《理论力学》第七章点的合成运动.ppt

HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 点的合成运动 第七章 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 直升飞机螺旋桨端P点，其运动可以分解为：“随螺旋桨一 起相对飞机机身的运动”和“随机身一起在空中的移动”。 7-1 合成运动的概念 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 单旋翼式直升飞机 在 地面 上看，M 点作螺旋线运动。 在 飞机 上看，M 点 作圆周运动； 机身相对地面直线平移 o y x z y x z o HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 一点、二系、三运动 相对运动 牵连运动 点点 刚刚 体体 绝对运动是由相对运动和牵连运动合成的 ，所以亦称为合成运动。 动 点 动 系静 系 Oxyz O xyz 绝对运动 (合成运动) HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 静坐标系 动坐标系 建立在固定参考物上的坐标系，简称静系( K） 。 建立在相对静系有运动的物体上的 坐标系，简称动系（K） 。 注意 1、绝对运动和相对运动是点的运动（ 直线或曲线）用点的运动学来分析和描述 2、牵连运动是刚体的运动（平动或定 轴转动）用刚体的运动学来分析和描述 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 一点两系三运动 牵连点 A M A M 例 直杆 OA 在竖直面内绕 O 点转动，套筒 M 沿直杆 滑动，试分析套筒的合成运动。 O HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS M x y x y O 动点： 静系： 动系： 套筒M 地球oxy 沿直杆OA的 动坐标系Ox ，固结在直杆 上 一点两系三运动 牵连点 A HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 相对运动：套筒M（动点）相对运动的 轨迹为沿ox轴的直线运动 x HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 牵连运动：定轴转动 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS A 在t1瞬时滑块M位于圆 盘上的A点，它的牵连 速度ve1和牵连加速度ae1 等于该瞬时A点的速度 和加速度。 x 设此时圆盘的角速度为 1，角加速度为a1，则 Ve1 、 ae1的方向看图 ve 牵连运动： 定轴转动 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 绝对运动：曲线运动 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 假设初始时刻A点在o处， 槽与x轴重合。 2、 动点相对oxy的运动方程 ，即相对运动，直线运动 例1： 图示刻有直槽的圆盘绕水平轴O以匀速转动 ，同时一小球A以匀速u 相对直槽运动，若以A为动点 ，地面为静系，圆盘为动系，试分析三种运动，并列 出相应的运动方程。 解： 绝对运动：平面曲线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 转轮 A o x y o y u x 1、建立坐标系 动坐标建在槽内、静坐标为地球 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 4. 圆盘相对oxy的运动方程 ，牵连运动（ oxy 相对 oxy 的运动为转动） 3. 动点相对oxy的运动方程 ，即绝对运动，曲线运动 转轮 A o x y o y u x HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 例 具有圆弧形导杆的曲柄滑道机构，试分 析其合成运动。 解 ： 动点： 静系： 动系： 小 球 M 绝对运动： 牵连运动： 相对运动： 平 动 地 球 滑道ABD 圆周运动 圆周运动 O A B D M x y x y O HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 绝对位移： 7-2 点的速度合成定理 相对位移： 牵连位移： 速度合成定理 在任一瞬时，动点的绝对速度v等于牵连 速度ve与相对速度vr的矢量和。 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 相对运动绝对运动 牵连运动 动 点 动 系静 系 Oxyz O xyz 动点相对于静系的速度和加速度称为动点的 绝对速度和绝对加速度 动点相对于动系的速度和加速度称为动点的 相对速度和相对加速度 或 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 动点的牵连点：该瞬时动系上与动点的空间位 置重合的那一点 。 t O A ve ve aen ae M1 M2 1 t A 2 t OA tOA ve ve 瞬时动点位置 牵连点杆位置牵连速度 牵连加速度 ae ae 不同瞬时有 不同的牵连点！ M2 (2) ae aen M1 (1) 牵连点相对于定系（静 系）的速度和加速度称为动 点的牵连速度和牵连加速度 ,分别用 表示 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 注意 牵连速度和牵连加速度是指某瞬时动点 的牵连点相对静系的速度和加速度（即牵连点 的绝对速度和绝对加速度）牵连点并不是动系上 某一固定点，它是随时间变化的。除非动系作平 移，否则其上各点的运动都不完全相同。因此不 能把动点的牵连速度和牵连加速度笼统认为是动 系的速度和加速度。 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 在推导该定理过程中，对动系的运动未加 限制，因此该定理适用于牵连运动（刚体的 运动）是任何运动（平动或转动）的情况。 说明 这是一个平面矢量关系，有两个独立的 投影方程，可求解两个未知量。 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 例2： 曲柄长r，角速度，求夹角为时， 曲杆的速度。 A O C D 解： 1.确定动点动系 以OA杆上的A为动点，动系xoy 固定在曲杆CD上，静系xoy固定在地 面。 2.运动分析 绝对运动：（A点相对地面的）圆周运动 牵连运动 ： (xoy)随曲杆CD的直线平行移动 相对运动 ： A点相对（xAy）曲杆CD的直线运动 x x y o HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 例2： 曲柄长r，角速度，求夹角为时，曲杆的 速度。 A O C D 解： 3.速度合成 求得 方向 ： 大小： ？ ？ HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 例3： 运动员以恒定速度u在直线跑道上奔跑，一位摄影师 在距跑道h距离处用摄影机拍摄。问图示位置时，摄影机的 角速度应为多少才能跟上运动员？ h o 1.确定动点动系 以运动员为动点，动系固定在摄 影机上，静系固定在地面 2.运动分析 解： 3.速度合成 方向： 大小： ？ ？ 绝对运动： 水平直线运动 牵连运动 ： 定轴转动 相对运动 ： 在摄影机和运动员连线方向的直线运动 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 解题关键 ： 选取动点和动系 动点动系的选择遵循的原则： 动点动系不能选择在同一个运动的刚体上，即动 点和动系之间有相对运动 动点相对于动系的相对运动轨迹要直观、明确 （直线、圆或某一确定的曲线） 动系要有明确的运动（平动、定轴转动或其他 运动） HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 在简单的运动几个中，动系的选择是唯一的， 动点是两个物体的交点，该交点均非两物体的固 定的 当问题需要一个动点，两个动系的方法求解时， 则需选两个动系，动点选两个动系的交点 当机构的运动是由A、B两个构件靠接触传动时， 接触点称关联点，若关联点在A构件是固定的，在B 构件上是不固定的，则应取A构件上的点为动点，B 构件为动系 当机构的运动是由A、B两个构件靠接触传动时 ，若关联点并非A、B构件上的固定点，应选另一 个相对运动轨迹明显的点为动点 取静系上的固定点为动点，或取与静系铰接的 并可绕铰链中心转动的套筒为动点，沿固定杆滑 动的杆或穿过套筒的杆为动系 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 相对速度： 牵连速度： 相对加速度： 牵连加速度： 则绝对速度： 绝对加速度： 7-3 牵连运动为平移时点的加速度合成 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 牵连运动为平移时的加速度合成定理 ： 在任一瞬时，动点的绝对加速度等 于牵连加速度与相对加速度的矢量和 。 7-3 牵连运动为平移时点的加速度合成 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 例4： 曲柄长r，角速度，求夹角为时曲杆的 加速度 解： A O C D x 1.确定动点动系 以OA杆上的A为动点，动系xoy 固定在曲杆CD上，静系xoy固定在地 面。 2.运动分析 3.加速度合成 求得 方向： 大小： ？ ？ HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 例5：半圆轮沿斜坡向下滑动,图示时刻速度和加速度 已知，试求此刻AB杆的速度和加速度。 A B R C 600 300 以AB杆上的A为动点 ，动系固定在半圆轮上 1.确定动点动系 解： 2、运动分析 绝对运动：沿铅锤线的直线运动 相对运动：沿半圆周圆周运动 x y 牵连运动：沿斜面平动 x y HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 例5：半圆轮沿斜坡向下滑动,图示时刻速度和加速度 已知，试求此刻AB杆的速度和加速度。 A B R C 600 300 3. 速度合成x 向x轴(v)投影 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS x 例5：半圆轮沿斜坡向下滑动,图示时刻速度和加速度 已知，试求此刻AB杆的速度和加速度。 A B C 4 、加速度合成 方向： 大小： ？ a0 ？ v2r /R 60 向x轴( )上投影 ： HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 600 600 O1 O2 A1 A2 C D 练习1：已知O1A1和O2A2杆长均为r， 且始终平行。 O1A1杆以匀角速度转动，通过半圆形凸轮带动CD 杆运动，凸轮半径也是r。试求图示时刻CD杆的速度 和加速度。 以CD杆上的C为动点，动系固定 在半圆轮上 1.确定动点动系 解： 2. 速度合成 2、运动分析 绝对运动：垂直直线运动 相对运动：圆周运动 牵连运动：平动 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 600 600 O1 O2 A1 A2 C D 练习1：已知O1A1和O2A2杆长均为r， 且始终平行。 O1A1杆以匀角速度转动，通过半圆形凸轮带动CD 杆运动，凸轮半径也是r。试求图示时刻CD杆的速度 和加速度。 4. 加速度合成 方向： 大小： ？ ？ x 向x轴( )上投影 ： HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 练习2：已知半径为 r 的半圆形凸轮以匀速 v0 在 水平面上滑动，长为 r 的直杆OA可绕O轴转动。 试求图示瞬时OA杆的角速度和角加速度。 以OA杆上的A为动点，动系固定在半圆轮上 1.确定动点动系 解： 3. 速度合成 O A C v0 300 向x轴(vr) 上投影： 2、运动分析 绝对运动：圆周运动 相对运动：圆周运动 牵连运动：平动 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS O A C v0 300 练习2：已知半径为 r 的半圆形凸轮以匀速 v0 在 水平面上滑动，长为 r 的直杆OA可绕O轴转动。 试求图示瞬时OA杆的角速度和角加速度。 4、 加速度合成 其中： 解得： 向x轴( )上投影 ： HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 练习3：设有一圆盘以匀角速度 绕垂直于盘面的 O 轴转动，动点 M 在圆盘上半径为 r 的圆槽内以匀 速 vr 相对圆盘运动。求M 点的绝对加速度。 M O 解： 1. 以M为动点，圆盘为动系 2. 分析三种运动 3. 速度合成 4. 求加速度 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 7-4 牵连运动为转动时点的加速度合成 M r 1 M 2 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS M r M 1 2 7-4 牵连运动为转动时点的加速度合成 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 牵连运动为转动时点的加速度合成定理： 当牵连运动为定轴转动时（平面运动时也成立） ，在任一瞬时，动点的绝对加速度等于动点的牵 连加速度、相对加速度与科氏加速度三者的矢量 和。 其中 称科氏加速度.是牵连运动与 相对运动互相影响的结果 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 科氏加速度等于动系的角速度与动 点的相对速度的矢积的二倍。 科氏加速度是由于牵连运动和相对运动 相互影响而产生的加速度。 大小： 方向： 矢积的方向 大小： 将 顺动系的转向转900 方向： z x y vr在垂直于的平面上的投影 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 两种特殊情况 1、当vr，=90此时ac=2vr ，ac、 、vr，三者互相垂直 2、当vr，=0或=180此时ac=0 。 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 例6: 在北半球纬度处有一条河流，河水沿着正北 方向流动，流速为u，如图。考虑地球自转的影响， 求河水的加速度。 u 中天 东 u HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 解：因为只考虑地球自转的影响，所以 可取地心坐标系为静系，以地轴为z轴 ，轴x、y由地心分别指向两个遥远的 恒星（未画出）。因此，该坐标系不 受地球自转影响。以水流所在处为原 点，选动系固结于地球上，轴x、y在 水平面内，轴x指向东，轴y指向北， 轴z铅直向上。地球绕地轴自转的角速 度以表示。 水流在地球上作匀速圆周运动，故 ： 地球作定轴转动，有 u ar ae x z y HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 相对运动为水流在地球表面上作匀 速圆周运动，（沿经线）故： 动系（地球）作定轴转动，有 u ar ae x z y 切向加速度为零 法向加速度 ： 牵连加速度（纬圆 ） HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 例7: T型杆在图示位置的速度、加速度已知，AD长为 b。试求此时OC杆的角速度和角加速度。 A B O C b 300 D 解：1.确定动点动系 以T型杆上的A为动点， 动系固定在杆OC上 3、 速度合成 2、运动分析 绝对运动：水平向直线运动 相对运动：沿OC杆直线运动 牵连运动：定轴转动 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 例7: T型杆在图示位置的速度、加速度已知，AD长为 b。试求此时OC杆的角速度和角加速度。 A B O C b 300 D 4、 加速度合成 向 方向投影 ： 是在垂直于的平面上的投影 的方向为顺着角速度的转向转90后的方向 只要牵连运动为转动，必须进行速度分析 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS O A C B 练习4: 偏心轮以匀角速度转动，并推动AB杆运 动。O、A、B连线铅直。偏心距OC= r，半径为 。图示时刻OC垂直于CA,试求此时杆的速度与加速 度 解： 1.确定动点动系 以AB杆上的A为动点，动系 固定在轮上 2. 速度合成 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS O A C B A