2019版高考数学第4章三角函数解三角形2第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式教案.docx

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(2)商数关系：tan 提醒基本关系式的变形sin21cos2，cos21sin2，sin tan cos ，cos ，(sin cos )212sin cos .2六组诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin sin cos_cos 余弦cos cos cos_cos sin sin_正切tan tan tan tan_口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限简记口诀：把角统一表示为(kZ)的形式，奇变偶不变，符号看象限 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意的角，都有sin2cos21.()(2)若R，则tan 恒成立()(3)sin()sin 成立的条件是为锐角()(4)若cos(n)(nZ)，则cos .()答案：(1)(2)(3)(4) 已知是第二象限角，sin ，则cos ()ABC. D.解析：选A.因为是第二象限角，所以cos 0，可排除选项C，D，又sin2cos21，所以排除选项B. 若sin cos ，则tan 的值是()A2B2C2 D.解析：选B.tan 2. sin 2 490_；cos_解析：sin 2 490sin(736030)sin 30.coscoscos()cos .答案： 化简sin()cos(2)的结果为_解析：原式(sin )cos()(sin )cos (sin )cos sin2.答案：sin2同角三角函数的基本关系式(高频考点) 同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活高考中常以选择题、填空题的形式出现高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度：(1)知弦求弦；(2)知弦求切；(3)知切求弦典例引领角度一知弦求弦 (1)若sin()，且，则sin 2的值为()ABC. D.(2)已知sin cos ，(0，)，则sin cos 的值为()A.B.CD【解析】(1)因为sin()sin ，所以cos ，所以sin 22sin cos 2.(2)(sin cos )2，所以12sin cos ，所以2sin cos ，由(sin cos )212sin cos 1，可得sin cos .又因为(0，)，sin cos ，所以sin cos .【答案】(1)A(2)C角度二知弦求切 (方程思想)已知sin cos ，(0，)，求tan .【解】法一：因为sin cos ，(0，)，所以(sin cos )212sin cos ，所以sin cos .由根与系数的关系知，sin ，cos 是方程x2x0的两根，所以x1，x2.又sin cos 0，所以sin 0，cos 0，所以sin ，cos ，所以tan .法二：同法一得，sin cos ，所以.齐次化切得，即60tan2169tan 600.解得tan ，或tan .由得，所以tan .角度三知切求弦 (2016高考全国卷)若tan ，则cos22sin 2()A.B.C1 D.【解析】法一：由tan ，cos2sin21，得或则sin 22sin cos ，则cos22sin 2.法二：cos22sin 2.【答案】A同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2cos21求解如例11.(2)知弦求切：常通过平方关系sin2cos21及商数关系tan 结合诱导公式进行求解如例12.(3)知切求弦：通常先利用商数关系转化为sin tan cos 的形式，然后用平方关系求解若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，如；asin2bcos2csin cos .如例13. 通关练习1已知是第二象限的角，tan ，则cos _解析：因为是第二象限的角，所以sin 0，cos 0，由tan ，得cos 2sin ，代入sin2cos21中，得5sin21，所以sin ，cos .答案：2已知是三角形的内角，且tan ，求sin cos 的值解：由tan ，得sin cos ，将其代入sin2cos21，得cos21，所以cos2，易知cos 0，所以cos ，sin ，故sin cos .诱导公式的应用 典例引领 (1)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3xy0上，则等于()AB.C0 D.(2)已知cosa，则cossin的值是_【解析】(1)由题可知tan 3，原式.(2)因为coscoscosa.sinsincosa，所以cossin0.【答案】(1)B(2)01若本例(1)的条件3xy0改为4x3y0，则_解析：由题可知tan ，原式.答案：2若本例(2)的条件cosa改为sina，则cos_解析：coscossina.答案：a(1)利用诱导公式化简的基本思路分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式(2)利用诱导公式化简的基本要求化简过程是恒等变形；结构要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值 通关练习1(2018福建省毕业班质量检测)若sin()，且(，)，则sin(2)()ABCD解析：选D.由sin()cos ，且(，)，得sin ，所以sin(2)sin 22sin cos ，选项D正确2sin(1 071)sin 99sin(171)sin(261)_解析：原式(sin 1 071)sin 99sin 171sin 261sin(33609)sin(909)sin(1809)sin(2709)sin 9cos 9sin 9cos 90.故填0.答案：03已知A(kZ)，求A的值构成的集合解：当k为偶数时，A2；当k为奇数时，A2.所以A的值构成的集合是2，2 诱导公式的再理解诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇”与“偶”指的是k中的整数k是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在k中，将看成锐角时k所在的象限 三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)和积转换法：利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan. 易错防范(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin23cos231，tan .(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化 1计算：sin cos ()A1B1C0D.解析：选A.原式sincossin coscos 1.2已知tan()，且，则sin()A.BC.D解析：选B.由tan()tan .又因为，所以为第三象限的角，sincos .3已知sin()cos(2)，|，则等于()ABC. D.解析：选D.因为sin()cos(2)，所以sin cos ，所以tan .因为|，所以.4(2018福建四地六校联考)已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()10，则sin 的值是()A.B.C. D.解析：选C.由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 10，可解得tan 3，又为锐角，故sin .5已知sin(3)2sin，则sin cos ()AB.C.或D解析：选A.因为sin(3)2sin，所以sin 2cos ，所以tan 2，所以sin cos .故选A.6化简：sin()cos()_解析：sin()cos()(cos )(sin )cos2.答案：cos27已知为第四象限角，sin 3cos 1，则tan _解析：由(sin 3cos )21sin2cos2，得6sin cos 8cos2，又因为为第四象限角，所以cos 0，所以6sin 8cos ，所以tan .答案：8sin cos tan的值是_解析：原式sincostan().答案：9已知2，cos(7)，求sin(3)tan的值解：因为cos(7)cos(7)cos()cos ，所以cos .所以sin(3)tansin()sin tansin sin cos .10已知为第三象限角，f().(1)化简f()；(2)若cos()，求f()的值解：(1)f()cos .(2)因为cos()，所以sin ，从而sin .又为第三象限角，所以cos ，所以f()cos .1(2018湖南郴州模拟)已知sin，则cos()A.B.CD解析：选B.因为sin，所以cossinsin，故选B.2(2018成都市第一次诊断性检测)已知为第二象限角，且sin 2，则cos sin 的值为()A.BC.D解析：选B.法一：因为cossin 2，又，所以，则由cos2cos21，解得cos，所以cos sin cos，故选B.法二：因为为第二象限角，所以cos sin 0，cos sin .3化简_解析：原式1.答案：14已知sin，则cos_解析：coscoscoscos，而sinsincos，所以cos.答案：5已知f(x)(nZ)(1)化简f(x)的表达式；(2)求ff的值解：(1)当n为偶数，即n2k(kZ)时，f(x)sin2x(n2k，kZ)；当n为奇数，即n2k1(kZ)时，f(x)sin2x(n2k1，kZ)综上得f(x)sin2x.(2)由(1)得ffsin2sin2sin2sin2sin