浅谈列方程解应用题的复习.doc

浅谈列方程解应用题的复习学数学就是为了能在实际生活中应用，数学是人们用来解决实际问题的，数学问题就产生在生活中。列方程解应用题是初中数学中的一个极为重要的内容。由于这一部分内容较多，牵涉面较广，关系较复杂，学生感到难以掌握。因此，加强对这一部分内容的复习，对于巩固学习初中的数学基础知识、增强学生运用数学知识解决实际问题的能力是十分重要的，而且也是对学生进行思想政治教育的好机会。再则，从每年中招数学考题来看，它又是一个命题频率较高的内容。但是，从初中学生的实际情况来看，不是不会列方程（组），就是列出了方程不会解，得分率较低。在多年的初中数学教学生涯中，学生遇到最多的问题是列方程解应用题，也是学生最为惧怕的问题。面对应用题，有些学生根本没有阅完题目就说不懂而“弃械投降”，有些学生就会“胡闯乱撞”理不出头绪，而有一些学生只能是望题兴叹了。因此，在进行总复习时，颇有必要进行专题复习，以提高学生解答应用题的能力。下面根据我教学体会，谈谈对这一内容进行复习教学的做法。一、培养数学兴趣，树立学生学应用题的信心。兴趣是动力的源泉，要获得持久不变的学习数学的动力，就要培养学生的数学兴趣。加强基础知识的教学，使学生能接近数学，让学生知道数学并不神秘，数学就在我们周围，我们时时刻刻都离不开数学；重视数学的应用，让学生充分感受到数学的作用和魅力，从而热爱数学。大多数学生对列方程解应用题存在畏难情绪，信心不足，不知道怎样分析，去寻找题中的数量关系。要解决好这一问题，还是要先从基础抓起，从简单的应用题开始。简单的应用题背景较简单，语言较直接，容易使学生领会如何进行审题，理顺数量关系，容易建立数学模型，为解复杂一点的应用题打下基础，又能带给学生成功解题的体验，增强学列方程解应用题的信心。有了良好的学习兴趣，树立了信心，就充满了成功和欢乐。孔子说：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。学生们学习乐在其中，才能培养出学生不断探索的欲望。二、总结列方程解应用题的一般步骤，训练学生的逻辑思维能力。1、分析题意。首先要弄清题意，分析问题中的哪些是已知数，哪些是未知数，明确已知数与未知数之间的等量关系，浏览全文，知道本应用题设题的基本方向和解题的基本思路，对学生进行关键性词语的引导，从而让他们养成一个良好的思维落脚点的习惯。2、设未知数。在列方程解应用题中设未知数也是一个重要的环节，怎样来设未知数，它直接关系到解应用题方便与否。并且仅靠已知量和要求量很难找到他们之间的内在联系，而考虑增设未知数的方法，可化难为易。根据分析，选择适当的未知数，一般可直接设，即求什么量，就设什么量，有时也间接设，再找出所求未知量与所设未知数的关系。设几个未知数就要列几个方程。多设一个未知数，便于找量与量之间的关系，但有时解方程组较麻烦。3、列方程式列方程组。根据题意找出各数量之间的相等关系，“译普通语言为数学语言”，找出题中所隐含的数学等量关系式，用没有用过的等量关系列出方程（组），特别注意的是，列方程组时，不要重复使用同一等量关系的恒等变形，因为它们是同解方程。在分析、寻找等量关系时还可辅以画图等方式进行总结、整理题中信息，把实际问题转化为数学问题，形成总体思维，以便更清晰明了的列出方程（组）。4、解方程（组）。求出未知数的值及应用题的解，这一过程主要是训练学生解题的速度和技巧，培养学生耐心、细仔的良好习惯。5、检验并写出答案。检验所求得的解是否正确及是否符合应用题的要求，把不符合题意的答案舍去，最后根据应用题的要求，简明、扼要、完整地写出答案。三、掌握常见应用题的重要类型，启迪学生的分析综合能力。1、行程问题路程=时间速度追及路程=追及时间速度差相遇时间=总路程速度和两人同时相向而行，相遇时间相等路程、速度、时间，它们之间的数量关系为：路程=时间速度，这个关系式本身不难理解，而使用之时要先弄清楚各自的路程、时间、速度，以免张冠李戴，为了更好地理解题目的意思，要使用数形结合，那就是速构问题模型，利用该图形找出问题中相应的数量关系。例如：甲、乙两地相距162千米，甲地有一列慢车，每小时48千米，乙地有一列快车，每小时60千米，将下列问题用代数式表示：x小时后慢车、快车各行多少千米？(48x千米、60x千米)；（x+1）小时后，慢车行几千米？48（x+1）千米；x小时后，两车共行几千米？(48x+60x)或(48+60)x；若两车相背而行，x小时后两车的距离多少千米？(48x+162+60x)；若两车相向而行，x小时后两车的距离是多少千米？162-(48x+60x)结果会出现一种情况是相遇，它的基本规律：快行距+慢行距=原距，即当162-(48x+60x)=0时，甲、乙相遇若两车同向而行，x小时后两车相距多少千米？(162+60x-48x)结果会出现一种情况是追及，它的基本规律：快行距-慢行距=原距。另行程问题中还有船水中航行的情况，它区别于一般行程问题的地方是速度，船在顺流中的速度=船在静水中的速度+水流的速度；船在逆流中的速度=船在静水中的速度-水流的速度。飞机在风中飞行的情况类似于船在水中航行的行程问题。而在环行跑道上的行程问题中，若两个人同时同地同向而行，第一次追及（或相遇）的基本规律是：块行距-慢行距=1圈的距离；若两人同时同地反向而行，第一次相遇的基本规律是：快行距+慢行距=1圈的距离。3、工程问题工程量=工作效率工作时间工作效率=工作量工作时间工作时间=工作量工作效率公式中的每一个数量都可以通过其他两个进行表示，使用之时要找对相应的数量，以免张冠李戴。例如：某仓库有10吨糖，甲独运10小时时完成，乙独运5小时完成，问：甲、乙每小时运多少吨？甲、乙合运1小时是多少吨？甲、乙两人合运几小时完成；如果把仓库的10吨糖换成100吨或m吨，那么两人合运需要几小时运完？不难算出和的答案都是小时，可见工作问题中，工作总量不明确时往往以“1”代替。3、浓度问题浓度=（溶质溶液）100%（溶液=溶剂+溶质）；稀释前后溶液的溶质不变；浓缩前后的溶质不变；配制前后溶液、溶质均不变；加浓前后溶剂不变。也就是说，加浓问题，它的基本规律是：加溶质而水不变、浓度改变；稀释问题，它的基本规律是：加水溶质不变、浓度改变；两种不同的浓度的溶液混合，它的基本规律是：混合前的溶质和等于混合后的溶质，混合前的溶液和等于混合后的溶液，浓度改变。4、银行存款中的利息问题其中的数量有：本金、利息、时间、利率、打税成份，它们之间的数量关系为：应得利息=本金时间利率税后成分。5、商品销售中的打折、利润问题其中的数量有：进价、标价、打折、售价、利润、利润率，它们之间的数量关系为：利润=售价-进价，而售价往往是由标价打折后得来。利润率=利润/进价。例如：一件商品标价为180元，若可7折降价出售，相对于进价仍获利20%，那么该商品的进价是多少？6、图形变化问题其中包括平面图形变化问题和立体图形变化问题，所以解决这类问题之前要熟记各类图形的周长、面积、体积计算公式。一般地，在初中数学中常出现的这类应用题有：（1）平面图形变化：面积一定，边长改变；边长改变，面积改变；周长一定，图形不同而面积不同。（2）等体变形。7、数学问题注意弄清数位的单位。如一个三位数可写成100x+10y+z。四、重视例题分析，提高学生的发散思维能力。解应用题，如同作文，首先要审题，否则会“下笔千言，离题万里”。加强对学生专业用语的透识，保障整个解题思维不受文字的约束，比如“相向而行”、“同向而行”等等，从而使整个理解认识水平上升到一个新的高度。审清题意明确已知、未知数，分析题型，找出等量关系，这是重要的一步。讲解时，采用图示、列表等方法帮助分析，能使等量关系一目了然。这样做恰好能解决学生苦于找不到等量关系而列不出方程的问题。下面举几个例加以说明：例：一个容器盛满纯药液60升，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再用水加满，这时容器内剩下的纯药液26升，每次倒出液体多少升？分析：设每次倒出液体x升，依题意列表：原纯药数第一次倒出纯药数第二次倒出纯药数最后剩下纯药数60升x升x升26升解出方程：x +x+26=60或60-x +x=26例2 某公司计划2009年的产量比2007年的产量增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？分析：设平均每年比上一年增长x%，2009年的产量为a，依题意列表：2007年产量2008年产量2009年产量aa(1+x%)a(1+x%)2, a(1+21%)得出方程：a(1+x%)2=a(1+21%)例3 甲、乙两辆汽车分别从相距270千米的A、B两地同时出发相向而行，3小时相遇，以后两车各用原速前进，甲车到B地比乙车到A地早1小时21分，求二车的速度。分析：设甲、乙二汽车的速度分别为每小时x千米和y千米。依题意可图示如下：270千米CA B 乙行需 甲行需相遇于C时，甲车行3x千米，乙车行3y千米，利用距离关系得3x+3y=270，相遇后，甲车由C到B地需小时，乙车由C地到A地需小时，利用时间关系得：，于是得出方程组：五、引导学生对应用题用多种方法列方程，提高学生创造性思维能力。解代数应用题时，可以根据题中每一种等量关系，列出方程（组），复习时要特别注意发掘题中的等量关系，根据不同的等量关系，列出不同的方程（组），并能比较其优劣，选择出既简便又易计算的方法。这样可以激发学生对解应用题的兴趣，可以使学生更好地掌握解题技巧和提高解题能力。培养和训练学生创造思维的发展。例4 甲、乙两人分别由A、B两地同时相向而行，相遇时，甲比乙少走2千米，相遇后，甲经过2小时24分到达B地，乙经过1小时40分钟到达A地，求两地间距离。方法一：设两地间距离为S公里，图示如下：CA BS相遇时，甲走千米，乙走千米，由甲速为/2千米/小时，乙速为/1千米/小时，由相遇时间相等列出方程：解之，得S1=22，S2=（舍去）方法二：设甲速为x千米/小时，乙速为y千米/小时。图示如下：C甲 乙A B 甲行需 乙行需相遇时，甲行了千米，乙行了千米，由距离关系得-=2根据相遇时间相等，=，于是得出方程组-=2=解之得：x=5，y=6两地路程为千米方法三：设相遇时，甲走了x千米，则乙走了x+2千米，甲速为千米/小时，乙速为千米/小时，由相遇时间相等列出方程解之得：x1=10，x2=（舍去）全程为：x+x+2=10+10+2=22（千米）方法四：设相遇时间为x小时，相遇时甲行了y千米，则乙得y+2千米。即甲速为千米/小时，则乙得千米。即甲速为千米/小时，乙速为，列出方程组解之，得 x=2 或 x=2.5 y=10 y=（舍去） y y+22 CA B全程为：2y+2=210+2=22千米。方法五：设相遇时间为t小时，甲速为x千米/小时，乙速为y千米/小时，相遇时，甲行了x.t千米，乙行了y.t千米，由距离关系得y.t-x.t=2,由路程公式得x.t=,y.t=2.4x。列方程组：y.t-x.t=2 （1）x.t= （2）y.t=2.4x （3） x.t y.t CA B 乙行需 甲行需解之得：x=5，y=6，t=2全程为：t(x+y)=2.(5+6)=22(千米)综上五种解法，我们可以发现：方法一，易解方程，却难找等量关系，学生一般列不出方程。方法二、方法四、方法五，辅助未知数设得较多，易找等量关系，易列方程，可是学生对解二元二次和三元二次方程组不习惯，有的解不出答案。而方法三，未知数只设一个，既比较容易找到等量关系，列出方程，又列出的方程比较简单、常见，易于求解，所以是一种较为理想的方法。总之，列方程解应用题是初中数学的一个重点，又是一个难点，