《样本空间的标准化》PPT课件.ppt

信息与通信工程中的随机过程教学课件 第3讲 样本空间的标准化 陈 明 制作 东南大学信息科学与工程学院 *1 信息与通信工程中的随机过程第2 讲 对应课本内容 附录A 2.1 样本空间的标准化 Date2信息与通信工程中的随机过程第2讲 学习要点 l可数集合和不可数集合 l常见的泛函空间（距离空间、线性空间 、赋范线性空间、内积空间） l样本空间的标准化 l广义函数及其广义导数 Date3信息与通信工程中的随机过程第2讲 集合映射 Date4信息与通信工程中的随机过程第2讲 集合间元素个数的比较 l显然，当两个集合能建立双射关系，则 可以认为这两个集合具有“相同数目”的元 素，否则可以认为其所包含的元素的个 数不等。 l特别，当人们面对无穷多个元素组成的 集合的时候，这个准则显得非常重要。 因为对于无穷集合，部分小于全体的概 念不再成立。 Date5信息与通信工程中的随机过程第2讲 可数集合和不可数集合 Date6信息与通信工程中的随机过程第2讲 例子 Date7信息与通信工程中的随机过程第2讲 例子 Date8信息与通信工程中的随机过程第2讲 距离空间 l距离空间只有几何结构（拓扑结构），没有代 数结构 l几何结构：元素间的位置（排序）关系 l代数结构：元素间的运算关系 Date9信息与通信工程中的随机过程第2讲 距离空间之例1 Date10信息与通信工程中的随机过程第2讲 距离空间之例2 Date11信息与通信工程中的随机过程第2讲 距离空间之例3 Date12信息与通信工程中的随机过程第2讲 线性空间的定义 Date13信息与通信工程中的随机过程第2讲 线性空间的例子 Date14信息与通信工程中的随机过程第2讲 赋范线性空间 赋范线性空间既有几何结构，又有代数结构 Date15信息与通信工程中的随机过程第2讲 赋范线性空间的例子 Date16信息与通信工程中的随机过程第2讲 内积空间的定义 内积空间既有几何结构，又有代数结构 Date17信息与通信工程中的随机过程第2讲 内积空间的例子 Date18信息与通信工程中的随机过程第2讲 对样本空间赋予几何和代数结构 Date19信息与通信工程中的随机过程第2讲 例子 Date20信息与通信工程中的随机过程第2讲 例子 Date21信息与通信工程中的随机过程第2讲 随机对象 l当一个概率空间的样本空间被标准化为一个线 性空间之后，这个概率空间就称为随机对象。 Date22信息与通信工程中的随机过程第2讲 随机变量的例子 Date23信息与通信工程中的随机过程第2讲 随机向量的例子 Date24信息与通信工程中的随机过程第2讲 随机过程的例子 Date25信息与通信工程中的随机过程第2讲 随机矩阵的例子 Date26信息与通信工程中的随机过程第2讲 样本空间标准化为两类空间 Date27信息与通信工程中的随机过程第2讲 标准化之后的好处 Date28信息与通信工程中的随机过程第2讲 概率空间的“质点分布模型” Date29信息与通信工程中的随机过程第2讲 概率集函数的转化 Date30信息与通信工程中的随机过程第2讲 可数情形 l如果样本空间是可数的，其概率分布情况就好 像若干个离散的质点分布在样本点所在的位置 上，这些质点的总质量为1，每个质点的质量 等于该样本点的概率。 l此时，可以在该样本空间上定义一个所谓的概 率质量函数，该函数将每一个样本点的坐标和 该样本点所对应的单点事件的概率建立对应。 用概率质量函数可以清楚地描述概率在可数样 本空间上的分布特性。 Date31信息与通信工程中的随机过程第2讲 不可数情形 l如果样本空间不可数，其概率分布情况就好像总质量 为1的质点连续分布在样本空间所在的空间区域内，在 这种情况下，单个质点的质量可以为0，但一个小区域 内不可数个质点的总质量不为0，也即单点事件的概率 可以为零，而不可数个这样的单点事件之并的概率则 并不为零，所以此时无法用概率质量函数描述其概率 特性。但是可以用概率密度函数或者概率分布函数来 表征样本空间的概率特性，所谓概率密度函数就是定 义在样本空间之上的一个函数，该函数将样本点的坐 标和该样本点所对应的单点事件的“概率密度”建立对 应。 Date32信息与通信工程中的随机过程第2讲 结论 Date33信息与通信工程中的随机过程第2讲 广义函数的原始例子 这和传统函数的概念有出入 Date34信息与通信工程中的随机过程第2讲 广义函数的定义 l在一些点上函数的取值为无穷大，这些 无穷大值的“单点积分”有限； l无穷大值的单点积分：实际上是由类似 于delta的极限方式取得。 Date35信息与通信工程中的随机过程第2讲 泛函的定义 Date36信息与通信工程中的随机过程第2讲 函数的支集 Date37信息与通信工程中的随机过程第2讲 广义函数的泛函定义 Date38信息与通信工程中的随机过程第2讲 Delta函数的泛函定义 Date39信息与通信工程中的随机过程第2讲 广义导数的定义 一阶广义导数的定义： Date40信息与通信工程中的随机过程第2讲 Heavyside函数（单位阶跃函数 ）的广义导数 Date41信息与通信工程中的随机过程第2讲 Delta函数的导数 Date42信息与通信工程中的随机过程第2讲 第3讲小结 l用双射定义可数集合和不可数集合 l常见的泛函空间有距离空间、线性空间、赋范线性空 间、内积空间 l样本空间的标准化：赋予样本空间以几何与代数结构 之后，概率空间就转化为质点在空间分布的质点分布 模型，用概率密度函数等可以描述概率分布 l随机对象是样本空间为线性空间的概率空