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触发性结构化理财产品的定价研究 【摘要】本文通过将与证券、利率、汇率、指数、基金等各类金融资产表现挂钩的结构性投资产品作为研究对象，分析其在提供潜在回报及控制风险的同时，如何满足人们的投资心理需求。本文着重针对触发性结构化理财产品的定价进行了定量的研究，通过对其定价过程进行了严密的推导过程，并结合了傅立叶变换法，使最终得出的结果更加精准。 下载 【关键词】触发性结构化理财产品 定价 傅立叶变换 一、触发性结构化理财产品的内涵 触发性结构化理财产品可以分为两类，一类是给标的利率变动设定一个触发线水平，在产品存续期内，该产品的标的利率若触碰或突破了这个设定的触发水平，就可以根据事先签订的协议获得约定的较高的投资收益;另一类是给标的利率变动设定一个触发区间，当利率价格变动保持在这个区间内时，可以根据事先签订的协议获得一定的收益，当利率价格变动超出或低于区间水平，那么收益利率就为0或者协定的较低档的收益。 二、触发性结构化理财产品的定价方法 （一）有限差分法 有限差分法指的是用泰勒技术展开式将变量的导数写成变量，然后在不同时间或空间点值以差分形式表示的方法。它的思路是按时间步长或空间步长将时间或者空间区域分成若干个网格，然后用未知函数在网格结点上的值所构成的差分来近似代替偏微分方程中出现到的各阶的导数，从而把表现变量的连续变化过程的偏微分方程离散成为有限个代数方程，最后求解出这些线性代数方程组，完成定价。 （二）蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗方法是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础，使用随机数来解决定价问题的方法。在风险中性的假设下，通过模拟标的变量的其中一种可能路径，求出标的资产的期末价值，再对大量的期末价值算折现值，最后求出算术平均作为期权的定价。蒙特卡罗法的优势在于：（1）灵活，方便实现与改进;（2）标准误差及收敛速度与维数独立，能够解决多维的定价问题。然而，蒙特卡洛模拟潜在的劣势在于对于一些更为复杂的衍生证券，需要进行多次的模拟以提高最后的估算精度，否则将会产生非常大的估计误差，所以它的计算量很大，模型在实现过程中的复杂度也较高，依靠多次的重复来完善我们所关注的置信区间的估计，比较耗费时间，而且最后的精度也有待考验。 （三）傅里叶变换法 近年来，在衍生品合约的估值定价方面，傅里叶变换方法已成为了主要方法之一。主要原因在于，人们需要打破之前经典的布莱克-斯科尔斯模型的假设条件，在市场实际连续报价和模型定价计算中寻找一个平衡。一方面，布莱克-斯科尔斯方法时代的结束，促使了更多关于资产定价和风险因子的动态新模型研究，这些新的模型需要超越传统的框架结构，即正态分布回报。另一方面，伴随有独立增量的过程搜索是一个很麻烦的难点，然而，傅里叶变换法就可以针对此难点，成为一个应用广泛且实用的方法，主要因为它直接关联确定了这些过程的特征方程。本文将采用傅里叶变换的方法进行定价。 三、触发性结构化理财产品定价的推导过程 假设：以某个协定观察日的shibor利率作为研究对象，触发性结构化理财产品的到期收益率能够表示成某分段函数，如下：，其中r0代表到期当日shibor利率，为协定的临界利率，当r0高于时能够获得r1的收益;当r0等于或低于时只能得到r2的收益。 引入示性函数和实际上这两个示性函数的关系如下：，代回到上式，有：。 若期初投入1元钱，其期望收益的现值能够表示成： 其中 如果已知了结构化理财产品的信息，就表明上式中的、r1、r2都为已知条件。为了求出最终的定价W，问题将转化为求出EY和EY?Ir0这两个量。考虑到EY实际上是一个零息债券，因此能够按照其计算公式算得。那么求解的关键就是解出EY?Ir0。 设G（y，r0，T）=Eexp（-rsds）1r0y只要求出G的值就可以算出W了。本文将应用傅里叶变换法来求解G。另外，鉴于此时只是期初投入1元钱的情况，因此再将算得的W乘以期初投入金额总数，就能够得到触发性结构化理财产品的最终定价。 四、傅里叶变换法在触发性结构化理财产品定价中的应用 考虑只投入1元钱的情况，已知： dr=k（-r）dt+dW （1） （2） 定义特征方程为：（u，rt，t，T）=Eexp（-rsds）eurT|Ft （3） 其中E.|Ft表示在风险测度Ft下的期望。则由Feynman-Kac公式，得到： =+k（-r）-r （4） 边界条件为：（u，r，t，T）=eur （5） 对于任意的0，yR，a为已知数， dv =dvdGa，b（z;x，T，X） =-dvdGa，b（z;x，T，X） 由于limy+Ga，b（y;x，T，X）=X（a，x，0，T），其中X在区间（a，t）上，因此可以适用Fubini定理，即：对任意的v，vR，都有|eiv-eiu|v-u|。 对于t0， dv=-dv 其中，sgn（x）=1，x00，x=0-1，x0，对于每一个已知的y，这个积分的结果就由z和t决定。通过有限集合理论， dv =-sgn（z-y）dGa，b（z;x，T，X） =-（a;x，0，T）+（Ga，b（y;x，T，X）+dGa，b（y-;x，T，X） 其中，Ga，b（y-;x，T，X）=limzy，zyGa，b（z;x，T，X），又由于 |（a+ivb，x，0，T）|dv 说明这个积分是可积的。利用控制收敛理论，有 Ga，b（y;x，T，X）=+ dv （a-ivb，x，0，T）是（a+ivb，x，0，T）的复共轭函数。 因此，G（?，r0，T）的Fourier-Stieltjes最终变换g（?，r0，T）为： G（?，r0，T）=edG（y，r0，T）=Eexp-rdse=（iv，r0，0，T） （6） 其中，（iv，r0，0，T）由（3）式给出。 因此，可以推出了： G（y，r0，T）=-dv（7） 其中Im?为复数的虚部，y为触发性债券的一项临界利率，i表示虚数，r0表示期初利率。 可将特征方程设为如下形式： （u，r，t，T）=eA（t，u）+B（t，u）r （8） 下面将A（t，u）和B（t，u）分别简记为A（t）和B（t），则： =B（t），=B2（t），=（A（t）+B（t）r） （9） 这里将（9）代入（4）式，得到： 2B2（t）+k（-r）B（t）-r-（A（t）+B（t）r）=0 （10） 化简得： r（-kB（t）-1-B（t）+2B2（t）+kB（t）-A（t）=0 （11） 由分离变量法，得到方程： B（t）=-kB（t）-1 （12） A（t）=2B2（t）+kB（t） （13） 边界条件为B（T）=u，A（T）=0。先解微分方程（12）得： B（t）=e（-1）edt+c1=-+ec1 代入边界条件求出： c1=（u+）ekT 因此， B（t）=-+（u+）ek（T-t） （14） 利用式（14）和式（13），可得：A（t）= 2+（u+）2e-（u+）ek（T-t）+k（-+（u+）e） =+2（u+）2e-（u+）e-+k（u+）e 对上式求积分可得： A（t）= t-（u+）2e+（u+）e-t-（u+）e+c2 将边界条件代入上式，可解得： c2=-T+（u+）2-（u+）+t+（u+） 因此，得到最终的A（t）： A（t）=-（T-t）-（u+）2（e2k（T-t）-1）+（u+）+（ek（T-t）-1）-（u+）（e-1） 至此，我们可以求出B（t）和A（