控制工程基础燕山大学孔祥东答案与解答.pdf

4-2设开环系统的零点、极点在 s 平面上的分布如图 4-15 所示，试绘制根轨迹草图。 图 4-15 题 4-2 图 解： 4-3已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制当增益 K1 变化时系统的根轨迹图。 （1）. 52 1 sss K sG （2）. 102 2 2 1 2 ss sK sG 解： （1）. 开环极点为5, 2, 0 321 ppp 0 0 0 0 j j j j 0 j 0 j 0 j 0 j 0 0 0 0 j j j j 0 j 0 j 0 j 0 j 批注批注 x1: 2、3、4 曲线部分可以证明为一段圆弧 5、6、7 不会从开环极点直接垂直向上（下） ，根据渐近线 的交点及出射角必然有图示的起始形状 无有限开环零点。示如图 法则 2：有三条趋向无穷的根轨迹。 法则 3：实轴上的根轨迹：0-2，-5-。 法则 4：渐近线相角： 0q 1q 60 180 3 12180 12180 a q mn q 法则 5：渐近线交点：33. 2 3 7 3 520 11 a mn zp n i m j ji ，得渐近线如图 示。 法则 6：分离点：ssssssK10752 23 1 010143 107 2 23 1 ss ds sssd ds dK 得： 3 197 6 10341414 2 2, 1 s， 0 j -2 -5 j3.16 -0.88 -2.33 -j3.16 批注批注 x2: 根轨迹图应按正式作图进行，一般根轨迹应表示出和虚轴 的交点（如果有的话） 应根据根轨迹的八条规则逐条进行计算分析 其中88. 0 3 197 1 s为实际分离点， 分离角为： 90 2 12180 q 。如图示。 法则 8：虚轴交点：令js 代入特征方程0107 1 23 Ksss，得： 0107 1 23 Kjj 07 010 1 2 3 K jj 70 16. 310 1 K 综上所述，根轨迹如图红线所示。 （2）. 102 2 2 1 2 ss sK sG 开环极点为31 2, 1 jp 开环零点为2 1 z。示如图 0 j -1+j3 -2 -1-j3 -5.16 6 .161 6 .161 批注批注 x3: 曲线部分为圆弧，所有的数据应该在图上标出 根据规则逐条进行计算分析 法则 2：有 1 条趋向无穷的根轨迹。 法则 3：实轴上的根轨迹： -2-。 法则 6：分离点： 2 102 2 1 s ss K 0 2 64 2 102222 2 2 2 2 1 s ss s ssss ds dK 得： 16. 5 16. 1 102 2 6444 2 2, 1 s， 其中16. 5 1 s为实际分离点，分离角为： 90 2 12180 q 。如图示。 法则 7：出射角： 4 .1890 12 3 arctan pz 得 6 .16112180 1 q p 法则 1：对称性可得： 6 .161 2 p 综上所述，根轨迹如图红线所示。 4-9 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为 4514 2 1 sss K sG 【试绘制当增益 K1 变化时系统的根轨迹图，并求： 】 （1） 系统无超调的 K1值范围。 （2） 确定使系统产生持续振荡的 K1值，并求此时的振荡频率 （3） 【判断 s=-1.5+j3.12 是否在根轨迹上？若在，求另外两个根及对应的 K1值。 （4） 闭环极点都在=-1 左侧的 K1值范围。 】 解： 开环极点为 9 5 27, 0 3 , 21 pp 渐近线相角： 0q 1q 60 180 3 12180 12180 a q mn q 批注批注 x4: 红色字体为第二次印刷增加的内容 渐近线交点：67. 4 3 14 3 950 11 a mn zp n i m j ji 。 分离点：sssK4514 23 1 045283 21 ss ds dK 得： 27. 7 06. 2 3 6114 6 45342828 2 2, 1 s， 其中06. 2 1 s为实际分离点， 此时03.4206. 24506. 21406. 2 23 1 K。 分离角为： 90 2 12180 q 虚轴交点：令js 代入特征方程04514 1 23 Ksss，得： 04514 1 23 Kjj 014 045 1 2 3 K jj 630 7 . 653 1 K 画系统的根轨迹，如图示。 0 j -5 -4.67 -9 -2.06 -j6.7 j6.7 -1 批注批注 x5: 根轨迹图应按正式作图进行，一般根轨迹应表 示出和虚轴的交点（如果有的话） 由根轨迹图可得： （1） 系统无超调的 K1值范围为保持所有根轨迹在负实轴时（分离点之前的部分） ， 即03.420 1 K。 （2） 确定使系统产生持续振荡的 K1值为与虚轴交点时，即630 1 K。此时的振荡 频率为无阻尼自然频率，即闭环极点的虚部：7 . 6 n 。 （3） 【若 s=-1.5+j3.12 在根轨迹上，则应满足相角条件。 即G(s)H(s)=180(2q+1). 180 5 . 19 12. 3 arctan 5 . 15 12. 3 arctan 5 . 1 12. 3 arctan180 95 sss 所以满足相角条件，是在根轨迹上。 由于复数根应共轭，所以另外一个根为：s2=-1.5-j3.12 又由于分子的阶次低于分母的阶次超过了二阶，所以闭环特征方程的根的和 应等于开环极点的和。 即：s+s2+s3=0+(-5)+(-9)=-14 得第三个根为： s3=-14-s-s2=-11 根据幅值条件可得此时对应的 K1值为： 1324511-1411114514K 2 2 1 sss （4） 由根轨迹图可知， 在-9 左边的一条根轨迹的实部在整个 K1的取值范围内均满足 实部小于-1 在实轴0,-5之间存在一个最小的 K1，其值为当 s=-1 时的值。即： 32451-14114514K 2 2 1 sss 另外在复平面上还有一个最大的 K1，其闭环极点为 s1,2=-1j,此时对应的第 三个闭环极点 s3=-14-s1-s2=-12 根据幅值条件可得此时对应的 K1值为： 2524512-1421214514K 2 2 1 sss 即闭环极点都在=-1 左侧的 K1值范围为：252K32 1 】 4-10 设单位负反馈系统的开环传递函数为 2 2 1 ss K sG 批注批注 x6: 如果将其代入增益函数内，则易出现由于计算 误差而发生 K1 有虚部而被判定不在根轨迹上。 批注批注 x7: 也可以将 s12 直接代入求得 批注批注 x8: 还可采用第三章作业中一道类似题目的解法进 行求解 （1） 试绘制根轨迹的大致图形，并对系统的稳定性进行分析。 （2） 若增加一个零点 z=-1，试问根轨迹图有何变化，对系统的稳定性有何影响。 解： （1） 画系统的根轨迹，如图红线所示。 其中：渐近线相角： 0q 1q 60 180 3 12180 12180 a q mn q 渐近线交点：67. 0 3 2 3 20 11 a mn zp n i m j ji 。 分离点在原点处，分离角为： 90 2 12180 q 。 可见系统除在 K1=0 时处于临界稳定之外，系统均处于不稳定状态。 （2） 增加一个零点 z=-1 后的根轨迹如图蓝线所示。 其中：渐近线相角： 90 2 12180 12180 a q mn q 渐近线交点：5 . 0 2 1 2 120 11 a mn zp n i m j ji 。 分离点在原点处，分离角为： 90 2 12180 q 。 使根轨迹向左移动进入左半平面，由根轨迹图可知此时除在 K1=0 时处于临界稳定 之外，系统均处于稳