整数性函数与数论表达式.doc

整数性函数与数论表达式李明波（河北荣盛集团 河北廊坊 065001）引言作者在2003年给出了所有素数的一元函数表达式（定理3.1），同时总结出一个极为浅显的数学定理（定理1.1）。后来作者发现，就是这个被称为整数性函数的工具，竟可轻而易举地解决一大批超级数论难题。因本文定理都非常浅显，故其证明均被略去。若无特殊说明，本文用英文字母表示整数、n表示正整数。1 整数性函数定理1.1 当 x为整数时，；当x不为整数时， 。受谭笑风（他在东陆论坛上的近期文章因网站设备故障，已被遗失）等人的启发，作者又得以概括出了以下两个定理：定理1.2 设x0，当x为整数时， ；当x不为整数时， 。定理1.3 设x0，当x为整数时，；当x不为整数时， 。我们称当 x为整数时，其函数值是1；当x不为整数时，其函数值是0这样的函数，为关于x的整数性函数。上述3个定理，使用起来更为方便简洁的还得属定理1.1。2 整数性函数的应用技巧数论定理结论的典型形式有、a=b或a=b=c。下面结合以上三种形式，给出套用整数性函数若干技巧的定理。2.1 同余式的整数转化定理2.1 当且仅当时，为整数。 2.2等式的整数转化定理2.2 若a、b均为正整数，当且仅当a=b时，为整数。定理2.3 若a、b、c均为大于1的正整数，当且仅当a=b=c时， 为整数。下面介绍整数性函数在数论表达式中的应用。3 所有素数的一元函数表达式作者否了定当今的威尔逊定理，给出如下的纠正引理文献1：引理3.1 n+1是素数的充要条件是为整数。引理3.2 2n+1是奇素数的充要条件是为整数。由此结合定理1.1极易证明如下定理文献2：定理 3.1 一元函数恰可表达所有素数。定理3.2 一元函数恰可表达所有奇素数。4 素数个数表达式其实，这完全是整数性函数一个极为浅显的副产品。即若用(n+1)表示不超过n+1 的素数个数，则有定理4.1 。5 所有合数的一元函数表达式作者也曾证明了如下引理文献3：引理5.1 n+1是合数的充要条件是为整数。引理5.2 n+4是合数的充要条件是为整数。引理5.3 2n+7是奇合数的充要条件是为整数。由此结合定理1.1极易证明如下定理：定理5.1 一元函数恰可表达所有合数。定理5.2 一元函数恰可表达所有奇合数。6 合数个数表达式其实，这也完全是整数性函数一个极为浅显的副产品。即若用(n+1)表示不超过n+1 的合数个数，则有定理6.1 。7 所有孪生素数的一元函数表达式称相差2的两个素数为孪生素数。第一组孪生素数是（3，5）。文献4中“证明”了这样一个命题：p和p+2是一组孪生素数的充要条件是。但是，由于该命题的证明基于过去的“威尔逊定理”，而威尔逊定理存在反例p=1文献1，故用该命题会给出（1，3）也是一组孪生素数的荒诞结果（这是一个稍有异议的问题，但古希腊时期的数学和当今数学主流都规定1是单位数，而不是素数）。其实，只要我们对它做限定p1便可予以纠正。现在，我们设n1,并用2n-1代替p、用2n+1代替p+2，则上述命题被纠正后便可改写成：引理7.1 设n1,则 2n-1和2n+1是一组孪生素数的充要条件是为整数。由此极易证明如下定理：定理7.1 设n1,则一元函数组，恰可表达所有孪生素数。8 孪生素数组数表达式这又是一个整数性函数一个极为浅显的副产品。定理8.1 设n1,不超过2n+1孪生素数的组数为。9 所有费马素数的一元函数表达式当n0时，称型为的素数为费马素数。第一个费马素数的3。应用引理3.1和定理1.1立可证得：定理9.1 当n0时，一元函数恰可表达所有费马素数。10 费马素数个数表达式定理10.1 不超过的费马素数个数为。11 所有默森素数的一元函数表达式称型为的素数为默森素数。第一个默森素数是3。应用引理3.1和定理1.1立可证得：定理11.1 当n1时，一元函数恰可表达所有默森素数。12 默森素数个数表达式定理12.1 当n1时，不超过的默森素数个数为。13 整数因子个数极其和的表达式在整数性函数的理论下，我们可对整数的因子个数及其和给出全新的表达式。用d(n)表示n的正因子个数（包括1和n ），用(n)表示它们的和文献5，即， （但是，前面的两个式子其实只不过是对求d(n)和(n)的算法描述而已，所以它们并非是真正意义上的公式，也是如此），则有定理13.1 。定理13.2 。14 所有偶完全数的一元函数表达式所有偶完全数的形式为，其中是素数文献5。第一个偶完全数是6。定理14.1 当n1时，一元函恰可表达所有偶完全数。15 偶完全数个数表达式定理15.1 当n1时，不超过的偶完全数的个数为。16 所有完全数的一元函数表达式当且仅当一个正整数等于除它自身以外的各个正因子之和时，称这个数为完全数。第一个完全数是6。引理16.1文献5 n是完全数的充要条件为(n)=2n。结合定理13.2可得：引理16.2 n是完全数的充要条件为。利用引理16.2和定理2.2立可证明：定理16.1 一元函数恰可表达所有完全数。应说明的是：其实仍属一元函数，它只是貌似二元函数罢了。17 完全数个数表达式定理17.1 不超过 n 的完全数个数为。18 所有亲和数的二元函数表达式引理18.1文献5 m和n是亲和数的充要条件为(m)=(n)= m+n。第一对亲和数是220和284。结合定理13.2立可推得：引理18.2 m和n是亲和数的充要条件为。用定理2.3立可推得：定理18.1 二元函数组恰可表达所有组亲和数。19 亲和数组数表达式定理19.1 不超过M的亲和数组数为19 结语目前数论中的许多著名结论，如拉格朗日的每个正整数都可表为四个平方数之和的结果、西尔伯特基本上解决了华林问题的结果、陈景润的“1+2”结果，它们都是一些写不出具体表达式的存在性定理文献6。比较而言，整数性函数以其清晰的概念为我们立下赫赫战功，使一大批数论表达式问题得到了解决，它不仅表明了这些数论表达式的存在性，而且还可以让我们明确地写出。尽管这些表达式目前若用于实际计算是相当困难的，但是有了这些结果，毕竟比我们在问题面前束手无策要强出百倍。整数性函数，正在向我们昭示着数论新的黎明和曙光。问题思考1. 在定理2.3中，“若a、b、c均为大于1的正整数”，则显然会有。但若将条件强化成“a、b、c均为正整数”，则应有，所以这牵涉到判断不定方程是否有正整数解，这是一个作者暂时没有搞清的问题。另外，还会有比此更简洁的替代条件吗？（平方改为绝对值的情况除外）2.由于亲和数目前没有象孪生素数那样的引理7.1，所以作者没能给出其一元函数表达式。寻求亲和数的一元的表达式，仍是有待于继续研究的问题。参考文献1 李明波 等.对威尔逊定理的质疑A.李长江、赵春秀编.当代学术研究C.沈阳：沈阳出版社，2003：2162 李明波.所有素数的一元函数表达式EB/OL.http:/东陆论坛，2005年2月4日（后补稿，因网站设备故障，原稿网上遗失）3 李明波.所有合数的一元函数表达式EB/OL.http:/东陆论坛，2005年2月4日（后补稿，因网站设备故障，原稿网上遗失）4 曾荣、王玉.基础数论典型题解300例M.长沙：湖南科学技术出版社，1982：207，2175 U.杜德利.基础数论M.周仲良译.上海：上海科学技术出版社，1980：55，62，63，666 李毓佩.不知道的世界.数学篇M.北京：中国少年儿童出版社，1998：53 2005年2月14日李明波 简介：男，出生于1963年12月14日，辽宁鞍山甘泉人，建筑专业高级工程师。1980年9月1在中国第三冶金建设公司参加工作做力工，1982年9月1日考入鞍钢工学院工业与民用建筑系，毕业后一直从事建筑行业的技术工作，包括施工方、甲方、监理、设计。在建筑、数学、发明领域发表过许多论文，并在三个领域均荣获辽宁省奖励，有两项发明荣获国家专利权，28岁时被奖励一户住房。先后被破格晋升中、高两级职称（晋中级时提前2年）。1991年加入中国数学会，业余爱好还有：美术、书法、诗歌。1、 在建筑方面的主要成就1、当时任鞍山市国税局综合楼工程技术负责人，该工程于1996年被评为辽宁省优质工程。2、1993年，纠正了前苏联建筑专家斯托鲁任科对钢管混凝土承载力定积分结果的诸多错误。3、1996年，解决了建筑工程界技术难题：四角附着塔式起重机附着杆内力计算。4、2005年，任房地产总工期间创立户型快速组合法，在河北廊坊阿尔卡迪亚小区规划设计详规中实施，为房地产创造数千万利润。5、2007年在北京奥运场馆建设中，获北京远达国际工程管理公司颁发的个人成绩突出奖。2、 在数学方面的主要成就1、 数学界讲究如何对较小整数进行简单运算去逼近，被印度誉为国宝的数学家拉马努金用=3.1415926525（ -1/109）超越了让中国人引以为荣的祖冲之密率355/113=3.1415929（3/107），李明波用22/17+37/47+88/83=3.1415926534（ -1/1010）突破了拉马努金的上述结果。注：=3.14159265358979323846。2、 纠正了有200多年历史的威尔逊定理，指出威尔逊定理存在唯一反例n=1。3、 给出了所有素数一元函数公式、，n为正整数，这两结果超越了国外数学家相应的二元函数素数公式。4、发现了用三边表三角形面积的新公式。5、发现了双魔定理。魔叶定理：以三角形边为一边做向外（或内）作正n边形，将正n边形中心与三角形对角顶连线，这样的三条线共点；魔星定理：三角形内角（或外角）n等分角线交点与三角形对角顶连线，这样的三线共点。6、通过对拿破仑三角形的研究，给出了拿破仑-李明波正六边形定理：以三角形边为一边在三角形外（或内）做正三角形ABC、ACB、BCA，则这三个正三角形的重心与