深圳医疗点规划及参保人基金支付的数学模型.doc

2012年中央民族大学数学建模选拔赛论文题目：定点医疗改革的实施分析参赛队员 ：姓名：周斌 学院：理学院 专业：信计 年级：09级 姓名：马布惹留 学院：理学院 专业：信计 年级：09级 姓名：黄丹 学院：理学院 专业：信计 年级：10级 定点医疗改革的实施分析摘要现针对某地区46家试点医院进行医疗改革，保险公司对各医院的定点参保人收取一定的基金费用。本文从数据出发，建立数学模型探讨参保人的基金支付额、就诊情况与其年龄的关系，并按参保人的年龄结构将其与46家定点医疗机构分别进行分类。针对问题一，首先建立曲线回归模型，将基金支付额细分为总支付额、人均支付额及每个病人平均支付额，绘制三者随参保人年龄变化的散点图。建立随时间变化的多项式函数，使其图像曲线逼近散点图中各点的分布规律，并用Matlab曲线拟合，求解系数得到关系曲线方程。然后，采用Fisher最优分割法，根据人均支付额对参保人按年龄进行有序样品聚类。由递推函数求解得最优分割数和分割点，将参保人划分为0-10、11-31、32-59、60-88、89-102岁5类，并分析各类人群的基金支付情况。针对问题二，同样建立曲线回归模型，画出年龄与病人的看病次数、得病人数比例、一次就诊的花费的散点图，进行曲线拟合求解得到对应的关系函数。并结合实际，对图中反映的年龄与就诊情况关系进行了分析。针对问题三，我们建立了聚类分析模型。根据在问题一中得出的目前定点参保人的年龄结构，以及附件4中46家定点医疗机构不同年龄段定点参保人的人数，利用SPSS软件，运用系统聚类方法将这46家定点医疗机构分成了五类。本文所建立的模型为社会医疗保险制度信息的反馈提供了方法和依据，模型的现实意义重大。譬如，对于定点医疗机构各年龄段的不同分布情况，可以对各类型的医疗机构提出合理化建议。该模型还具有通用性，有利于推广，能合理的解决实际问题。关键字：曲线回归模型 Fisher最优分割法 多项式拟合 系统聚类 Matlab目录摘要1目录2一、 问题的提出与分析31.1 问题的提出31.2 问题的分析3二、 基本假设4三、 符号说明4四、 模型的建立与求解54.1 问题一的模型建立与求解54.1.1 问题一 模型的建立曲线回归模型54.1.2 问题一 模型的建立Fisher最优分割法464.1.3 问题一 模型的求解74.2 问题二的模型建立与求解94.2.1 问题二 模型的建立曲线回归模型94.2.2 问题二 模型的求解114.3 问题三的模型与建立124.3.1 问题三 模型的建立聚类分析模型5124.3.2 问题三 模型的求解13五、 模型分析155.1 模型的优点155.2 模型的缺点15参考文献：16附录：161、 问题的提出与分析1.1 问题的提出医疗保险，是以合同的方式预先向受疾病威胁的人收取医疗保险费（基金费用），建立医疗保险基金，当被保险人患病并去医疗机构就诊而产生医疗费用后，由医疗保险机构给予一定的经济补偿（基金支付）。某地区进行了(门诊)医疗改革，首先按照区域规划和总量控制的原则，确定了46家医院作为改革的医院。每家医院都有其对应的定点参保人。该改革方案是由保险公司先向每位参保人收取一定的基金费用，当参保人看病（门诊）时，参保人所需要支付的费用一部分由自己承担，其他部分由医院支付（基金支付），医院和保险公司会进行定期结算。题目中给出了上个社保年度的46家定点医疗机构的相关数据，要求对数据进行分析，建立模型1求解下列问题：1. 分析基金支付额（总基金支付额、人均基金支付额、每个病人平均支付额）与年龄之间的关系，根据支付情况将定点参保人按年龄分成若干类，分析各类人群的基金支付情况；2. 分析病人的就诊基本情况（包括病人的看病次数、得病比例、一次就诊的花费等）随着年龄的变化情况；3. 将各家定点医疗机构按照其目前定点参保人的年龄结构将其分成若干类。1.2 问题的分析本题是关于基金支付额、年龄与定点医疗机构之间的关系问题。附件给出了不同年龄点定点参保人的总人数、总看病人数、总的基金支付总额、年看病总次数、每次看病费用以及46家定点医疗机构不同年龄段定点参保人的人数，年总的基金支付总额等一系列数据。上述三个问题从不同的方面要求我们讨论基金支付额与年龄、支付情况与参保人年龄、病人就诊情况与年龄、定点医疗机构与参保人年龄之间的关系。由生活经验可以知道，一个人在婴幼儿时期，身体各部分未完全发育，通常抵抗力较差，容易生病，所以医疗机构的基金支付额较多；在青少年和壮年时期，身体各部分器官处于发育完全的旺盛时期，对各种疾病抵抗力强，较少生病，所以医疗机构的支付额较少；随着年龄的增长，步入老年后，身体各部分器官开始退化，自身免疫功能退化导致发病率提高，也很容易生病。不过，因为年龄越大，所占总人数越少，所以在过于年迈的年龄段基金支付总额又会变少。据此，我们可以先对年龄的划分有一个相对合理的认识。首先对于第一个问题，我们根据附录1的相关数据，利用Matlab软件分别画出年龄与总基金支付额、人均基金支付额及每个病人平均支付额的散点图和曲线，建立曲线回归模型，并且根据散点图的分布对不同区间的曲线进行拟合，确定出总基金支付额、人均基金支付额、每个病人平均支付额与年龄之间的函数关系，得到了相应的回归方程。而后又根据附件1的相关数据，运用Fisher最优分割法，将定点参保人按年龄分成了五类，并且分析了各类人群的基金支付情况。其次对于问题二，我们同样采用了曲线回归模型，利用Matlab2软件分别画出病人的看病次数、得病人数比例、一次就诊的花费与年龄的散点图和曲线，根据散点图的分布对不同区间的曲线拟合，确定其与年龄之间的函数关系，得到了相应的方程3。最后对于问题三，我们在得到目前定点参保人年龄结构的基础上，根据附件4中46家定点医疗机构不同年龄段定点参保人的人数，我们可以看出这46家定点医疗机构不同年龄段人数都有所差别，即医疗机构的属性是不同的。因此，我们建立了聚类模型，利用SPSS软件，运用系统聚类分析法将各家定点医疗机构按照其目前定点参保人的年龄结构将其分成了四类。2、 基本假设1、 假设人的年龄只有0-110岁，不存在其他情况；2、 假设该地区的基金支付额只与年龄、参保人数有关，排除其他因素的影响；3、 假设参保人不会因自身的经济条件和对疾病的片面认识而出现没有及时就医 的情况；4、 假设参保人不因所在定点机构的医疗条件而选择跨地区治疗；5、 假设当年没有过于严重且感染人群年龄集中的传染病，如儿童手足口病；6、 假设所有参保人都遵守医疗保险的有关规定，没有发生侵害医疗保险基金行为的参保人员；7、 假设数据是真实可靠的，不存在虚假数据，且所有相关数据具有独立性，各个指标也不相互影响。3、 符号说明符号含义总基金支付额人均基金支付额每个病人平均支付额年基金支付额年龄病人的总看病次数病人的平均看病次数得病人数比例一次就诊的花费4、 模型的建立与求解4.1 问题一的模型建立与求解4.1.1 问题一 模型的建立曲线回归模型为了研究基金支付额（总基金支付额、人均基金支付额、每个病人平均支付额）与年龄之间的关系，首先利用Excel软件抽取附件1中的数据。因为从数据中可以看出，102岁以后的老人总的看病人数只有3人，看病次数也很少，且健康情况差异很大，对于数据的处理会产生影响。在不影响整体图像走势的情况下，对于102岁以后的老人采取合理化剔除处理。曲线回归模型：研究基金支付与年龄的关系曲线回归可以将两个相关变量x与y的实际观测数据建立曲线回归方程，揭示x与y间的曲线联系的形式。在本文中，我们根据附件一中的数据，将基金与年龄的关系细分为三个方面：总基金支付额，人均基金支付额，每个病人平均支付额与年龄之间的关系。首先，根据给出的数据，使用Matlab绘制散点图，可以确定基金随年龄变化为曲线。故采用曲线回归模型分别对基金支付额与年龄的关系进行估计，并通过Matlab进行曲线拟合，得到基金支付额随时间变化的函数。因此，构造多项式： 其中， 4.1.2 问题一 模型的建立Fisher最优分割法4Fisher最优分割法：一种有序样品聚类方法，根据支付情况将定点参保人按年龄分成五类为解决根据支付情况将定点参保人按年龄分类问题。我们引入Fisher最优判别法，对定点参保人的年龄结构进行有序样品聚类。年龄为按顺序排列的样本, 其分类指标为单指标各年龄段人均基金支付额，构建关系向量：以向量作为初始分类的样本特征值, 就可以对样本序列进行分割, 最优分割的步骤如下:定义类直径。类内部样本之间的差异程度用类直径来表示, 直径越小则差异越小。设某一类，其中，定义其直径为样本离差平方和，即： 其中，定义目标函数，若将年龄t划分成段：其中分点为。最优分割的实质就是寻某一组分点, 使得所有分类的直径总和最小, 定义这种分类的目标函数为： 其中，并根据，Fisher递推公式：求解最优分割类数。4.1.3 问题一 模型的求解根据问题一中的曲线回归模型，使用Matlab软件进行多项式拟合（程序代码见附录一）求解，由运行结果可以得到年基金支付额（元）与年龄（岁）之间的关系曲线。经过多次试验后，当为8次多项拟合时，求得的曲线已经比较接近散点图中各点的分布规律。结果如下，其中：总基金支付额与参保人年龄关系求解如图1：图1：总基金支付额与参保人年龄关系图输出拟合曲线系数，其中前四项系数为0，得到拟合方程为：由图1可知，该曲线回归模型能较好的符合原始数据人均基金支付额与参保人年龄关系求解如图2：图2：人均基金支付额与参保人年龄关系图输出拟合曲线系数，其中前三项系数为0，得到拟合方程为：由图2可知，该曲线回归模型能较好的符合原始数据 每个病人平均基金支付额与参保人年龄关系求解如图3：图3：每个病人平均基金支付额与参保人年龄关系图输出拟合曲线系数，其中前三项系数为0，得到拟合方程为：由图3可知，该曲线回归模型能较好的符合原始数据根据问题一中的Fisher最优分割法模型，使用Matlab进行迭代求解（程序代码及结果见附录二），由运行结果可以得到分类数k变化曲线，如图4所示。由图可知，将参保人按年龄顺序划分为5类比较合适。图4IndexB(n,k)Value年龄段10.07420313.59550-10110.38169769.934711-31320.39151971.734432-59600.670627122.87360-88890.559146102.44789-102图5依据分类数k及运算Index值（图5所示），将年龄划分为五部分，并分析各类人群的基金支付情况，得到表一如下：年龄段1(0-10)2(11-31)3(32-59)4(60-88)5(89-102)合计定点总人数715485167743807046784916851038560人均基金支付额112.253538.8529491.71469146.55585.4656770.39889各段总基金支付额803151320078191349161499943608144009.773113470占总支付额比例10.98%27.46%47.76%13.60%0.20%100.00%从表中数据可以看出，按参保者年龄分类，可以大致分为0-10岁，11-31岁，32-59岁，60-88岁，89-102岁五类，各类参保人数差距较大，其中，第2、3类参保人数最多，此年龄段为青年和壮年，参保意识较强。人均基金支付额一项中，第4类最大，分析原因，此年龄段为老年人，身体抵抗力下降，患病概率较高，医疗支出明显增加。在缴纳基金总额中，壮年的缴纳最高，占比接近总额的一半，第5类中，高龄人群由于人数较少，占比最低。4.2 问题二的模型建立与求解该问题要求分析病人的就诊基本情况随着年龄的变化情况，为了使分析结果更加准确、全面，我们用病人总看病次数、病人的平均看病次数、得病人数比例、一次就诊的花费这四个指标来描述病人的就诊基本情况，分别分析这四项指标与年龄之间的关系全面的判定病人就诊基本情况随年龄的变化。4.2.1 问题二 模型的建立曲线回归模型为了研究就诊基本情况与年龄的关系，首先利用excel软件并通过附件二中的数据计算出各年龄段的总就诊次数，再抽取出附件一中的看病人数、定点总人数、基金支付总额三组数据，最终计算出病人总看病次数、病人的平均看病次数、得病人数比例、一次就诊的花费这四个指标的数据。其中，102岁以后的老人总看病人数只有3个，且在个别指标的计算中或是其离散程度过大，或是出现了错误，阻碍了对数据的处理。因此，在不影响整体图像走势的情况下，我们对于102 岁以后的老人的数据依然采取了合理化剔除处理。处理完数据后，我们用Matlab软件画出了病人总看病次数与年龄、病人的平均看病次数与年龄、得病人数比例与年龄、一次就诊的花费与年龄的关系图，结果如下图所示：通过分析这四个图形中的散点图可以分别建立病人总看病次数、病人的平均看病次数、得病人数比例、一次就诊的花费与年龄的关系曲线回归模型，因此作多项式：4.2.2 问题二 模型的求解 运用多项式拟合以及运行结果可以分别得到病人的总看病次数、病人的平均看病次数、得病人数比例、一次就诊的花费与年龄之间的估计方程，并画出关系图。其中关系图如下： 从图中可以看出，处于婴幼儿时期的参保人的总看病人数、平均看病次数、得病人数比例相较于其他年龄段偏高。这可能是由于首先婴幼儿的抵抗力较弱，容易生病，同时婴幼儿大都受到家长的呵护，一旦出现生病的迹象家长都会及时带去治疗，因此统计数据中婴幼儿总体的看病人数、平均看病人数、生病比例以及总体看病费用就会偏高，而一次就诊的花费处于中下则可能是由于婴幼儿虽然体弱多病但大多都是些易于治疗的病症。 处于青少年时期参保人的总看病人数、平均看病次数、得病人数比例相较于其他年龄段是最低的，同时一次就诊的花费也只处于中等水平。这可能是由于这一年龄段的人本身身体素质强健，不易生病，同时在社会地位上也大都处于正在上学或刚步入社会的阶段，还不至于在生活的重负下产生疾病。青壮年人群体质的下降是近年来为人所谈论不休的一个问题，令人闻之色变的“过劳死”等问题都发生在这一人群中。从图中可以明显看出处于青壮年及中年时期的参保人（大约3060岁）在总看病人数、得病人数比例、一次就诊的花费等指标上都偏高。这其中，工作压力大，而疏忽了日常的身体锻炼大概是出现这一现象的主要原因。老年人的看病总人数属于最低，这与参保人中老龄人的人数较少有关，而老龄人的平均看病次数、生病人数比例、一次就诊的花费的离散程度较大，平均属于中下，这与老龄人的生活水平的提高及身体素质的提升应该有着密切的关系。以下为各指标与年龄关系的估计方程：4.3 问题三的模型与建立4.3.1 问题三 模型的建立聚类分析模型5将各家定点医疗机构按照其目前定点参保人的年龄结构将其分类,我们采取系统聚类的方法。首先将46个医疗点看成46类（一个类包含一个样品），然后根据年龄结构这一指标，将最接近的两类合并成一个新类，我们得到45类，重复进行聚类，最后所有的样品均在一类。进行分割，得到分类结果。首先，根据附录四中给出的数据，由于给出的数据量级差别较大，容易对结果造成影响，需要对数据进行标准化处理，方式采取标准差变换法。类内样品距离采取平方欧式距离：类间距离采用类平均法：表示样品X(i)和X(j)之间的距离，用D(p,q)表示类Gp和Gq之间的距离。定义距离：4.3.2 问题三 模型的求解使用SPSS软件对附录4的数据进行处理，并采用聚类分析对46家医疗点进行去类，得到聚类树状图(附录三)和聚合系数及分裂数变化表，转化如下图所示，聚合系数随分类数变化图。从图中我们可以看到分类数在4或者5出变化明显变缓，说明将46个医疗点根据参保人年龄分类可分为4或5类。据此，我们将医疗机构按参保人年龄结构分为5类，分类结果如表3所示：表3、医疗机构按参保人年龄结构分类表组号机构编号17、34、17、28、23、41、26、13、35、37、39、38、36、18、29、19、20、21、1、46、2、45、31、4、43、22、6、24、3、25、30、33、42、27、5、15、14、40、44、32、11、12、9、16、8、1025、15、14、40、44332411、12、9、16、85105、 模型分析5.1 模型的优点问题一中分析基金支付额与年龄之间的关系的时候，分别建立了总基金支付额、人均基金支付额、每个病人平均支付额与年龄之间的曲线回归模型，更好的拟合数据得到了更精确的回归方程；在根据支付情况将定点参保人按年龄分类的时候，我们采用了Fisher最优分割法，一种有序样品的聚类法，使得按照年龄分类的结果更加准确、合理；在分析各类人群的基金支付情况时，我们全面考虑到了不同年龄段人均基金支付额、总基金支付额会出现的差异，采用了不同年龄段支付总金额占基金支付总额的比例来对其进行描述，使得结果容易理解，准确度较高且合理。问题二同样采用了曲线回归模型来分析病人的就诊基本情况，分别得到了病人的看病次数与年龄、得病比例与年龄、一次就诊的花费与年龄的回归方程，结果准确。问题三在运用SPSS中的系统聚类分析法对46家定点医疗机构进行分类的时候，我们是将分类依据建立在问题一中得出的目前参保人的年龄结构基础之上，得出了系统聚类关系图，从图中可以清晰直观的看出其分成了四类。该模型思路清晰，结果准确，简单并易于理解。5.2 模型的缺点（1） 问题一和问题二中所建立的曲线回归方程虽然较为准确，但是由于数据很大，在计算数字时也会有较大的误差；（2） 在将定点参保人按年龄分类时，选取的支付情况是人均基金支付额，存在一定的不准确性；（3） 做题人的主观因素对数据的规范处理有一定的影响。参考文献：1姜启源、谢金星、叶俊，数学建模，北京：高等教育出版社，2003.8；2刘卫国主编，MATLAB程序设计教程，北京：中国水利水电出版社，2010.2；3何晓群，多元统计分析（第二版），北京：中国人民大学出版社，2008.9；4杨城、曾繁华，Fisher最优分割的并行算法研究，/p-43197961.html ，2012.8.29；5朱建平、殷瑞飞，SPSS在统计分析中的应用，北京：清华大学出版社，2007.1。附录：附录一：多项式拟合求解绘图t=0:102; y=58.53607143118.8441271180.9605988247.591526285.7738905250.4518504208.9244667177.50274165.6102584154.5940713145.4749598135.3811852121.0881692121.3719511117.1104221120.3403845128.5415198126.4793448119.9675363101.4442233107.577939120.6116331133.612629139.4828189150.3327969164.2004861170.0566538175.1722296178.7293784176.6191534184.0585621188.9823664190.7654507196.8650941198.7248862203.3429343201.7721248202.5064173204.0000867208.5151897210.3903897210.030184214.4941586210.0654671207.7946172207.7559011209.0463034222.9751741225.1817394220.8229263233.7598582230.0997244223.9328808220.4570809239.4779882236.1554328229.0573012237.8