生排成一排，教师不在两端，则不同的排法有（ ）；五多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。例5：八人站前后2排，每排4人，其中某2人站在前排，某1人站在后排有（ ）种排法；六乱座问题分步法把元素排列到指定号码位置上，可先把某个元素按规定排入，第2步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。例6：将数字1，2，3，4填入标号为1.2.3.4的四个方格，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ 种）七多元问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容几类情况，分别计算，最后总计。例7：由0.1.2.3.4.5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）个。八“至少”问题间接法当问题中有至多或至少等词出现时，一般用间接的办法解决。例8：从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲，乙电视机各一台，则不同取法共有（ 种）九条件问题排除法在被选总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不合条件着。例9：正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有（ 个）十选排问题，先取后排法从n类元素中取出符合题意的n个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。例10：四个不同球放入编号1.2.3.4四个盒子中，则恰有一个空盒放法共有（ ）种。十一指标问题用“隔板法”当把问题中的个体分配于少于个体的个数的对象时，一般在个体中间插入对象个插板，类似于隔板分开个体，此法称之为隔板法。例11：将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？注意：隔板法与插空法是不同的，隔板法只适用于相同元素的分配问题。十二平均分堆到指定位置用“填空法”对于平均分配问题的处理，先分堆再填空。例12：将6本不同的书平均分给三位同学，求不同的分法数？十三平均分堆不到指定位置，其分法数为：平分到指定位置/堆数的阶乘。分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，即平均分堆到位的分法数=平均分堆不到指定位置数堆数的阶乘。例13：将6本不同的书平均分成3堆有 种；二、二项式定理的相关知识点与方法：本部分内容的要点是：一个公式（通项公式），两个概念（二项式系数与项的系数），两个方法（赋值法与构造法），一个思想（整体思想）。1.赋值法所谓赋值法是指在二项展开公式两边用特殊值代入，得出某些等式及组合数的性质。解决与二项式系数相关的问题。例、若 的值为（ ） A0 B2C1 D1例、若,则 _2.构造二次式说得通俗点，就是根据式子的结构特征去构造一个形似的二项式，然后再解决问题。例、若n是奇数，则被9除的余数是（ ） A0B2 C7D8例、令，则3.算两次对同一对象从两个不同角度去进行计数，再将两方面计算的结果综合起来，获得所需结论。这样一种处理问题的方法，称之为算两次。例、在的展开式中，x3的系数等于（ ） A BCD注意：在求展开式的具体项或其系数时，应做到四步走：1、进行字母部分与数字部分的分离；2、充分利用幂的运算性质处理成xn的形式；3、根据要求构造方程并解之；4、返回代入数字部分计算。三、概率：包括等可能性事件（也叫随机事件），互斥事件（注意与对立事件的关系），相互独立事件（独立重复事件）；概率题的操作要注意审题，即对关键字词的理解要到位，也就是定性准确。考点1 考查等可能事件概率计算在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A包含的结果有m 个，那么P（A）= 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。 例。从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.(I) 求所选3人都是男生的概率；(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.考点2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式计算。事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则A、B叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为。用概率的法公式计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。例.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.考点3 考查对立事件概率计算必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。即或。用概率的减法公式计算其概率。高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。例甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为. （）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.考点4离散型随机变量的期望与方差例1袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，E()1，D()11，试求a，b的值变式迁移1编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.(1)求随机变量X的分布列；(2)求随机变量X的数学期望和方差例2(2011黄山模拟)A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为. (1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望变式迁移2某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯