2016_2017学年高中数学1.3.2.2正切函数的图象与性质学案新人教B版必修.docx

正切函数的图象与性质1.能画出ytan x的图象，借助图象理解正切函数在区间上的性质.2.掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图象与性质解决综合问题.(重点、难点)基础初探教材整理1正切函数的图象阅读教材P54P55“第三行”内容，完成下列问题.1.正切函数的图象：ytan x的图象，图1362.正切函数的图象叫做正切曲线.3.正切函数的图象特征：正切曲线是由通过点(kZ)且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心.()(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是xk，kZ.()(4)正切函数在某个区间上是减函数.()【解析】由正切函数图象可知(1)(2)(3)(4).【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2正切函数的性质阅读教材P55“第四行”P56内容，完成下列问题.1.函数ytan x的图象与性质表：解析式ytan x图象定义域 值域R周期奇偶性奇单调性在开区间kZ内都是增函数2.函数ytan x(0)的最小正周期是.(1)ytan定义域为_.(2)(2016湄潭中学期末)函数ytan的单调增区间为_.【解析】(1)2xk，kZ，x，kZ.(2)令kxk，kZ，得kxk，即ytan的单调增区间为，kZ.【答案】(1)(2)，kZ质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_小组合作型正切函数的定义域、值域问题(1)函数ylg(1tan x)的定义域是_.(2)函数ytan(sin x)的值域为_.(3)求函数ytan2 x2tan x5，x的值域.【精彩点拨】求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.【自主解答】(1)要使函数ylg(1tan x)有意义，则即1tan x1.在上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为ytan x的周期为，所以所求x的定义域为.(2)因为1sin x1，且1,1，所以ytan x在1,1上是增函数，因此tan(1)tan xtan 1，即函数ytan(sin x)的值域为tan 1，tan 1.【答案】(1)(2)tan 1，tan 1(3)令ttan x，x，ttan x，)，yt22t5(t1)26，抛物线开口向下，对称轴为t1，t1时，取最大值6，t时，取最小值22，函数ytan2 x2tan x5，x时的值域为22，6.1.求正切函数定义域的方法及求值域的注意点：(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义即xk，kZ；(2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围.2.解正切不等式的两种方法：(1)图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；(2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.再练一题1.求函数y的定义域.【导学号：72010030】【解】根据题意，得解得(kZ).所以函数的定义域为(kZ).正切函数的奇偶性、周期性(1)函数y4tan的周期为_.(2)判断下列函数的奇偶性：f (x)；f (x)tantan.【精彩点拨】(1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图象来求.(2)可按定义法的步骤判断.【自主解答】(1)由于3，故函数的周期为T.【答案】(2)由得f (x)的定义域为，不关于原点对称，所以函数f (x)既不是偶函数，也不是奇函数.函数定义域为，关于原点对称，又f (x)tantantantanf (x)，所以函数是奇函数.1.函数f (x)Atan(x)周期的求解方法：(1)定义法.(2)公式法：对于函数f (x)Atan(x)的最小正周期T.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现.2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (x)与f (x)的关系.再练一题2.(1)求f (x)tan的周期；(2)判断ysin xtan x的奇偶性.【解】(1)tantan，即tantan，f (x)tan的周期是.(2)定义域为，关于原点对称，f (x)sin(x)tan(x)sin xtan xf (x)，函数是奇函数.探究共研型正切函数的单调性探究1正切函数ytan x在其定义域内是否为增函数？【提示】不是.正切函数的图象被直线xk(kZ)隔开，所以它的单调区间只在(kZ)内，而不能说它在定义域内是增函数.假设x1，x2，x1x2，但tan x1tan x2.探究2正切函数ytan x在上是增函数成立吗？【提示】不成立.因为正切函数ytan x的单调性是针对某一区间的，不能用区间“”表示，设x1，x2，虽有x1tan x2.探究3正切函数的定义域能写成，(kZ)吗？为什么？【提示】不能.因为正切函数的定义域是，它表示x是不等于k(kZ)的全体实数，而(kZ)只表示k取某个整数时的一个区间，而不是所有区间的并集.(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小.【精彩点拨】解答本题(1)可先令ytan，从而把x整体代入，kZ这个区间内解出x便可.解答本题(2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，最后利用ytan x在上的单调性判断大小关系.【自主解答】(1)ytantan，由kxk(kZ)，得2kx2k，(kZ)，函数ytan的单调递减区间是(kZ).(2)tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，又2，20，3，30，显然231，且ytan x在内是增函数，tan(2)tan(3)tan 1，即tan 2tan 3tan 1.求yAtan(x)的单调区间，可先用诱导公式把化为正值，由kxk求得x的范围即可.比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内.再练一题3.(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小.【解】(1)ytan单调区间为(kZ)，k2xk(kZ)，x，kZ，函数ytan的单调递增区间为kZ.(2)由于tantantan tan ，tantantan ，又0，而ytan x在上单调递增，所以tan tan ，即tantan.构建体系1.函数ytan x的值域是()A.1,1B.1,0)(0,1C.(，1 D.1，)【解析】根据函数的单调性可得.【答案】B2.函数f (x)tan的定义域是_，f _.【解析】由题意知xk(kZ)，即xk(kZ).故定义域为，且f tan.【答案】3.函数ytan x的单调递减区间是_.【解析】因为ytan x与ytan x的单调性相反，所以ytan x的单调递减区间为(kZ).【答案】(kZ)4.函数y|tan x|的周期为_.【解析】作出y|tan x|的图象，如图所示.由图可知，函数y|tan x|的最小正周期是.【答案】5.求下列函数的定义域：(1)y；(2)ylg(tan x).【导学号：72010031】【解】(1)要使函数y有意义，需使所以函数的定义域为.(2)因为tan x0，所以tan x.又因为tan x时，xk(kZ)，根据正切函数图象(图略)，得kxk(kZ)，所以函数的定义域是.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.f (x)tan的单调区间是()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ【解析】令kxk，kZ，解得kx0)的图象上的相邻两支曲线截直线y1所得的线段长为，则的值是()A.1B.2C.4 D.8【解析】由题意可得f (x)的周期为，则，4.【答案】C3.函数ytan图象的对称中心为()【导学号：72010032】A.(0,0) B.C.，kZ D.，kZ【解析】由函数ytan x的对称中心为，kZ，令3x，kZ，则x(kZ)，ytan对称中心为，kZ.故选D.【答案】D4.(2016鹤岗一中期末)若直线x(1k1)与函数ytan的图象不相交，则k()A. B.C.或 D.或【解析】由题意得2m，mZ，km，mZ.由于1k1，所以k或.故选C.【答案】C5.(2016遵义四中期末)在下列给出的函数中，以为周期且在内是增函数的是()A.ysin B.ycos 2xC.ysin D.ytan【解析】由函数周期为可排除A.x时，2x(0，)，2x，此时B，C中函数均不是增函数.故选D.【答案】D二、填空题6.(2016南通高一检测)f (x)asin xbtan x1，满足f (5)7，则f (5)_.【解析】f (5)asin 5btan 517，asin 5btan 56，f (5)asin(5)btan(5)1(asin 5btan 5)1615.【答案】57.已知函数ytan x在内是减函数，则的取值范围为_.【解析】由题意可知0，又，故10.【答案】1|tan x|tan x，其定义域为，关于原点对称，又f (x)f (x)lg(tan x)lg(tan x)lg 10，f (x)为奇函数，故选A.【答案】A2.函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间内的图象是图137中的_.图137【解析】函数ytan xsin x|tan xsin x|【答案】3.已知函数f (x)Atan(x)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，3)