2012年江苏教研室高中数学考前80问.doc

2012年高中数学考前80问亲爱的高三同学，当您即将迈进考场时，对于以下80个问题，您是否有清醒的认识？1集合中的元素具有确定性、无序性和互异性。如集合隐含条件，集合不能直接化成。2.研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素的含义，如:与及三集合并不表示同一集合；再如：“设A=直线，B=圆，问AB中元素有几个？能回答是一个，两个或没有吗？”与“A=(x, y)| x + 2y = 3,B=(x, y)|x 2 + y 2 = 2, AB中元素有几个？”有无区别？ 过关题：设集合，集合N，则_ （答：）3 .进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于数轴和韦恩图进行求解；若AB=，则说明集合A和集合B没公共元素，你注意到两种极端情况了吗？或；对于含有个元素的有限集合M，其子集、真子集和非空真子集的个数分别是、和，你知道吗？你会用补集法求解一些问题吗？A是B的子集AB=BAB=A，你可要注意的情况。过关题：（1）已知集合A=-1, 2, B=x| m x + 1 = 0，若AB=B，则所有实数m组成的集合为 .（2）已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。答：）4 .（1）求不等式（方程）的解集或求定义域、值域时，你按要求写成集合或区间的形式了吗？（2）你会求分式函数的对称中心吗？ 过关题：已知函数的对称中心是(3, -1)，则不等式f (x) 0的解集是 .5 .求一个函数的解析式，你注明了该函数的定义域了吗？6 .四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题，它们之间有哪三种关系？只有互为逆否的命题同真假！复合命题的真值表你记住了吗？命题的否定和否命题不一样，差别在哪呢？充分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗？如何判断？反证法证题的三部曲你还记得吗？假设、推矛、得果。 原命题: ;逆命题: ;否命题: ；逆否命题: ；互为逆否的两个命题是等价的. 如：“”是“”的 条件。（答：充分非必要条件）若且;则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充分条件）; 注意命题的否定与它的否命题的区别: 命题的否定是；否命题是命题“p或q”的否定是“P且q”，“p且q”的否定是“P或q” 注意：如“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是“若和不都是偶数，则是奇数”否定是“若和都是偶数，则是奇数”7.如何利用二次函数求最值？注意对项的系数进行讨论了吗？若恒成立，你对=0的情况进行讨论了吗？若改为二次不等式恒成立，情况又怎么样呢？8.（1）二次函数的三种形式：一般式、交点式和顶点式，你了解各自的特点吗？（2）二次函数与二次方程及一元二次不等式之间的关系你清楚吗？你能相互转化吗？（3）方程有解问题，你会求解吗？处理的方法有几种？过关题：（1）不等式a x 2 + b x + 2 0的解集为，则a + b = .（2）方程2sin 2 x sinx + a 1 = 0有实数解，则a的取值范围是 .特别提醒：二次方程的两根即为不等式解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。对二次函数，你了解系数对图象开口方向、在轴上的截距、对称轴等的影响吗？对函数若定义域为R，则的判别式小于零；若值域为R，则的判别式大于或等于零，你了解其道理吗？例如：y = lg(x 2 + 1)的值域为 ，y = lg(x 2 1) 的值域为 ，你有点体会吗？9.求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？如求函数的单调增区间？再如已知函数在区间上单调增，你会求的范围吗？若函数的单调增区间为，则的范围是什么？若函数在上单调递增，则的范围是什么？ 两题结果为什么不一样呢？ 10.函数单调性的证明方法是什么？（定义法、导数法）,判定和证明是两回事呀！判断方法：图象法、复合函数法等。 还记得函数单调性与奇偶性综合运用的例子吗？（ 比较大小； 解不等式； 求参数的范围。）如已知，求的范围。 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”；单调区间是区间不能用集合或不等式表示。11.判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性的必要非充分条件）。过关题：f (x) = a x 2 + b x + 3 a + b是偶函数，其定义域为a 1, 2a，则a= , b= 。12. 周期函数的定义是什么？有关周期函数的结论还记得多少？ 周期函数对定义域有什么要求吗？13.以下几个结论你记住了吗？ 如果函数的图象关于直线对称，那么函数满足关系为 ，且函数若为奇函数，则函数的周期为 。 如果函数满足关于点（a,b）中心对称，那么函数满足关系式为 ； 如果函数的图象既关于直线成轴对称，又关于点成中心对称，那么是周期函数，周期是=。（4），则的图象关于对称。 过关题：已知函数f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，且满足g (x) = f (x 1)，则f (2006) + f (2007) + f (2008) = .14.常见函数的图象作法你掌握了吗？哪三种图象变换法？（平移、对称、伸缩变换） 函数的图象不可能关于轴对称，（为什么？）如：y 2 = 4x是函数吗？ 函数图象与轴的垂线至多一个公共点，但与轴的垂线的公共点可能没有，也可能任意个； 函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象；如圆；图象关于轴对称的函数是偶函数，图象关于原点对称的函数是奇函数。指数函数与对数函数关于直线对称，你知道吗？过关题：（1）函数y = 2f (x 1)的图象可以由函数y = f (x)的图象经过怎样的变换得到？（2）已知函数y = f (x) (axb)，则集合(x, y)| y = f (x) ,axb (x, y)| x = 0中，含有元素的个数为（ ） A. 0或1 B. 0 C. 1 D. 无数个15.由函数图象怎么得到函数的图象？由函数图象怎么得到函数的图象？由函数图象怎么得到函数的图象？由函数图象怎么得到函数的图象？ 曲线关于轴的对称的曲线是： 。 曲线关于轴的对称的曲线是： 。 曲线关于直线的对称的曲线是： 。 曲线关于直线对称的曲线是： 。 曲线关于直线的对称的曲线是： 。 曲线关于直线的对称的曲线是： 。 曲线关于直线对称的曲线是： 。 曲线关于直线对称的曲线是： 。 曲线关于原点的对称的曲线是： 。 曲线关于点A对称的曲线是： 。 曲线绕原点逆时针旋转90，所得曲线的方程是： 曲线绕原点顺时针旋转90，所得曲线的方程是： 过关题：将函数f (x) = log 2 x的图象绕原点逆时针旋转90得到g (x)的图象对应的函数为 。则g (-2)= . f (x) = log 2 x关于直线的对称函数（反函数） 。16.函数的图象及单调区间掌握了吗？如何利用它求函数的最值？与利用基本不等式求最值的联系是什么？若0呢？你知道函数的单调区间吗？（该函数在或上单调递增；在或上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！求函数的最值，一般要指出取得最值时相应的自变量的值。17.(1)切记：研究函数性质注意一定在该函数的定义域内进行！一般是先求定义域，后化简，再研究性质。过关题：（1）的单调递增区间是_(答：（1,2）)。（2）已知函数f (x) = log 3 x + 2, x1, 9，则函数g (x) = f (x) 2 + f (x 2)的最大值为 。求解中你注意到函数g (x)的定义域吗？ (2)抽象函数在填空题中，你会用特殊函数去验证吗？过关题：已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则_（答：0）几类常见的抽象函数 ：正比例函数型： -；幂函数型： -，；指数函数型： -，； 对数函数型： -，；三角函数型： - 。18.解对数函数问题时注意到真数与底数的限制条件了吗？指数、对数函数的图象特征与性质明确了吗？对指数函数，底数与1的接近程度确定了其图象与直线接近程度；对数函数呢？ 你还记得对数恒等式（）和换底公式吗？知道：吗？指数式、对数式：，。如的值为_(答：)19.你还记得什么叫终边相同的角？若角与的终边相同，则 若角与的终边共线，则： 若角与的终边关于轴对称，则： 若角与的终边关于轴对称，则： 若角与的终边关于原点对称，则： 若角与的终边关于直线对称，则： 各象限三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦；150角的正弦、余弦值还记得吗？ 20.什么叫正弦线、余弦线、正切线？借助于三角函数线解三角不等式或不等式组的步骤还清楚吗？如：； 由三角函数线，我们很容易得到函数，和的单调区间；三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出它们的单调区间、对称中心、对称轴及其取得最值时的值的集合吗？（别忘了）函数y =2sin( 2x)的单调区间是吗？你知道错误的原因吗？图象的对称中心是点，而不是点你可不能搞错了！你会用单位圆比较sinx与cosx的大小吗？当时，x, sinx, tanx的大小关系如何？过关题：函数与函数图象在x-2,2上的交点的个数有 个？21.三角函数诱导公式还记得吗？要注意符号与函数名称的变化啊！（奇变偶不变，符号看象限）同角三角函数关系式呢？三者之间的关系还清楚吗？过关题19：求函数y = sin2x + sinx + cosx的值域。22.三角公式中，两角的和、差公式及其逆用、变形用都掌握了吗？倍角公式、降次公式呢？中角是如何确定的？（可由确定，也可由及的符号来确定）公式的作用太多了，有此体会吗？特别地： ， ， 重要公式： ；; 等，特殊角三角函数值你记清楚了吗？如：函数的单调递增区间为_（答：）巧变角：如，等），如：（1）已知，那么的值是_（答：）；（2）已知为锐角，则与的函数关系为_（答：）（3）若x =是函数y = a sinx b cosx的一条对称轴，则函数y = b sinx a cosx的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 23.会用五点法画的草图吗？哪五点？会根据图象求参数A、的值吗？什么是振幅、初相、相位、频率？24.你对三角变换中的几种常见变换清楚吗？（1）角的变换:和差、倍角公式、异角化同角、单复角互化；（2）名的变换：切割化弦；（3）次的变换：降幂公式；（4）形的变换：通分、去根式、1的代换）等，这些统称为1的代换。25.在已知三角函数中求一个角时，你（1）注意考虑两方面了吗？（先判定角的范围，再求出某一个三角函数值）（2）注意考虑到函数的单调性吗？过关题：（1） 。（2）若 则= 。26.形如+b，的最小正周期会求吗？27. 你会叙述由的图象得到图象的过程吗？+b与y=sinx变换关系:正左移负右移；b正上移负下移; 过关题：函数的图象是由函数的图象经过怎样变换得到的？28.在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖出正余弦的有界性了吗？过关题：已知，求的变化范围。提示：整体换元，令= t，然后与相加、相减，求交集。29.你还记得弧度制下的弧长公式和扇形面积公式吗？ 若是角度，公式又是什么形式呢？过关题:（1）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2），（2）曲线（为参数,且）的长度为 .30.三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗？ 内角和定理：三角形三内角和为, , 正弦定理：（R为三角形外接圆的半径）, 注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解 余弦定理：，等，常选用余弦定理鉴定三角形的类型。 面积公式：，内切圆半径r= （5）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，大角对大边，大边对大角，你注意到了吗？，你会证明吗？ （6）已知时三角形解的个数的判定： AbaCh其中h=bsinA,A为锐角时：ah时，无解；a=h时，一解（直角）；hab时，一解（锐角）。 （7）三角形为锐角三角形满足什么条件？31常见的三角换元法：已知，可设；已知，可设()；已知，可设；32.重要不等式指哪几个不等式？若，（1）（当且仅当时取等号） ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。（）等号成立的条件是什么？基本变形： ； ；36.倒数法则还记得吗？（指，常用如下形式：，）用此求值域的注意点是什么？如求函数的值域，求函数的值域呢？33.极值定理的内容是什么？利用重要不等式求函数的最值时，是否注意到一正，二定，三相等？运用时有哪些变换技巧？（拆、配、凑等）如：函数的最小值 。（答：8）若若，则的最小值是_（答：）；正数满足，则的最小值为_（答：）；34.二元函数求最值的三种方法掌握了吗？方法一：转化为一元问题，用消元或换元的方法；方法二：利用基本不等式；方法三：数形结合法，距离型、截距型、斜率型） 过关题：若正数a, b满足a b = a + b + 3, 则a + b 的取值范围是 。（答：）35.不等式的大小比较，你会用特殊值比较吗？ 过关题：已知a b 0，且a b = 1，设，则 A. P M N B. M P N C. N P M D. P N 0.求数列a n的通项公式;由，求数列通项时注意到了吗？一般情况是：45.立体几何中平行、垂直关系证明思路明确了吗？各种平行、垂直转换的条件是什么？空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法直线与平面: a、a=A (a) 、a平面与平面:、=a线/线线/面面/面，线线线面面面。常用定理:线面平行;线线平行:;面面平行:;线线垂直:;所成角900；(三垂线);逆定理?线面垂直:;面面垂直：二面角900; ;46.（1）有关长方体的性质和结论，你记得吗？（2）有关正四面体的性质和结论，你记得吗？正方体中有一个正四面体的模型，你知道吗？你能灵活运用吗？正四面体的内切球半径r与外接球的半径R之比为 ，它们与正四面体的高h之间的关系分别为 、 。（3）正三棱锥、正四棱锥的性质，你记得吗？它们的特征直角三角形，你会应用吗？（4）求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法）（5）求多面体体积的常规方法有哪些？（直接法、等体积法、割补法）47.球的表面积、柱、锥、球的表面积会求吗？体积公式都记得吗？过关题：一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为49。48.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量的起点、终点及其坐标的特征 几个概念：零向量、单位向量、与同方向的单位向量，平行向量，相等向量，相反向量，以及一个向量在另一向量上的投影（在方向上的投影是, 为向量与的夹角）一定要记住! 过关题：在直角坐标平面上，向量与在直线l上的射影长度相等，则l的斜率为 . 和0是有区别的了，的模是0，它不是没有方向，而是方向不确定；可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直。 若，则，但是由，不能得到或，你知道理由吗？ 还有：时，成立，但是由不能得到，即消去律不成立。49.向量中的重要结论记住了吗？如：在三角形中，点为边的中点，则；已知直线外一点，点在直线上的充要条件为。（三点共线）50你会用向量法证明垂直、平行和共线及判断三角形的形状吗？51.向量运算的有关性质你记住了吗？数乘向量，向量的数量积，向量的平行，向量的垂直，向量夹角的求法，两向量的夹角为锐角等价于其数量积大于零吗？（不等价）向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。)、共线向量、相等向量注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）52、加、减法的平行四边形与三角形法则:; 53、向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；。如已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_（答：或且）；向量b在方向上的投影bcos和是平面一组基底,则该平面任一向量(唯一)特别：则是三点P、A、B共线的充要条件，向量基本定理是什么？54.任何直线都有倾斜角，但只有倾斜角不等于直角的直线才有斜率，直线的斜率公式、点到直线的距离公式记住了吗？ 直线的倾斜角的范围是什么？有关直线的倾斜角及范围，你会求吗？ 如：直线x cos + y 1 = 0 (R)的倾斜角的范围是 .倾斜角0,=900斜率不存在;斜率k=tan=对不重合的两条直线，有， 55.在用点斜式、斜截式求直线方程时，你是否注意到了所设直线是否有斜率不存在的情况？ 方程：只能表示过点斜率存在的直线，而方程：则能表示过点且斜率不为零的直线，具体在什么情况下选选择哪种形式？你清楚吗？ 直线方程:点斜式 y-y1=k(x-x1);斜截式y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0两点式:;截距式:(a0;b0);求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解,直线Ax+By+C=0的方向向量为=(A,-B)56.方程：中的几何意义是什么？57.截距是距离吗？“截距相等”意味什么？什么样的直线其方程有截距式？（斜率存在，斜率不为零，且不过原点） 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零，直线在两轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线在两轴上的截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点。 平行线系、垂直线系、经过两直线交点的直线系方程你都知道吗？ 过关题：过点(1, 2)且在坐标轴上截距相等的直线方程为 。58.（1）方程x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0表示圆的充要条件是什么？二元二次方程表示圆的充要条件是什么？（2）点和圆的位置关系怎么判断？当点在圆上、圆外时怎么求切线的？当点在圆外时，切线长、切点弦所在直线的方程，你记得求法吗？ 如：过点(1, 2)总可以作两条直线与圆x 2 + y 2 +k x + 2y + 5 = 0相切，则实数k的取值范围是 ，在求解时，你注意到x 2 + y 2 +k x + 2y + 5 = 0表示圆的充要条件吗？ 过点P (2, 3)向圆 (x 1) 2 + (y 1) 2 = 1引切线，则切点弦方程为 .（3）直线和圆的位置关系利用什么方法判定？（圆心到直线的距离与圆的半径的比较或用代数方法）直线与圆锥曲线的位置关系怎样判断？(4)圆:标准方程(xa)2+(yb)2=r2;一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)参数方程:;直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(5)若(x0-a)2+(y0-b)2r2),则 P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内(上、外) (6)直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt解决弦长问题，又:r相离;d=r相切;dr+R两圆相离;dr+R两圆相外切;|Rr|dr+R两圆相交;d|Rr|两圆相内切;db0);参数方程定义:=e2ce=,a2=b2+c2长轴长为2a，短轴长为2b焦半径左PF1=a+ex,右PF2=a-ex;左焦点弦,右焦点弦准线x=、通径(最短焦点弦),焦准距p=,当P为短轴端点时PF1F2最大,近地a-c远地a+c;双曲线方程(a,b0)定义:=e1;|PF1|-|PF2|=2a0,b0）的渐近线：； 共渐进线的双曲线标准方程为为参数，0）；双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；（6）抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB性质： x1x2=；y1y2=p2；直线与圆锥曲线问题解法：（要求降低）直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（代点相减法）：-处理弦中点问题步骤如下：设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得；解决问题。68.解应用题应注意的最基本要求是什么？（审题、找准题目中的关键词，设未知数，列出函数关系式，代入初始条件，注明单位，写好答语）69.导数的定义还记得吗？它的几何意义和物理意义分别是什么？利用导数可解决哪些问题？具体步骤还记得吗？70.利用导数求曲线的切线的步骤是什么？ 一般都是设切点，求导函数在切点处的函数值，写切线方程。71.利用导数求函数单调区间时，一般由解得的区间是单调增区间；利用导数求函数最值的步骤你还清楚吗？最好是列表！“函数在某点取得极值”你会灵活应用吗？不仅表示在该点的导函数值为零，而且导函数在该点两侧函数值的符号相异的。72.函数在上可导，若恒成立，则在上递增（递减）；反之呢？函数在上可导，若在处取得极值，则。反之呢？导数应用:过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数过点作曲线的切线，求此切线的方程。（答：或）。 研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f/(x)0得增区间;解不等式f/(x)0得减区间;注意f/(x)=0的点; 如：设函数在上单调函数，则实数的取值范围_（答：）；求极值、最值步骤:求导数;求的根;检验在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. （4）解决不等式恒成立问题以及应用题。如：（1）函数在0，3上的最大值、最小值分别是_（答：5；）；（2）已知函数在区间1,2 上是减函数，那么bc有最_值_答：大，）（3）方程的实根的个数为_（答：1）73（1）常见函数的导数公式: ； 。复合函数的导数：（2）导数的四则运算法则：特别提醒：（1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是0，0是为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数处有极小值10，则a+b的值为_（答：7）74.三次多项式的图形和它的性质你了解吗？这对把握考点“利用导数研究函数的单调性，极值，函数的最小和最大”有极大的帮助。90.会用导数研究高次方程的根的问题吗？过关题：（1）函数f (x) = x 3 + 3x 2 9x + 5与x轴交点的个数为 （ ） A. 1