浙江2020版高考数学复习第三章导数及其应用考点规范练14导数与函数的极值最值.docx

考点规范练14导数与函数的极值、最值基础巩固组1.函数f(x)=x3-3x2+3x的极值点的个数是()A.0B.1C.2D.3答案A解析由题知f(x)的导函数值恒大于或等于零,所以函数f(x)在定义域上单调递增.2.函数f(x)=x3-3x2+2在区间-1,1上的最大值是()A.-2B.0C.2D.4答案C解析f(x)=3x2-6x,令f(x)=0,得x=0或x=2.f(x)在-1,0)上是增函数,f(x)在(0,1上是减函数.f(x)max=f(x)极大值=f(0)=2.3.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知,当x0;当-2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.4.若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则实数c的取值范围为()A.32,+B.32,+C.-,-3232,+D.-,-3232,+答案C解析若函数f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则f(x)=3x2-4cx+1=0有实根,故=(-4c)2-120,解得c32或c-32.故选C.5.函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,2)C.(-1,3D.(-1,2答案D解析由题知f(x)=3-3x2,令f(x)0,解得-1x1;令f(x)0,解得x1,由此得函数在(-,-1)上是减函数,在(-1,1)上是增函数,在(1,+)上是减函数,故函数在x=-1处取到极小值-2,判断知此极小值必是区间(a2-12,a)上的最小值,即a2-12-1a,解得-1a0,所以a的取值范围是(0,3).8.(2017浙江衢州高三考试)已知函数f(x)=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1,则实数a=,此时函数y=f(x)在0,1最小值为.答案-122327解析由f(x)=x3+2ax2+1,得到f(x)=3x2+4ax,因为函数f(x)=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1,所以f(1)=1,即3+4a=1,解得a=-12.f(x)=3x2-2x,x0,23,f(x)0,函数单调递增,函数y=f(x)在0,1最小值为f23=2327.故答案为-12,2327.能力提升组9.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是()A.(-1,2)B.(-,-3)(6,+)C.(-3,6)D.(-,-1)(2,+)答案B解析f(x)=3x2+2ax+(a+6),由已知可得f(x)=0有两个不相等的实根.=4a2-43(a+6)0,即a2-3a-180,a6或ax2恒成立(其中e=2.718 28,是自然对数的底数),则实数a的取值范围是()A.0,e2B.(0,e)C.(-,-2e)D.-,4e2答案A解析由exax2得xa2lnx在x1e,e2上恒成立,即1a2lnxx在x1e,e2上恒成立.令f(x)=2lnxx,x1e,e2,则f(x)=2(1-lnx)x2,当x1e,e时,f(x)0,f(x)单调递增,当xe,e2时,f(x)f(e)=2e,0ae2.故实数a的取值范围是0,e2.故选A.11.设函数f(x)=ex(2x-1)-mx+m,其中m1,若存在唯一的整数n,使得f(n)0,则m的取值范围是()A.32e,1B.-32e,34C.32e,34D.-32e,1答案A解析设函数g(x)=ex(2x-1),h(x)=mx-m,m1.g(x)恒过12,0,h(x)=mx-m恒过(1,0).因为存在唯一的整数n,使得f(n)0,所以存在唯一的整数n,使得g(n)在直线h(x)=mx-m的下方.因为g(x)=ex(2x+1),所以当x-12时,g(x)-12时,g(x)0,g(x)单调递增.所以g(x)min=g-12=-2e-12.根据题意得,g(0)-m,g(-1)-2m,0m1,解得32em0,h(x)单调递增,所以h(x)=xlnx在(e,e2上的最大值为h(e2)=e22,即ae22.故a的取值范围为e22,+.13.已知函数f(x)=ex-x2,若x1,2,不等式-mf(x)m2-4恒成立,则实数m的取值范围是.答案e,+)解析因为f(x)=ex-x2,所以f(x)=ex-2x,令g(x)=f(x),所以g(x)=ex-2,因为x1,2,所以g(x)=ex-20,故f(x)=ex-2x在1,2上是增函数,故f(x)=ex-2xe-20;故f(x)=ex-x2在1,2上是增函数,故e-1ex-x2e2-4;故-mf(x)m2-4恒成立可化为-me-1e2-4m2-4;故me.14.若函数f(x)=13x3+x2-23在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是.答案-3,0)解析由题意,f(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-,-2),(0,+)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其图象如图所示.令13x3+x2-23=-23得,x=0或x=-3,则结合图象可知,-3a0,解得a-3,0).15.已知函数F(x)=1-xx+kln x其中k0),F(x)=(1-x)x-(1-x)xx2+kx=kx-1x2.若k0,在1e,e上,恒有kx-1kx20时,ke,x-1k0,kx-1kx20,F(x)在1e,e上单调递减,F(x)min=F(e)=1-ee+k=1e+k-1.F(x)max=F1e=e-k-1.综上所述,当k0且k1e时,F(x)max=e-k-1,F(x)min=1e+k-1.16.(2017北京高考)已知函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)=excosx-x,所以f(x)=ex(cosx-sinx)-1,f(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.当x0,2时,h(x)0,所以h(x)在区间0,2上单调递减.所以对任意x0,2有h(x)h(0)=0,即f(x)0时,求f(x)的最小值,g(a)的最大值;(3)设h(x)=f(x)+|(a-2)x|,x1,+,求证:h(x)2.解(1)函数f(x)在(0,2)上递减x(0,2),恒有f(x)0成立,而f(x)=ax-2x20x(0,2),恒有a2x成立,而2x1,则a1满足条件.(2)当a0时,f(x)=ax-2x2=0x=2a.x0,2a2a2a,+f(x)-0+f(x)极小值f(x)的最小值g(a)=f2a=a+aln2a.g(a)=ln2-lna=0a=2.a(0,2)2(2,+)g(a)+0-g(x)极大值g(a)的最大值为g(2)=2.(3)当a2时,h(x)=f(x)+(