河南省驻马店市高三上期末数学试卷理科解析.doc

2015-2016学年河南省驻马店市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1已知集合，B=y|y=2x+1，xR，则R（AB）=（）A（，1B（，1）C（0，1D0，12已知复数z1=i，则下列命题中错误的是（）Az12=z2B|z1|=|z2|Cz13z23=1Dzl、z2互为共轭复数3某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）AB4C2D4已知等比数列an，bn的公比分别为q1，q2，则q1=q2是an+bn为等比数列的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）ABCD6平面直角坐标系中，点（3，t）和（2t，4）分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角，+45的终边上，则t的值为（）A6或1B6或1C6D17已知实数x，y满足，则z=的取值范围是（）A0，B，2）C，D，+）8将函数f（x）=sin2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，有|x1x2|min=，则=（）ABCD9已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐进线与圆x2+y26y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）ABCD10有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（）A12B24C36D4811四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直， =2，则该四面体体积的最大值为（）ABC2D712若曲线C1：y=ax2（a0）与曲线C2：y=ex存在公共切线，则a的取值范围为（）ABC，+）D二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于14如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3， =2，则的值是15已知f（x）=lgx，则f（x）的最小值为16数列an的通项an=n2（cos2sin2），其前n项和为Sn，则S30为三、解答题（6小题，70分）17如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角（）证明：tan；（）若A+C=180，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值18某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标70，76）76，82）82，88）88，94）94，100芯片甲81240328芯片乙71840296（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率19如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A底面ABCD，四边形ABCD为梯形，ADBC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为，BB1与的交点为Q（）证明：Q为BB1的中点；（）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，ADC=60，求平面与底面ABCD所成锐二面角的大小20已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为，求面积S的值21设函数f （x）=（x+1）lnxa （x1）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2e）（1）求a的值；（2）函数f （x）能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由（3）当1x2时，试比较与大小选做题（请在22、23、24三题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分）几何证明选讲22已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作ADCD于D，交半圆于点E，DE=1（）求证：AC平分BAD；（）求BC的长坐标系与参数方程23在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=（）求圆C的极坐标方程；（）若0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围不等式选讲24函数f（x）=（）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（）设B=x|1x2，当实数a，bB（RA）时，求证：|1+|2015-2016学年河南省驻马店市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1已知集合，B=y|y=2x+1，xR，则R（AB）=（）A（，1B（，1）C（0，1D0，1【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，求出A与B的解集，进而确定交集的补角即可【解答】解：由A中不等式变形得：x（x1）0，且x10，解得：x0或x1，即A=（，0（1，+），由B中y=2x+11，即B=（1，+），AB=（1，+），则R（AB）=（，1，故选：A2已知复数z1=i，则下列命题中错误的是（）Az12=z2B|z1|=|z2|Cz13z23=1Dzl、z2互为共轭复数【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】复数z1=i，可得=z2，|z1|=|z2|， =0即可判断出【解答】解：复数z1=i，=z2，|z1|=|z2|，因此A，B，D正确对于C： =0故选：C3某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）AB4C2D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC底面ABC，PD交线BC，AEBC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2据此即可计算出其体积【解答】解：由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC底面ABC，PD交线BC，AEBC，且AE=3，PD=2，CD=3，DB=1，CE=EB=2VPABC=4故选B4已知等比数列an，bn的公比分别为q1，q2，则q1=q2是an+bn为等比数列的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用等比数列的定义通项公式、充要条件的判定即可得出【解答】解：等比数列an，bn的公比分别为q1，q2，则q1=q2=q=q，因此an+bn为等比数列；反之也成立，设an+bn是公比为q等比数列，则an+bn=， +=，对于nN*恒成立，q1=q2=qq1=q2是an+bn为等比数列的充要条件故选：C5执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）ABCD【考点】程序框图【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0+1=1，k=1+1=2；判断k10不成立，执行S=1+，k=2+1=3；判断k10不成立，执行S=1+，k=3+1=4；判断k10不成立，执行S=1+，k=4+1=5；判断i10不成立，执行S=，k=10+1=11；判断i10成立，输出S=算法结束故选B6平面直角坐标系中，点（3，t）和（2t，4）分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角，+45的终边上，则t的值为（）A6或1B6或1C6D1【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义【分析】根据任意角的三角函数定义分别求出tan和tan（+45），然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值得到一个关于t的方程，求出t的值，然后利用和+45是始边为x轴的非负半轴的角，得到满足题意t的值即可【解答】解：由题意得tan=，tan（+45）=而tan（+45）=，化简得：t2+5t6=0即（t1）（t+6）=0，解得t=1，t=6因为点（3，t）和（2t，4）分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角，+45的终边上，所以t=6舍去则t的值为1故选D7已知实数x，y满足，则z=的取值范围是（）A0，B，2）C，D，+）【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化z=1+，由其几何意义（动点与定点连线的斜率）得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（1，0）z=，的几何意义为可行域内的动点与定点P（1，1）连线的斜率，z的取值范围为，+）故选：D8将函数f（x）=sin2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，有|x1x2|min=，则=（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为，函数的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（22）=1，此时=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（22）=1，此时=，满足题意故选：D9已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐进线与圆x2+y26y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线y=x与圆x2+y26y+3=0相切圆心（0，3）到渐近线的距离等于半径r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出【解答】解：取双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线y=x，即bxay=0由圆x2+y26y+3=0化为x2+（y3）2=6圆心（0，3），半径r=渐近线与圆x2+y26y+3=0相切，=化为a2=2b2该双曲线的离心率e=故选：C10有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（）A12B24C36D48【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】由题设中的条件知，可以先把黄1与黄2必须相邻，可先将两者绑定，又白1与白2不相邻，可把黄1与黄2看作是一盆菊花，与白1白2之外的菊花作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将白1白2菊花插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可【解答】解：由题意，第一步将黄1与黄2绑定，两者的站法有2种，第二步将此两菊花看作一个整体，与除白1，白2之外的一菊花看作两个元素做一个全排列有A22种站法，此时隔开了三个空，第三步将白1，白2两菊花插入三个空，排法种数为A32则不同的排法种数为2A22A32=226=24故选B11四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直， =2，则该四面体体积的最大值为（）ABC2D7【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算【分析】由题意， =c=c2=2，进而可得a2+b2=142ab，即可求出四面体体积的最大值【解答】解：由题意， =c=c2=2，a2+b2+c2=16，a2+b2=142ab，ab7，=，四面体体积的最大值为，故选：A12若曲线C1：y=ax2（a0）与曲线C2：y=ex存在公共切线，则a的取值范围为（）ABC，+）D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点求得a的范围【解答】解：由y=ax2（a0），得y=2ax，由y=ex，得y=ex，曲线C1：y=ax2（a0）与曲线C2：y=ex存在公共切线，则设公切线与曲线C1切于点（），与曲线C2切于点（），则，将代入，可得2x2=x1+2，a=，记，则，当x（0，2）时，f（x）0当x=2时，a的范围是）故选：C二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于【考点】定积分的简单应用；几何概型【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答【解答】解：由已知，矩形的面积为4（21）=4，阴影部分的面积为=（4x）|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：14如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3， =2，则的值是22【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算【分析】由=3，可得=+， =，进而由AB=8，AD=5， =3， =2，构造方程，进而可得答案【解答】解：=3，=+， =，又AB=8，AD=5，=（+）（）=|2|2=2512=2，故=22，故答案为：2215已知f（x）=lgx，则f（x）的最小值为lg2【考点】函数的最值及其几何意义【分析】化简f（x）=lgx=lg=lg（10x+10x），从而利用基本不等式求最值【解答】解：f（x）=lgx=lg=lg（10x+10x）lg2，（当且仅当x=0时，等号成立）；故答案为：lg216数列an的通项an=n2（cos2sin2），其前n项和为Sn，则S30为470【考点】数列的求和【分析】利用二倍角公式对已知化简可得，an=n2（cos2sin2）=n2cos，然后代入到求和公式中可得， +32cos2+302cos20，求出 特殊角的三角函数值之后，利用平方差公式分组求和即可求解【解答】解：an=n2（cos2sin2）=n2cos+32cos2+302cos20=+= 1+22232）+（42+52622）+= （1232）+（4262）+（2232）+（5262）+= 2（4+10+16+58）（5+11+17+59）= 2=470故答案为：470三、解答题（6小题，70分）17如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角（）证明：tan；（）若A+C=180，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值【考点】三角函数恒等式的证明【分析】（）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可（）通过A+C=180，得C=180A，D=180B，利用（）化简tan+tan+tan+tan=，连结BD，在ABD中，利用余弦定理求出sinA，连结AC，求出sinB，然后求解即可【解答】证明：（）tan=等式成立（）由A+C=180，得C=180A，D=180B，由（）可知：tan+tan+tan+tan=，连结BD，在ABD中，有BD2=AB2+AD22ABADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，在BCD中，有BD2=BC2+CD22BCCDcosC，所以AB2+AD22ABADcosA=BC2+CD22BCCDcosC，则：cosA=于是sinA=，连结AC，同理可得：cosB=，于是sinB=所以tan+tan+tan+tan=18某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标70，76）76，82）82，88）88，94）94，100芯片甲81240328芯片乙71840296（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率【分析】（）分布求出甲乙芯片合格品的频数，然后代入等可能事件的概率即可求解（）（）先判断随机变量X的所有取值情况有90，45，30，15，然后分布求解出每种情况下的概率，即可求解分布列及期望值（）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5n件由题意，得 50n10（5n）140，解不等式可求n，然后利用独立事件恰好发生k次的概率公式即可求解【解答】解：（）芯片甲为合格品的概率约为，芯片乙为合格品的概率约为 （）（）随机变量X的所有取值为90，45，30，15.；所以，随机变量X的分布列为：X90453015P （）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5n件依题意，得 50n10（5n）140，解得所以 n=4，或n=5设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，则 19如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A底面ABCD，四边形ABCD为梯形，ADBC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为，BB1与的交点为Q（）证明：Q为BB1的中点；（）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，ADC=60，求平面与底面ABCD所成锐二面角的大小【考点】二面角的平面角及求法【分析】（1）由已知得平面QBC平面A1AD，从而QCA1D，由此能证明Q为BB1的中点（2）法一：在ADC中，作AEDC，垂足为E，连接A1E，AEA1为平面与底面ABCD所成二面角的平面角，由此求出平面与底面ABCD所成二面角的大小（3）法二：以D为原点，DA，DD1分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出平面与底面ABCD所成二面角的大小【解答】（1）证明：BQAA1，BCAD，BCBQ=B，ADAA1=A，平面QBC平面A1AD，平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QCA1DQBC与A1AD的对应边相互平行，QBCA1AD，Q为BB1的中点（2）解法一：如图1所示，在ADC中，作AEDC，垂足为E，连接A1E又DEAA1，且AA1AE=A，所以DE平面AEA1，所以DEA1E所以AEA1为平面与底面ABCD所成二面角的平面角因为BCAD，AD=2BC，所以SADC=2SBCA又因为梯形ABCD的面积为6，DC=2，所以SADC=4，AE=4于是tanAEA1=1，AEA1=故平面与底面ABCD所成二面角的大小为（3）解法二：如图2所示，以D为原点，DA，DD1分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系设CDA=，BC=a，则AD=2a因为S四边形ABCD=2sin60=6，所以a=从而可得C（1，0），A1（，0，4），所以DC=（1，0），=（，0，4）设平面A1DC的法向量=（x，y，1），由，得，所以=（，1）又因为平面ABCD的法向量=（0，0，1），所以cos，=，故平面与底面ABCD所成二面角的大小为20已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为，求面积S的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=2|x1y2x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，可得直线l1与l2的方程，联立方程组，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d=，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2x2y1|=方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=，所以x1x2=2y1y2，=4=2x1x2y1y2，A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，（）（）=+4+2（+）=1，即4x1x2y1y2+2（+）=1，所以（x1y2x2y1）2=，即|x1y2x2y1|=，所以S=2|x1y2x2y1|=21设函数f （x）=（x+1）lnxa （x1）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2e）（1）求a的值；（2）函数f （x）能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由（3）当1x2时，试比较与大小【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，运用两点的斜率公式，计算化简即可得到a=2；（2）函数f （x）不能在x=1处取得极值求出导数，讨论x1，0x1函数的单调性，即可得到结论；（3）当1x2时，运用函数的单调性和不等式的性质，即可得到结论【解答】解：（1）f（x）=lnx+1a，依题设得=f（e），即e+1a（e1）（2e）=e，解得a=2；（2）函数f （x）不能在x=1处取得极值因为f（x）=lnx+1，记g（x）=ln x+1，则g（x）=当x1时，g（x）0，所以g（x）在（1，+）是增函数，所以g（x）g（1）=0，所以f（x）0；当0x1时，g（x）0，所以g（x）在（0，1）是减函数，所以g（x）g（1）=0，即有f（x）0由得f （x）在（0，+）上是增函数，所以x=1不是函数f （x）极值点（3）当1x2时，证明如下：由（2）得f （x）在（1，+）为增函数，所以当x1时，f（x）f （1）=0即（x+1）lnx2（x1），所以因为1x2，所以02x1，1，所以=，即+得+=选做题（请在22、23、24三题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分）几何证明选讲22已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作ADCD于D，交半圆于点E，DE=1（）求证：AC平分BAD；（）求BC的长【考点】圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定【分析】（）连接OC，因为OA=OC，所以OAC=OCA，再证明OCAD，即