江苏2018版高考数学复习第八章立体几何8.5平行与垂直的综合应用教师用书文苏教版.docx

8.5 平行与垂直的综合应用1.证明方法(1)证明平行关系的方法：证明线线平行的常用方法a.利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；b.利用平行四边形进行转换；c.利用三角形中位线定理证明；d.利用线面平行、面面平行的性质定理证明.证明线面平行的常用方法a.利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；b.利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行.证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行.(2)证明空间中垂直关系的方法：证明线线垂直的常用方法a.利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；b.利用勾股定理逆定理；c.利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.证明线面垂直的常用方法a.利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；b.利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；c.利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.2.应特别注意的几个易错点定理图形语言易错点等角定理AOBAOB易忽略“方向相同”线面平行的判定定理a易丢掉“a”或“b”线面平行的性质定理ab易忽略“b”直线和平面垂直的判定定理l易忽略“abO”两个平面垂直的性质定理a易忽略“a”面面平行的判定定理易忽略“abO”面面平行的判定定理的推论易忽略“abO”或“cdO”【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行.()(2)若直线a，P，则过点P且平行于a的直线有无数条.()(3)若ab，bc，则ac.()(4)，为三个不同平面，.()(5)若，且l，则l.()(6)，a，bab.()1.(教材改编)如图，已知平面，且AB，PC，垂足为C，PD，垂足为D，则直线AB与CD的位置关系是_.答案ABCD解析PC，PCAB，又PD，PDAB，AB平面PCD，ABCD.2.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为B1C1，A1D1，A1B1的中点，则平面EBD与平面FGA的位置关系为_.答案平行3.(2016常州一模)给出下列四个命题：若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.其中为真命题的是_.(填序号)答案解析中的直线可能在另一平面内；中的直线与另一平面，可能是线面平行、线面相交或直线在平面内.4.已知点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，且PA平面ABC，PA8，在ABC中，底边BC6，AB5，则P到BC的距离为_.答案4解析取BC的中点D，连结AD，PD.ADBC，PABC，且ADPAA，BC平面PAD，BCPD，在RtPAD中，PD4.5.(教材改编)如图，在三棱锥VABC中，VABVACABC90，则平面VBA与平面VBC的位置关系为_.答案垂直解析VABVACABC90，BCAB，VAAC，VAAB，由VA平面ABC，VABC，由BC平面VAB，又BC平面VBC，平面VBC平面VBA.题型一线、面平行与垂直关系的判定例1(1)如图所示，在直棱柱ABCA1B1C1中，若D是AB的中点，则AC1与平面CDB1的关系为_.(2)已知m，n为直线，为平面，给出下列命题：n；mn；mn.其中正确的命题是_.答案(1)AC1平面CDB1(2)解析(1)如图，连结BC1，BC1与CB1交于E点，连结DE，则DEAC1，又DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.(2)对于，n可能在内；对于，m与n可能异面.易知，是真命题.思维升华对线面平行、垂直关系的判定(1)易忽视判定定理与性质定理的条件，如易忽视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条件.(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(3)可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确.(1)在正方形SG1G2G3中，E，F分别为G1G2，G2G3的中点.现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使点G1，G2，G3重合，记为点G，则SG与平面EFG的位置关系为_.答案垂直解析翻折后SGEG，SGFG，从而SG平面EFG.(2)已知三个平面，.若，a，b，且直线c，cb.判断c与的位置关系，并说明理由；判断c与a的位置关系，并说明理由.解c，与没有公共点.又c，c与无公共点，故c.ca.，与没有公共点.又a，b，a，b，且a，b，ab.又cb，ac.题型二平行与垂直关系的证明命题点1线面平行的证明例2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，C1D1的中点.求证：EF平面BB1D1D.证明如图所示，连结AC交BD于点O，连结OE，则OEDC，OEDC.DCD1C1，DCD1C1，F为D1C1的中点，OED1F，OED1F，四边形D1FEO为平行四边形，EFD1O.又EF平面BB1D1D，D1O平面BB1D1D，EF平面BB1D1D.命题点2面面平行的证明例3如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1.(1)求证：平面A1BD平面B1D1C.(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD.证明(1)B1BDD1，B1BD1D，四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD，又BD平面A1BD，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C.同理A1D平面B1D1C，又A1DBDD，A1D，BD平面A1BD，平面A1BD平面B1D1C.(2)由BDB1D1，得BD平面EB1D1.如图所示，取BB1的中点G，连结AG，GF，易得AEB1G，又AEB1G，四边形AEB1G是平行四边形，B1EAG.同理GFAD.又GFAD，四边形ADFG是平行四边形，AGDF，B1EDF，DF平面EB1D1.又BDDFD，平面EB1D1平面FBD.命题点3直线与平面垂直的证明例4(2016连云港模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC、BD相交于点O，EFAB，AB2EF，平面BCF平面ABCD，BFCF，点G为BC的中点.(1)求证：OG平面EFCD；(2)求证：AC平面ODE.证明(1)四边形ABCD是菱形，ACBDO，点O是BD的中点，点G是BC的中点，OGCD，又OG平面EFCD，CD平面EFCD，OG平面EFCD.(2)BFCF，点G为BC的中点，FGBC.平面BCF平面ABCD，平面BCF平面ABCDBC，FG平面BCF，FGBC，FG平面ABCD.AC平面ABCD，FGAC，OGAB，OGAB，EFAB，EFAB，OGEF，OGEF，四边形EFGO为平行四边形，FGEO.又FGAC，ACEO.四边形ABCD是菱形，ACDO，EODOO，EO、DO在平面ODE内，AC平面ODE.命题点4面面垂直的证明例5如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE侧面ACC1A1.证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连结FG，EF，BG，则FGAA1，且GFAA1.因为BEEB1，A1B1CB，A1B1ECBE90，所以A1B1ECBE，所以A1ECE.因为F为A1C的中点，所以EFA1C.又FGAA1BE，GFAA1BE，且BEBG，所以四边形BEFG是矩形，所以EFFG.因为A1CFGF，所以EF侧面ACC1A1.又因为EF平面A1CE，所以截面A1CE侧面ACC1A1.命题点5平行、垂直的综合证明例6(2016泰州一模)如图，在四棱锥EABCD中，ABD为正三角形，EBED，CBCD.(1)求证：ECBD；(2)若ABBC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平面DMN平面BEC.证明(1)如图，取BD的中点O，连结EO，CO.因为EBED，CDCB，所以COBD，EOBD.又COEOO，CO，EO平面EOC，所以BD平面EOC.因为EC平面EOC，所以ECBD.(2)因为N是AB的中点，ABD为正三角形，所以DNAB.因为BCAB，所以DNBC.因为BC平面BCE，DN平面BCE，所以DN平面BCE.因为M为AE的中点，N为AB的中点，所以MNBE.因为MN平面BCE，BE平面BCE，所以MN平面BCE.因为MNDNN，所以平面DMN平面BEC.思维升华(1)空间线面的位置关系的判定方法证明直线与平面平行，设法在平面内找到一条直线与已知直线平行，解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质，或构造平行四边形，寻求比例关系确定两直线平行.证明直线与平面垂直，主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.解题时注意分析观察几何图形，寻求隐含条件.(2)空间面面的位置关系的判定方法证明面面平行，需要证明线面平行，要证明线面平行需证明线线平行，将“面面平行”问题转化为“线线平行”问题.证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.(2016苏锡常镇四市调研)如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B平面AA1C1C，D，E分别为边A1B1，C1C的中点.求证：(1)BC1平面AB1C；(2)DE平面AB1C.证明(1)四边形AA1C1C为矩形，ACC1C.又平面CC1B1B平面AA1C1C，平面CC1B1B平面AA1C1CCC1，AC平面CC1B1B.BC1平面CC1B1B，ACBC1.又四边形CC1B1B为菱形，B1CBC1.B1CACC，BC1平面AB1C.(2)取AA1的中点F，连结DF，EF.四边形AA1C1C为矩形，E，F分别为C1C，AA1的中点，EFAC.EF平面AB1C，AC平面AB1C，EF平面AB1C.D，F分别为边A1B1，AA1的中点，DFAB1.DF平面AB1C，AB1平面AB1C，DF平面AB1C.EFDFF，EF平面DEF，DF平面DEF，平面DEF平面AB1C.DE平面DEF，DE平面AB1C.题型三平行与垂直的应用例7(2015安徽)如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值.(1)解由题设AB1，AC2，BAC60，可得SABCABACsin 60.由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高，又PA1.所以三棱锥PABC的体积VSABCPA.(2)证明在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连结BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN，又BM平面MBN，所以ACBM.在RtBAN中，ANABcosBAC，从而NCACAN，由MNPA，得.思维升华(1)利用平行关系可以转移点到面的距离，从而求几何体体积或解决关于距离的最值问题.(2)对于存在性问题的证明与探索有三种途径：途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.途径三：将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD1，AB，点F是PD的中点，点E是边DC上的任意一点.(1)当点E为DC边的中点时，判断EF与平面PAC的位置关系，并加以证明；(2)证明：无论点E在边DC的何处，都有AFEF；(3)求三棱锥BAFE的体积.(1)解当点E为DC边的中点时，EF与平面PAC平行.证明如下：在PDC中，E，F分别为DC，PD的中点，EFPC，又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC.(2)证明PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD.四边形ABCD是矩形，CDAD.ADAPA，CD平面PAD.又AF平面PAD，AFCD.PAAD，点F是PD的中点，AFPD.又CDPDD，AF平面PCD.EF平面PCD，AFEF.即无论点E在边DC的何处，都有AFEF.(3)解作FGPA交AD于G，则FG平面ABCD，且FG，又SABE，VBAEFVFAEBSABEFG.三棱锥BAFE的体积为.6.立体几何平行、垂直的证明问题典例(14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点.(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积.规范解答(1)证明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.1分又因为ABBC，BB1BCB，所以AB平面B1BCC1，2分又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.3分(2)证明取AB的中点G，连结EG，FG.4分因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.6分因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1FEG.8分又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.10分(3)解因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.12分所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.14分证明线面平行问题(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行；第四步：反思回顾.检测关键点及答题规范.证明线面平行问题(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；第三步：证明所作平面与所证平面平行；第四步：转化为线面平行；第五步：反思回顾，检查答题规范.证明面面垂直问题第一步：根据已知条件确定一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的一条直线；第二步：结合已知条件证明确定的这条直线垂直于另一平面内的两条相交直线；第三步：得出确定的这条直线垂直于另一平面；第四步：转化为面面垂直；第五步：反思回顾，检查答题规范.1.设，为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，l，则l；若m，n，m，n，则；若l，l，则；若m，n是异面直线，m，n，且lm，ln，则l.其中真命题的序号是_.答案解析由，l知，l与无公共点，故l.当m，n，m与n相交，m，n时，.由l知，内存在l，使得ll.因为l，所以l，故.易知内存在m，n，使得mm，nn，且m，n相交，由lm，ln知，lm且ln，故l.2.(2016南京二模)已知平面，直线m，n，给出下列命题：若m，n，mn，则；若，m，n，则mn；若m，n，mn，则；若，m，n，则mn.其中是真命题的是_.答案解析对于，平面与可能相交，故错；对于，若，m，n，则直线m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故错；对于，由面面垂直的判定可知正确；对于，由面面垂直的性质可知mn，故正确.因此真命题的序号为.3.在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上一动点，当M满足是_时，平面MBD平面ABCD.答案PC的中点解析当M是PC中点时，连结AC，BD交于O，由题意知，O是AC的中点，连结MO，则MOPA.PA平面ABCD，MO平面ABCD，MO平面MBD，平面MBD平面ABCD.4.(2016连云港模拟)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱BB1、AA1、AD的中点，则平面A1DE与平面BGF的位置关系是_(填“平行”或“相交”).答案平行解析在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是棱BB1、AA1、AD的中点，所以FGA1D，所以FG平面A1DE，同理FB平面A1DE，又FGFBF，所以平面BGF平面A1DE.5.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.答案a或2a解析由题意易知，B1D平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可.令CFDF，设AFx，则A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.6.在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，给出下面三个结论：BC平面PDF；DF平面PAE；平面PDF平面ABC.其中不成立的结论是_.答案解析如图，由题知BCDF，BC平面PDF.四面体PABC为正四面体，BCPA，AEBC，BC平面PAE，DF平面PAE，平面PAE平面ABC，和成立.设此正四面体的棱长为1，则PA1，AM，PM2PD2DM222，PA2AM2PM2，故不成立.7.(2016常州调研)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD平面ABCD，PBPD，PAPC，CDPC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM.求证：(1)OM平面PAD；(2)OM平面PCD.证明(1)连结AC.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点.在PAC中，因为O，M分别是AC，PC的中点，所以OMPA.因为OM平面PAD，PA平面PAD，所以OM平面PAD.(2)连结PO.因为O是BD的中点，PBPD，所以POBD.因为平面PBD平面ABCD，平面PBD平面ABCDBD，PO平面PBD，所以PO平面ABCD，从而POCD.因为CDPC，PCPOP，PC平面PAC，PO平面PAC，所以CD平面PAC.因为OM平面PAC，所以CDOM.因为PAPC，OMPA，所以OMPC.因为CD平面PCD，PC平面PCD，CDPCC，所以OM平面PCD.8.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)证明：平面ADC1B1平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论.(1)证明如图，因为ABCDA1B1C1D1为正方体，所以B1C1面ABB1A1.因为A1B面ABB1A1，所以B1C1A1B.又因为A1BAB1，B1C1AB1B1，所以A1B面ADC1B1.因为A1B面A1BE，所以平面ADC1B1平面A1BE.(2)解当点F为C1D1中点时，可使B1F平面A1BE.证明如下：易知：EFC1D，且EFC1D.设AB1A1BO，则B1OC1D且B1OC1D，所以EFB1O且EFB1O，所以四边形B1OEF为平行四边形.所以B1FOE.又因为B1F面A1BE，OE面A1BE.所以B1F面A1BE.9.(2016南京三模)如图，在四棱锥PABCD中，O为AC与BD的交点，AB平面PAD，PAD是正三角形，DCAB，DADC2AB.(1)若E为棱PA上一点，且OE平面PBC，求的值；(2)求证：平面PBC平面PDC.(1)解因为OE平面PBC，OE平面PAC，平面PAC平面PBCPC，所以OEPC，所以AOOCAEEP.因为DCAB，DC2AB，所以AOOCABDC12，所以.(2)方法一取PC的中点F，连结FB，FD.因为PAD是正三角形，DADC，所以DPDC.因为F为PC的中点，所以DFPC.因为AB平面PAD，所以ABPA，ABAD，ABPD.因为DCAB，所以DCDP，DCDA.设ABa，在等腰直角三角形PCD中，DFPFa.在RtPAB中，PBa.在直角梯形ABCD中，BDBCa.因为BCPBa，F为PC的中点，所以PCFB.在RtPFB中，FBa.在FDB中，由DFa，FBa，BDa，可知DF2FB2BD2，所以FBDF.因为DFPC，DFFB，PCFBF，PC，FB平面PBC，所以DF平面PBC.又DF平面PCD，所以平面PBC平面PDC.方法二取PD，PC的中点分别为M，F，连结AM，FB，MF，所以MFDC，MFDC.因为DCAB，ABDC，所以MFAB，MFAB，即四边形ABFM为平行四边形，