离散数学第十二章代数结构基本概念及性质.ppt

第十二章 代数结构概念及性质 l12.1 代数结构的定义与例 l12.2 代数结构的基本性质 l12.3 同态与同构 l12.4 同余关系 l12.5 商代数 l12.6 积代数 12.1 代数结构的定义与例 在正式给出代数结构的定义之前，先来说明 什么是在一个集合上的运算，因为运算这个概念 是代数结构中不可缺少的基本概念。 定义12.1.1 设S是个非空集合且函数 或 f : Sn S，则称 f 为一个n元运算。 其中n是自然数，称为运算的元数或阶。当n=1时 ，称f为一元运算，当n=2时，称f为二元运算，等 等。 注意，n元运算首先是一个函数，其次是个 闭运算(所谓闭运算是指：集合上的运算，其运算 结果都在原来的集合中，我们把具有这种特征的 运算称作封闭的，简称闭运算)。封闭性表明了n 元运算与一般函数的区别之处。此外，有些运算 存在幺元或零元，它在运算中起着特殊的作用， 称它为S中的特异元或常数。 运算的例子很多，例如，在数理逻辑中，否 定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是谓词 集合上的二元运算；在集合论中，并与交是集合 上的二元运算；在整数算术中，加、减、乘运算 是二元运算，而除运算便不是二元运算，因为它 不满足封闭性。 在下面讨论的代数结构中，主要限于一元和 二元运算，将用、或等符号表示一元运算符； 用、等表示二元运 算符，一元运算符常常习惯于前置、顶置或肩置 ，如x、 、x；而二元运算符习惯于前置、中置 或后置，如：+xy，x+y，xy+。 有了集合上运算的概念后，便可定义代数结 构了。 定义12.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的ni元 运算，其中i=1，2，m。由S及f1，f2，fm 组成的结构，称为代数结构，记作。 例：设Z是整数集， “”是Z上的普通加法运 算，则是一个代数结构。 例：设R是实数集 ，“”与“”是实数集R上 的普通加法和乘法运算，则是一个代数 结构。 例：我们可以构造下述的一个代数结构： 设有一个由有限个字母组成的集合 ，叫字 母表，在上任意长的字母串，叫做上句子或 字符串，串中字母的个数m叫这个串的长度，我 们假定当一个字的长度m=0时用符号表示，它 叫做空串。这样我们可以构造一个在上的所有 串的集合*。 其次，我们定义一个在*上的运算“/” 并置运算或者连接运算，设， *，则 / 。通过并置运算将两个串联成一个新的串 ，而此联成的新串也在*内，这样构造的 是一个代数结构 如果令+ *，则也是一个 代数结构。 这两种代数结构都是计算机科学 中经常要 用到的代数结构。 例：设有一计算机它的字长是32位，它以 定点加、减、乘、除及逻辑加、逻辑乘为运算 指令，并分别用01，02，06表示之。则在该 计算机中由232有限个不同的数字所组成的集合S 以及计算机的运算型机器指令就构成了一个代 数结构。 因此，一个代数结构需要满足二个条件： (1)有一个非空集合S (2) 在集合S上定义的运算一定是封闭的 此外，我们把集合S的基数即|S|，定义为代数 结构的基数。如果S是有限集合，则说代数结构是 有限代数结构；否则便说是无穷代数结构. 有时，要考察两个或多个代数结构，这里就 有个是否同类型之说，请看下面定义： 定义12.1.3 设两个代数结构和，如果fi和gi(1im)具有 相同的元数，则称这两个代数结构是同类型的。 可见，判定两个代数结构是否同类型，主要是 对其运算进行考察： 两个代数结构是否有相同个数的运算符； 每个相对应的运算符是否有相同的元数。 例：代数结构与代数结构是相 同类型的，因为它们都有一个二元运算符。 例：代数结构与的类型是 不相同的，因为它们的运算符的个数不同。 例：设S是非空集合，P(S)是它的幂集。对任意 集合A，BP(S)上的运算和如下: AB =(AB)(BA) AB = AB 则是一代数结构。因为，显然 和是闭运算。 与是同类型代数结 构的。 有时还需要在代数结构中集合的某个子集上讨 论其性质，这就引出子代数结构的概念. 定义12.1.4 设是一代数 结构，且非空集TS在运算f1，f2，fm作用下 是封闭的，且T含有与S中相同的特异元，则称为代数结构 的子代数。记为。 例：设 E是所有偶数所组成的集合，则代数 结构是的一个子代数结构 例： 显然， . 12.2 代数结构的基本性质 所谓代数结构的性质即是结构中任何运算所具 有的性质。以下我们均假设运算为二元运算。 1.结合律 给定，则运算“”满足结合律或“”是可 结合的，即 (x)(y)(z)(x,y,zS(xy)z=x(yz) 例12.2.1 给定且对任意a，bA有 ab=b。证明运算“”是可结合的。 证明：因为对任意a，b，cA (ab)c=bc=c a(bc)=ac=c 故 (ab)c=a(bc) 注意，不是任何代数结构上的运算都满足结 合律，如整数集上“”运算就不满足结合律。如： 5(21)4,但是(52)12. 2.交换律 给定，则运算“”满足交换律或“”是可 交换的，即 (x)(y)(x,ySxy=yx)。 例12.2.2 给定，其中Q为有理数集合 ，并且对任意a，bQ有ab = a + b - ab，问运 算是否可交换? 证： ab = a + b - ab= b + a - ba b a ，故运算是可交换的。 同样，并不是所有代数结构上运算均满足 交换律，如矩阵的乘法就不满足交换律。 易见，如果一代数结构中的运算是可结合 和可交换的，那么，在计算a1a2am时可按 任意次序计算其值。 特别当a1a2ama时，则 a1a2amam。称am为a的m次幂，m称a的指 数。 下面给出am的归纳定义： 设有且aS，对于mZ+，其中Z+表示 正整数集合，可有： (1) a1=a (2)am+1=ama 由此利用归纳法不难证明指数定律： (1)aman=am+n (2)(am)n=amn 这里，m,nZ+。 类似地定义某代数结构中的负幂和给出负指 数定律。 3.分配律 一个代数结构若具有两个运算时，则分配律 可建立这两个运算之间的某种联系。 给定，称运算对于满足左分配 律，或者对于是可左分配的，如果有 (x)(y)(z)(x,y,zSx(yz)=(xy)(xz) 同理，称运算对于满足右分配律或对于 是可右分配的，如果有 (x)(y)(z)(x,y,zS(yz)x=(yx)(zx) 类似地可定义对于是满足左或右分配律. 若对于既满足左分配律又满足右分配律，则 称对于满足分配律或是可分配的。同样可定义对 于满足分配律。 由定义不难证明下面定理： 定理12.2.1 给定且是可交换的。如 果对于满足左或右分配律，则对于满足分配律 。 例12.2.3 给定，其中B=0,1。表 12.2.1分别定义了运算和，问运算对于是可 分配的吗？对于呢？ 形如表12.2.1的表常常被称为运算表或复合表，它由 运算符、行表头元素、列表头元素及复合元素四部分组 成。当集合S的基数很小，特别限于几个时，代数结构中 运算常常用这种表给出。其优点简明直观，一目了然。 解 可以验证对于是可分配的，但对于并非如 此。因为 1(01)(10)(11) 1 0 1 0 0 4.吸收律 给定，则 对于满足左吸收律 :=(x)(y)(x,ySx(xy)=x) 对于满足右吸收律 :=(x)(y)(x,yS(xy)x=x) 若对于既满足左吸收律又满足右吸收律， 则称对于满足吸收律或可吸收的。 对于 和吸收律类似地定义。 若对于是可吸收的且对于也是可吸收的 ，则和是互为吸收的或和同时满足吸收律。 例12.2.4 给定，其中N是自然 数集合，和定义如下： 对任意a，bN有ab = maxa，b，a b = mina，b，试证，和互为吸收的。 证明：不妨假设ab a(ab) = maxa， mina，b= a (ab)a = maxmina，b ，a= a 故对于满足吸收律。 同理可证， 对于满足吸收律。故和 互为吸收的。 5.等幂律与等幂元 给定，则 “”是等幂的或“”满足等幂律:=( x)(xSxx=x) 给定且xS，则 x是关于“”的等幂元:=xx=x 于是，不难证明下面定理： 定理12.2.2 若x是中关于的等幂元， 对于任意正整数n，则xn=x。 例12.2.5 给定，其中P(S)是 集合S的幂集，和分别为集合的并和交运算 。验证：和是等幂的。 证：对任意A P(S)，有AA=A和AA=A ，故和是等幂的。 6. 幺元或单位元 给定且el，er，eS，则 el为关于的左幺元:=( x)(xSelx=x) er为关于的右幺元:=( x)(xSxer=x) 若e既为的左幺元又为的右幺元，称e为关 于的幺元。亦可定义如下： e为关于的幺元 :=( x)(xSex=xe=x)。 定理12.2.3 给定且el和er分别是关于 的左、右幺元，则el=er=e且幺元e唯一。 例：实数集R上的代数结构的 “”运算的幺元为1，因为对任意xR有x11x x。而“”运算的幺元为0，因为对任意xR有x 00xx。 例：前面例子中关于串的并置运算，它的单 位元素是空串，因为对任一串A，均有 / A = A / = A。 7.零元 给定及l，r，S，则 l为关于的左零元 :=( x)(xSlx=l) r为关于的右零元 :=( x)(xSxr=r) 为关于的零元 :=( x)(xSx=x=) 定理12.2.4 给定且l和r分别为关于 的左零元和右零元，则l=r=且零元是唯一的 。 定理12.2.5 给定且|S|1。如果， eS，其中和e分别为关于的零元和幺元，则 e。 例：代数结构上的零元是“0”，因为 对于任何整数x，均有x00x0。 例：正整数集Z+上的运算“min”，叫“取最小 ”运算。min(a,b)为取a,b的最小者。代数结构中对应于运算“min”的零元为1。 8逆元 给定且幺元e，xS，则 x为关于的左逆元:=(y)(ySxy=e) x为关于的右逆元:=(y)(ySyx=e) x为关于可逆的 :=(y)(ySyx=xy=e) 给定及幺元e；x，yS，则 y为x的左逆元:=yx=e y为x的右逆元:=xy=e y为x的逆元:=yx=xy=e 显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，因 此称x与y互为逆元。通常x的逆元表示为x-1。 一般地说来，一个元素的左逆元不一定等于 该元素的右逆元。而且，一个元素可以有左逆元 而没有右逆元，反之亦然。甚至一个元素的左或 右逆元还可以不是唯一的。 定理12.2.6 给定及幺元eS。如果 是可结合的并且一个元素x的左逆元xl-1和右逆元xr -1存在，则xl-1=xr-1。 定理12.2.7 给定及幺元eS。如果 是可结合的并且x的逆元x-1存在，则x-1是唯一的 。 例：代数结构上的幺元是“0”，对于 任何整数x，它的逆元是x，因为 x(x)0。 例：代数结构中0和1分别为和 的幺元。对于“”，对每个元素rR都有逆元r ；对于“”，对每个元素 rR都有逆元1/r(r 0) 。 9.可约律与可约元 给定且零元S，则 满足左可约律或是左可约的 :=( x)( y)( z)(x,y,zSxxy=xz)y=z)， 并称x是关于的左可约元。 满足右可约律或是右可约的 :=( x)( y)( z)(x,y,zSxyx=zx)y=z)， 并称x是关于的右可约元。 若既满足左可约律又满足右可约律或既是 左可约又是右可约的，则称满足可约律或是可 约的。 若x既是关于的左可约元又是关于的右可约 元，则称x是关于的可约元。可约律与可约元也 可形式地定义如下： 满足可约律 :=( x)( y)( z)(x,y,zSx(xy=xzyx=zx)y=z) x是关于的可约元 :=( y)( z)(y,zSx(xy)=xzyx=zx)y=z) 例：给定，其Z是整数集合，是一般 乘法运算。显然，每个非零整数都是可约元，而 且运算满足可约律。 定理12.2.8 给定且是可结合的，如 果x是关于可逆的且x，则x也是关于的可约 元。 证明 设任意y,zS且有xy=xz或yx=zx。 因为是可结合的及x是关于可逆的，则有 x-1(xy)=(x-1x)y=ey=y x-1(xz)=(x-1x)z=ez=z 故得xy=xzy=z，故x是关于的左可约元 。同样可证得yx=zxy=z，故x是关于的右可 约元。故x是关于的可约元。 最后，作一补充说明，用运算表定义一代数 结构的运算，从表上很能反映出关于运算的各种 性质。为确定起见，假定及x，y， eS。 (1)运算具有封闭性，当且仅当表中的每个 元素都属于S。 (2)运算满足交换律，当且仅当表关于主对 角线是对称的。 (3)运算是等幂的，当且仅当表的主对角 线上的每个元素与所在行或列表头元素相同 。 abc aa bb cc (4)元素x是关于的左零元，当且仅当x所对 应的行中的每个元素都与x相同；元素y是关于 的右零元，当且仅当y所对应的列中的每个元素 都与y相同；元素是关于的零元，当且仅当所 对应的行和列中的每个元素都与相同。 lm n a xxxx c 左零元x m ny ay by cy 右零元y m n a c 零元 (5)元素x为关于的左幺元，当且仅当x所 对应的行中元素依次与行表头元素相同；元素y 为关于的右幺元，当且仅当y所对应的列中元 素依次与列表头元素相同；元素e是关于的幺 元，当且仅当e所对应的行和列中元素分别依次 与行表头元素和列表头元素相同。 lm n a xlm n c 左幺元x m ny aa bb cc 右幺元y m ne aa em ne cc 幺元e (6)x为关于的左逆元，当且仅当位于x所在 行的元素中至少存在一个幺元，y为关于的右逆 元，当且仅当位于y所在列的元素中至少存在一个 幺元；x与y互为逆元，当且仅当位于x所在行和y 所在列的元素以及y所在行和x所在列的元素都是 幺元。 lm n a xe c 左逆元 m ny ae b c 右逆元 m xy xe b ye 逆元 例12.2.8 给定，其中S=，且 的定义如表12.2.5所示。试指出该代数结构中各元素的左 、右逆元情况。 表12.2.5 解：是幺元；的左逆元和右逆元都是，即与互 为逆元；的左逆元是而右逆元是；有两个左逆元和 ；的右逆元是，但没有左逆元。 e e e e e e e e 12.3 同态与同构 本节将阐明两个重要概念同态与同构。 在以后各节中，它们会经常被使用到。 定义12.3.1 设与是同类型的 。称同态于或为 的同态象，记为 ，其定义如下 ： :=(f)(fYX(x1)(x2)(x1,x2Xf(x1x2)=f(x1) f(x2) 同时，称f为从到的同态映射 . 可以看出，同态映射f不必是惟一的。 X x1 x2 x3 x1x3 f(X) y1=f(x1) f(x1)=f(x2) y3=f(x3) y1y3 Y 同态示意图 f 例12.3.1 给定和，其中R是 实数集合，和分别是加法和乘法运算，试证 。 证：关键是找一个同态映射。今构造函数 fRR如下： f(x)=ax , 其中a0, xR 则f为所求的同态映射，这是因为对任意 y,zR，有 f(yz)= ayz ay az f(y)f(z) 因此， 两个同类型的代数结构间的同态定义不仅适 用于具有一个二元运算的代数结构，也可以推广 到具有多个二元运算的任何两个同类型代数结构 。例如，对于具有两个二元运算的两个同类型代 数结构和的同态定义如下： :=(f)(fYX(x1) (x2)(x1,x2X(f(x1x2)=f(x1)f(x2)f(x1x2)= f(x1)f(x2) 定理12.3.1 如果 且f为其同 态映射，则 。 由于函数fYX的不同性质，将给出不同种类 的同态定义。 定义12.3.2 设 且f为其同态 映射。 (i)如果 f 为满射，则称 f 是从到的满同态映射。 (ii)如果f为单射(或一对一映射)，则称f为从 到的单一同态映射。 (iii)如果f为双射(或一一对应)，则称f为从到的同构映射。记为 。 显然，若 f 是从到的同构映射 ，则 f 为从到的满同态映射及单一 同态映射，反之亦然。 例12.3.3 设与是同类型的 ，其中*为有限字母表上的字母串集合，为并 置运算，N为自然数集合，+为普通加法。若定义 f：*N为 f(x)= | x | 其中x*，| x |表示字母 串的长度。 因为对任意 x，y*，有f(xy )= | xy | = | x | + | y | = f(x)+ f(y)，故 。 显然，f是满射，因此，f为从到的满同态映射。 例12.3.4 给定，其中Z为整数集合，+为 一般加法。作函数fZZ：f(x)=kx，(此处乘法是一 般乘法)其中x,kZ 则当k0时，由于 f(y+z)=k(y+z)=ky+kz=f(y)+f(z)，故f为到 的同态映射。又易知f为单射，故f为到 的单一同态映射。 当k=-1或k=1时，f为从到的同构映 射(我们稍后再来证明)。 综上可以看出，同态映射具有一个特性，即“ 保持运算”。对于满同态映射来说，它能够保持运 算的更多性质，为此，给出如下定理： 定理12.3.2 给定 且 f 为其 满同态映射，则 (a)如果和满足结合律，则和也满足结合 律。 (b)如果和满足交换律，则和也满足交换 律。 (c)如果对于或对于满足分配律，则对 于或对于也相应满足分配律。 (d)如果对于或对于满足吸收律，则对 于或对于也满足吸收律。 (e)如果和满足等幂律，则和也满足等 幂律。 (f)如果e1和e2分别是关于和的幺元，则f(e1) 和f(e2)分别为关于和的幺元。 (g)如果1和2分别是关于和的零元，则f(1) 和f(2)分别为关于和的零元。 (h)如果对每个xX均存在关于的逆元x-1，则 对每个f(x)Y也均存在关于的逆元f(x-1)；如果对 每个zX均存在关于的逆元z-1，则对每个f(z)Y 也均存在关于的逆元f(z-1)。 定理12.3.2告诉我们，对于满同态映射来说 ，代数结构的许多性质都能保持，如结合律、交 换律、分配律、等幂律、幺元、零元、逆元等， 但这种保持性质是单向的，即如果满同态 于，则所具有的性质，均 具有。但反之不然，即所具有的某些性质 ，不一定具有。不尽要问，在怎样条件下 ，所具有的性质都完全具有呢?为 了回答这个问题，需要引出两个代数结构同构的 概念。 定义12.3.3 设与是同类型的 。称同构于，记为 ，其定义如下： :=(f)(f为从到的同构映射) 或更详细地定义为： :=(f)(fYXf为双射f 为从到的同态映射) x1 x2 x1x2 f(x1) f(x2) f(x1)f(x2) 同构示意图 f 例 代数结构与是同构的。 其中R为实数，R+为正实数。 证：关键是找一个双射。对 与，有一个函数h：R+R，h(x)=lnx 此函数是双射的。因为对每个x0,均存在一 个y=lnxR，同时，对每个yR，均存在一个x=ey R+.又因为 h(yz)=ln(yz)=lnylnz=h(y)h(z) 故与是同构的。 注：当然，我们也可以取函数h(x)=lgx， 续例12.3.4 给定，其中Z为整数集合，+ 为一般加法。作函数fZZ：f(x)=kx，(此处乘法是 一般乘法)其中x,kZ，则当k=-1或k=1时，f为从 到的同构映射。 证：先证明当k=-1或k=1时f为双射。因为对每 个xZ,均存在一个y=kx(即y=x或y=-x)Z，同时， 对每个yZ，均存在一个x=y/k (即x=y或x=-y) Z。( 显然，若k取1以外的值，y/k不一定是整数，或者 y/k无意义，此时f 就不是双射了.) 又由于f(y+z)=k(y+z)=ky+kz=f(y)+f(z)， 故f为到的同构映射。 例 代数结构与是 同构的。其中M, H分别表示低电平、高电平，“” 表示或门，它们的运算表如下。 证：这两个代数结构间存在一个函数 f:0,1M,H，且f(0)=M, f(1)=H，显然这是一个 双射，而且有f(xy)=f(x)+f(y)。故它们是同构的。 01 001 111 M H MM H HHH 例 设S=4,5,6,在S上的二元运算“”其定义如 下表所示。又有P=1,2,3及在P上的二元运算“” ，其运算表如下表所示。这样所构成的两个代数 结构与是同构的。 证：这两个代数结构间存在一个函数 f:4,5,61,2,3，f(x)=x-3，其中xS。显然这是 一个双射，而且有f(xy)=f(x)f(y)。故它们是同构 的。 456 4454 5455 6456 123 1121 2122 3123 由定义可知，同构的条件比同态强，关键是 同构映射是双射，即一一对应。而同态映射不一 定要求是双射。正因为如此，同构不再仅仅象满 同态那样对保持运算是单向的了，而对保持运算 成为双向的。两个同构的代数，表面上似乎很不 相同，但在结构上实际是没有什么差别，只不过 是集合中的元素名称和运算的标识不同而已，而 它们的所有发生“彼此相通”。 这样，当探索新的代数结构的性质时，如果 发现或者能够证明该结构同构于另外一个性质已 知的代数结构，便能直接地知道新的代数结构的 各种性质了。对于同构的两个代数结构来说，在 它们的运算表中除了元素和运算的标记不同外， 其它一切都是相同的。因此，可以根据这些特征 来识别同构的代数结构。 下面给出两个二元运算的代数结构的同构定 义 定义 设两个代数结构与，如果它们之间存在一个双射f：XY，使得 任意x1,x2X，有 f(x1 x2)=f(x1) f(x2) f(x1 x2)=f(x1) f(x2) 则说此两个代数结构是同构的。 例12.3.6 给定，其中S=，A ，B，C，和是一般的集合运算；又有，这里T = 1，2，5，10，且对于a，bT 有a b = lcma，b(最小公倍数)，a b = gcda ，b(最大公约数) ，表12.3.3至表12.3.6给出四个 运算表。试说明. 表12.3.3表12.3.4 表12.3.5表12.3.6 A B C A B C AA A C C BB C B C C C C C C A B C A A A B B B C A B C 1 25 1 0 1 1 25 1 0 222 1 0 1 0 55 1 0 5 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 25 1 0 1 1 111 21212 51155 1 0 125 1 0 解：令fTS：f()=1，f(A)=2，f(B)=5， f(C)=10。显然，f是从S到T的双射。经验证，对 任意x1, x2S，又有 f(x1x2)=f(x1) f(x2) f(x1x2)=f(x1) f(x2) 故与是同构的。 同构是一个关系，而且可以证明它是个等价 关系，对此有如下定理： 定理12.3.3 代数结构间的同构关系是等价关 系。 证明 显然，因为恒等映射是 同构映射。又若且f为其同构映射， 则f-1为从到的同构映射。因此，。再令及，则。这里因为若f为到 的同构映射，g为到的同构映 射，则gf为从到的同构映射。可见 同构关系满足自反性、对称性和传递性。因此，同 构关系是等价关系。 由于同构关系是等价关系，故令所有的代数 结构构成一个集合S，于是可按同构关系将其分类 ，得到商集S/ 。因为同构的代数结构具有相同 的性质，故实际上代数结构所需要研究的总体并 不是S而是S/ 。 在同态与同构中有一个特例，即具有相同集 合的任两个代数结构的同态与同构，这便是自同 态与自同构。 定义12.3.4 给定及fSS。 f为自同态映射:=f为从到的同 态映射。 f为自同构映射:=f为从到的同 构映射。 例12.3.7 在例12.3.4中，当k 0时，f = kx是 从到的自同态映射；当k = 1或k = - 1时，f = kx是从到的自同构映射。 12.4 同余关系 本节主要阐明同态与同余关系之间的联系。 主要内容如下： 定义12.4.1 给定，且E为S中的等价 关系。 E有代换性质 :=(x1)(x2)(y1)(y2)(x1,x2,y1,y2Sx1Ex2 y1Ey2)(x1y1)E(x2y2)。 E为中的同余关系:=E有代换性质。 与此同时，称同余关系E的等价类为同余类。 由定义可知，同余关系是代数结构的集合中 的一类特殊的等价关系，并且在运算的作用下， 能够保持关系的等价类。即在x1y1中，如果用集 合S中的与x1等价的任何其它元素x2代换x1，并且 用与y1等价的任何其它元素y2代换y1，则所求的结 果x2y2与x1y1位于同一等价类之中。 亦即若x1E=x2E并且y1E=y2E，则 x1y1E=x2y2E。 此外，同余关系与运算密切相关。如果一 个代数结构中有多个运算，则需要考察等价关 系对于所有这些运算是否都有代换性质。如果 有，则说该代数结构存在同余关系；否则，同 余关系不存在。 x1E x1 x2 x1y1E x1y1 x2y2 y1E y1 y2 同余关系示意图 例12.4.1 给定，其中Z是整数集合，+ 和是一般加、乘法。假设Z中的关系R定义如下： i1Ri2:=|i1|=|i2|，其中i1、i2Z 试问，R为该结构的同余关系吗？ 解 显然，R为Z中的等价关系。接着先考察R 对于+运算的代换性质： 若取i1,-i1,i2Z ，则有|i1|=|-i1|和|i2|=|i2|，于是 ，下式 (i1R(-i1)(i2Ri2)(i1+i2)R(-i1+i2) 不真。这是因为前件为真，后件为假。故R 对于+运算不具有代换性质。 至此可以说，R不是该结构的同余关系。但 为了熟悉验证一个关系是否为同余关系，还是来 考察R对于的代换性质。 令i1,i2,j1,j2Z且i1Ri2和j1Rj2。于是，对任意 i1,i2,j1,j2都有： (i1Ri2)和(j1Rj2)(i1j1)R(i2j2) 因此，E对于具有代换性质。 可见，考察一个等价关系E对于有多个运算 的代数结构是否为同余关系，这里有个次序先后 问题，选择得好，马上就考察到了E对某个运算 是不具有代换性质，那么便可立刻断定E不是该 结构的同余关系，否则验证