浙江专版高考数学第8章平面解析几何第9节直线与圆锥曲线的位置关系教师用书.docx

第九节直线与圆锥曲线的位置关系1直线与圆锥曲线的位置关系设直线l：AxByC0，圆锥曲线C：F(x，y)0，由消去y得到关于x的方程ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线l与圆锥曲线C有2个公共点；0直线l与圆锥曲线C有1个公共点；0直线l与圆锥曲线C有0个公共点(2)当a0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个2圆锥曲线的弦长公式设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点()(3)过抛物线y22px(p0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.()(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点()解析(1)对椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切(2)错当直线l与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切(3)对可转化为到准线的距离来证明(3)正确(4)错当直线l为对称轴时，l与抛物线有一个交点答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)直线yk(x1)1与椭圆1的位置关系是()A相交B相切C相离D不确定A直线yk(x1)1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交3已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3B6C9D12B抛物线y28x的焦点为(2,0)，椭圆中c2，又，a4，b2a2c212，从而椭圆方程为1.抛物线y28x的准线为x2，xAxB2，将xA2代入椭圆方程可得|yA|3，由图象可知|AB|2|yA|6.故选B.4已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y22x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为_. 【导学号：51062308】xy10依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y2x1，y2x2，两式相减得yy2(x1x2)，即1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y1x2，即xy10.5(2017杭州质检)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_设P(x，y)(x1)，因为直线xy10平行于渐近线xy0，所以c的最大值为直线xy10与渐近线xy0之间的距离，由两平行线间的距离公式知，该距离为.直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1,0)，且点P(0,1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程解(1)椭圆C1的左焦点为F1(1,0)，所以c1，2分又点P(0,1)在曲线C1上，所以1，得b1，则a2b2c22，所以椭圆C1的方程为y21.6分(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为ykxm，由8分消去y得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0，整理得2k2m210.12分由消去y得k2x2(2km4)xm20.因为直线l与抛物线C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1.综合，解得或14分所以直线l的方程为yx或yx.15分规律方法1.判定直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x(或y)，判定该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点但应注意两点：(1)消元后需要讨论含x2(或y2)项的系数是否为0；(2)重视“判别式”起的限制作用2对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程变式训练1如图891，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0)图891(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)当p1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标解(1)抛物线C：y22px(p0)的焦点为.2分由点在直线l：xy20上，得020，即p4.所以抛物线C的方程为y28x.6分(2)当p1时，曲线C：y22x.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0).8分因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.由消去x，得y22y2b0.(*)12分因为P和Q是抛物线l的两相异点，则y1y2.从而441(2b)8b40.(*)因此y1y22，所以y01.又M(x0，y0)在直线l上，所以x01.所以点M(1，1)，此时b0满足(*)式故线段PQ的中点M的坐标为(1，1).15分直线与圆锥曲线中弦长问题(2017浙江镇海中学模拟)如图892，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点F(1,0)，且已知直线l的方程为x2.图892(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|2|AB|，求直线AB的方程解(1)由题意且c1，知a，则b1，3分所以椭圆的标准方程为y21.5分(2)当ABx轴时，AB，又CP3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，8分将AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1,2，C的坐标为，且AB.10分若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而k0，故直线PC的方程为y，则P点的坐标为，从而PC.13分因为PC2AB，所以，解得k1.此时直线AB方程为yx1或yx1.15分规律方法1.求弦长时可利用弦长公式，由直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解2当涉及过焦点的弦的问题，可灵活利用圆锥曲线的定义求解变式训练2设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若8，求k的值. 【导学号：51062309】解(1)设F(c,0)，由，知ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc，代入椭圆方程有1，解得y，于是，解得b.3分又a2c2b2，从而a，c1，所以椭圆的方程为1.6分(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1)，7分由方程组消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由于48k2480恒成立，则x1x2，x1x2.9分因为A(，0)，B(，0)，所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.12分由已知得68，解得k.15分有关弦的中点问题椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点若AB2，O为坐标原点，OC的斜率为，求椭圆的方程解由得(ab)x22bxb10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，3分依题意得axby1，且axby1，两式相减，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，5分又1，kOC，代入上式可得ba.8分再由|AB|x2x1|x2x1|2，得(x1x2)24x1x24，其中x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，故244，12分将ba代入得a，b.所求椭圆的方程是1.15分规律方法涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出kAB和x1x2，y1y2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想变式训练3已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_x2y80设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)则1，且1，两式相减得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.思想与方法1直线与圆锥曲线的位置关系，弦长计算，定点、最值问题很好地渗透函数与方程思想和数形结合思想，是考查数学思想方法的热点题型2涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)3涉及弦中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化易错与防范1直线与圆锥曲线有一个公共点，易误认为直线与曲线一定相切，也可能是直线与双曲线，直线与抛物线相交于一点2“点差法”具有不等价性，要考虑判别式“”是否为正数3涉及定点、定值问题，切忌“特殊代替一般”，盲目简单化课时分层训练(五十一)直线与圆锥曲线的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1B2C1或2D0A因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点2已知直线y2(x1)与抛物线C：y24x交于A，B两点，点M(1，m)，若0，则m()A.B.C.D0B由得A(2,2)，B.又M(1，m)且0，2m22m10，解得m.3(2017绍兴模拟)椭圆ax2by21与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为() 【导学号：51062310】A.B.C.D.A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB中点M(x0，y0)由题设kOM.由得.又1，所以.4已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1D由题意知点(2，)在渐近线yx上，所以，又因为抛物线的准线为x，所以c，故a2b27，所以a2，b.故双曲线的方程为1.5已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1B.1C.1D.1A因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中点的横坐标为1，即a22b2.又a2b2c2，所以bc3，a3，所以E的方程为1.二、填空题6已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为_16直线l的方程为yx1，由得y214y10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y214，|AB|y1y2p14216.7设双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为_. 【导学号：51062311】双曲线1的一条渐近线为yx，由方程组消去y，得x2x10有唯一解，所以240，2，e.8已知椭圆1(0bb0)，由题意得b，3分解得a2，c1.故椭圆C的标准方程为1.6分(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为yk(x2)1(k0)由8分得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆C相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0，整理，得96(2k1)0，解得k.所以直线l的方程为y(x2)1x2.13分将k代入式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.15分10已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线ykx1与曲线C交于A，B两点，求OAB面积的取值范围. 【导学号：51062312】解(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由条件可得a2，c，b1，故椭圆C的方程x21.5分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2.9分设OAB的面积为S，由x1x20，yt在t3，)上单调递增，t，00)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D1C如图所示，设P(x0，y0)(y00)，则y2px0，即x0.设M(x，y)，由2，得化简可得直线OM的斜率为k(当且仅当y0p时取等号)2(2017衢州质检)过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_2如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去)故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2.3如图893已知椭圆1(ab0)