《固体物理学黄昆》课后习题答案.pdf

1 1.2 1.10答案在王矜奉固体物理概念题和习题指导p10 第 17 题 3.10 设晶体中每个振子的零点振动能为设晶体中每个振子的零点振动能为 1 2 ，使用德拜模型求晶体的零点振动能。，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能 0 E就是各振动 2 模零点能之和。 000 0 1 2 m EEgdE 将和 2 23 3 2 s V g v 代入积分有 4 0 23 39 168 mm s V EN v ，由于 0 9 8 mBDBD kENk得 一股晶体德拜温度为 2 10 K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能 相比拟 4.1，根据，根据k a 状态简并微扰结果，求出与状态简并微扰结果，求出与E及及E相应的波函数相应的波函数及及?，并说明它们 的特性说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 ，并说明它们 的特性说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 2 说明能隙的来源说明能隙的来源(假设假设 n V= * n V)。 解令k a ，k a ，简并微扰波函数为 00 ( )( ) kk AxBx 0* ( )0 n EkE A V B 0 0 n V AEkE B 取EE 带入上式，其中 0( ) n EEkV V(x)0,0 n V,从上式得到 B= -A,于是 00 ( )( ) nn ixix aa kk A Axxee L = 2 sin An x aL 取EE， 0( ) n EEkV , nn V AV BAB 得到 00 ( )( ) nn ixix aa kk A Axxee L = 2 cos An x aL 由教材可知， 及 均为驻波 在驻波状态下，电子的平均速度( )k为零产生 驻波因为电子波矢 n k a 时，电子波的波长 22a kn ，恰好满足布拉格发射条件，这 时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入 能量。 3 2.1，马德隆常数的计算，马德隆常数的计算 解 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键， 取任一负离子作参考离 子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表 示相邻离子间的距离，于是有 ( 1)1111 2. 234 j ij rrrrrr 前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 i r的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面， 故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为 234 (1). 34 n xxx xx x 当 X=1 时，有 111 1.2 234 n 4.3， 电子在周期场中的势能电子在周期场中的势能 222 1 (), 2 mbxna nabxnab当 ( )V x 0 ， xnab当(n-1)a+b 其中其中 d4b，是常数试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度是常数试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度 解(I)题设势能曲线如下图所示 (2)势能的平均值：由图可见，( )V x是个以a为周期的周期函数，所以 111 21. 234 22 n 4 111 ( )( )( )( ) aa b Lbb V xV xV x dxV x dx Laa 题设4ab，故积分上限应为3abb，但由于在,3bb区间内( )0V x，故只需在 , b b区间内积分这时，0n ，于是 22 22232 111 ( )() 2236 bb bb bb bb mm VV x dxbxdxb xxm b aaa 。 （3） ，势能在-2b,2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数 2 0 00 21 ( )cos,( )cos( )cos 2222 bb mm m mmm V xVVx VV xxdxV xxdx bbbbb 11 2 22 1 0 2,1()cos 2 b gg mx EVmEbxdx bb 第一个禁带宽度以代入上式, 利用积分公式 2 23 2 cossin2cossin u umudumumumumu mm 得 2 2 3 16m b 1 g E第二个禁带宽度 2 2 2,2 g EVm以代入上式,代入上式 2 2 22 0 ()cos b g mx Ebxdx bb 再次利用积分公式有 2 2 2 2m b 2 g E 3.3，考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为，考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为 c 和和 10 c令两种原子质 量相同，且最近邻间距为 令两种原子质 量相同，且最近邻间距为 2 a 求在求在 1s v 和和k a 处的处的( )k大略地画出色散关系此问题模 拟如 大略地画出色散关系此问题模 拟如 2 H这样的双原子分子晶体。这样的双原子分子晶体。 解 a/2 C 10c 1s u 1s v s u s v 1s u 1s v 2 1 2 10 s ssss d u MC VuC Vu dt ， 2 1 2 10, s ssss d V MC uVC uV dt 将 ,. isKai tisKai t ss uueeVVee 代入上式有 2 2 1011, 1011, ika ika MuCeVCu MVC euCV 5 是 U，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为 2 2 11 ,(10) (10),11 iKa iKa MC Ce C eMC =0，解出 2422 2 2220(1)0 11121 20 1. MMCCconKa C conKa M 当 K=0 时， 当 K=/a时 2 2 22/, 0, C M 2 2 20/, 2/, C M C M 2 与K的关系如下图所示这是一个双原子(例如 2 H)晶体 2.6，bcc 和和 fcc Ne 的结合能，用林纳德琼斯的结合能，用林纳德琼斯(LennardJones)势计算势计算 Ne 在在 bcc 和和 fcc 结构中的结合能之比值结构中的结合能之比值 解 126126 1 ( )4()(), ( )(4 )()() 2 nl u ru rNAA rrrr 2 66 612 00 612 ( )1 02 2 r AAdu r ruN rAA 22 066 2 01212 ( )12.25 /9.11 ()/()0.957 ( )14.45 /12.13 bccbcc fccfcc u rAA u rAA 2.7 对于 对于 2 H， 从气体的测量得到， 从气体的测量得到 LennardJones 参数为参数为 6 50 10,2.96.JA 计 算 计 算 fcc 结构的结构的 2 H的结合能的结合能以以 KJ/mol 单位单位)，每个氢分子可当做球形来处理结合能的 实验值为 ，每个氢分子可当做球形来处理结合能的 实验值为 0.751kJmo1，试与计算值比较，试与计算值比较 解 以 2 H为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 LennardJones 势 相互作用，则晶体的总相互作用能为： 126 126 2. ijij ij UNPP RR 612 14.45392;12.13188, ijij ji PP 1623 50 10,2.96 ,6.022 10/.ergA Nmol 6 126 2816 2.962.96 2 6 022 10/50 1012.1314.452.55/. 3.163.16 U UmolergKJ mol 0 将R 代入得到平衡时的晶体总能量为 。 因此， 计算得到的 2 H晶体的结合能为 2 55KJmol， 远大于实验观察值 0.75lKJmo1 对 于 2 H的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造 成理论和实验值之间巨大差别的原因 4.8，证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中 点大 ，证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中 点大 2 倍倍(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区 面心上大多少？ 对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区 面心上大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响 7 解（a）二维简单正方晶格的晶格常数为 a，倒格子晶格基矢 22 ,Ai Bj aa 第一布里渊区如图所示 2 222 ,. , 2 B xyz iBKij aaa KKK m A 区边中点的波矢为K角顶 点的波矢为 自由电子能量 22 222 2 , 222 Ax K mmama A点能量 222 222 22 2, 222 Bxy KK mmaama B点能量所以/2 BA b)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为 222 ,Ai Bj Ck aaa 第一布里渊区如图72所示 a a 0 7 2 2 ; 2 A ma A点能量 2222 222 222 3, 222 Bxyz KKK mmaaama B点能量 所以/3 BA (c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图72所示根据自由电子理 论，自由电子的能量为 2 222 2 xyz KKK m ，FerM面应为球面由(b)可知，内切于 4点的内切球的体积 3 4 3a ，于是在K空间中，内切球内能容纳的电子数为 3 3 4 21.047 33 2 V NN a 其中 3 VNa 二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子1.047个电子， 余下的0.953个电子可填入其它状态中 如果布里渊区边界上存在大的能量间隙， 则余下 的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B点)这样，晶体将只有绝缘体性质然 而由(b)可知，B点的能员比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的事实上， 对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重 迭这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状 态，并形成横跨一、二区的球形Ferm面因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存 在，从而具有导电功能实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带 出现重达，所以可以导电 4.12，正方晶格设有二维正方晶格，晶体势为，正方晶格设有二维正方晶格，晶体势为 22 ,4coscos. xy U x yU aa 用基本方程，近似求出布里渊区角用基本方程，近似求出布里渊区角, a a 处的能隙处的能隙 解以 , i j表示位置矢量的单位矢量，以 12 ,b b表示倒易矢量的单位矢量，则有， 8 1 1221 12212 2 , ,rxiyi GGbG bg bg bg g a 为整数。 晶体势能 22 ,4coscos. xy U x yU aa 2222 11 11 11 ixixiyiy iG G G U rU eeeeUe 111020 .0 GGG UUUU 其中，而其他势能傅氏系数。 这 样 基 本 方 程 ()0 kG G C KU G KG 变为 1111111111111111 0 KG GGG C KUC KGUC KGUC KGUC KG 求布里渊区角顶, a a ，即 1 11 ( , )11 2 22 kGG处的能隙，可利用双项平面波近似 () ()() iKri K G r C K eC KG e 来处理。 当 11 11 ,11 22 KGKG 时依次有 11 1111 ,1111 22 KGGKGG 而其他的11KG， 1111KGG， 所 以 在 双 项 平 面 波 近 似 下 上 式 中 只 有 11 11,1111; 22 11 11,1111; 22 CGC KGCG CGC KGCG 1 11 2 1 11 2 11 11110 22 11 11110 22 G G CGUCG CGUCG 1 11 2G u u 1 11 2G =0，因为 2 222 11 2 1111 22 1 11 22 GG G mma 22 22 2 ()0,UUU ma 由行列式有解得 = 9 2 . u + 所以在（,-）处的能隙为= aa 3.1 ， 已 知 一 维 单 原 子 链 ， 其 中 第， 已 知 一 维 单 原 子 链 ， 其 中 第j个 格 波 ， 在 第个 格 波 ， 在 第n个 格 点 引 起 的 位 移 为 ，个 格 点 引 起 的 位 移 为 ， sin(_) njjjjj atnaq， j 为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均 能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。 为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均 能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。 解任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即 sin() nnjjjjj jj atnaq （1） 2*2* nnjnjnjnjnj jjjjj 由于 njnj 数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相 比是一小量，可以忽略不计。所以 22 nnj j 由于 nj 是时间t的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为 0 222 0 0 11 sin() 2 T jjjjjj atnaqdta T （2） 已知较高温度下的每个格波的能量为KT， nj 的动能时间平均值为 00 2 2 222 000 00 111 sin() 224 LTT njjj njjjjjjj dw a TdxdtLatnaqdtw La TdtT 其中L是原子链的长度，使质量密度， 0 T为周期。 所以 22 11 42 njjj Tw LaKT （3） 因此将此式代入（2）式有 2 2 nj j KT PL 所以每个原子的平均位移为 22 22 1 nnj jjj jj KTKT PLPL 3.9,写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为 0 q Bn q B FUk T k T 证明:量子谐振子的自由能为 1 1 2 q B qk T Bn q B FUk Te k T 经典极限意味着（温度较高） BTg k 10 应用 2 1. x exx 所以 2 1. q B qqk T BB e k Tk T 因此 0 1 1 1 2 qq qBnBn qq BB FUk TUk T k Tk T 其中 0 1 2 q q UU 3.11，一维复式格子，一维复式格子 241 5 1.67 10,4,1.5 10/ M mgN m m 4 ( 1.51 10/),dyn cm即 求（求（1） ，光学波） ，光学波 00 maxmin ,，声学波，声学波 max A 。 （2） ，相应声子能量是多少电子伏。） ，相应声子能量是多少电子伏。 （3） ，在） ，在 300k 时的平均声子数。时的平均声子数。 （4） ，与） ，与 0 max 相对应的电磁波波长在什么波段。相对应的电磁波波长在什么波段。 解（1） ， 4 131 max 24 22 1.5 10/ 3.00 10, 4 5 1.67 10 A dyn cm s M 424 131 max 2424 22 1.5 104 551.67 10/ 6.70 10 4 5 1.67 105 1.67 10 o Mmdyn cm s Mm 4 131 max 24 22 1.5 10/ 5.99 10 5 1.67 10 A dyn cm s m （2） 161312 max 161312 max 161312 min 6.58 105.99 101.97 10 6.58 106.70 104.41 10 6.58 103.00 103.95 10 A o o seV seV seV （3） maxmax maxmax / 11 0.873,0.221 11 AO BB AO k Tk T nn ee min min / 1 0.276 1 O B O k T n e （4） 2 28.1 c m 3.8，有，有 N 个相同原子组成的面积为个相同原子组成的面积为 S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温 极限比热正比与 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温 极限比热正比与 2 T。 证明：在k到kdk间的独立振动模式对应于平面中半径n到ndn间圆环的面积2 ndn， 11 且 2 2 53 2 222 Ls ndnkdkkdkd v 即则 2 33 22 0 /22222 0 333 212121 mDD BB x BBBB k Tk Tx DD d s k Ts k Tk Tk Tsdx dx EE veveve ， 2 0,() vs E TETCT T 3 时， 7.1，InSb 电子有效质量电子有效质量0.015 e mm，介电常数，介电常数18，晶格常数，晶格常数6.49aA 。试计算；。试计算； (1)施主的电离能；施主的电离能；(2)基态轨道的半径；基态轨道的半径；(3)施主均匀分布，相邻杂质原于的轨道之间将产生交 叠时掺有的施主浓度应该高于多少？ 施主均匀分布，相邻杂质原于的轨道之间将产生交 叠时掺有的施主浓度应该高于多少？ 解（1）由于施主电离能 D E是氢原子电离能 i E的 2 0 *m m 倍， 4 2 0 *0.014 13.6 ()6.59 10 () (17) i D m E EeVeV m （2） ， 2 28 00 00 2 417 0.52 ( )6.31 10 ( )6.31 10 ( ) *0.014 m aaAAm m em （3） ，如果施主的电子与类氢基态轨道发生重叠，则均匀分布于InSb中施主杂质浓度 D N就 一定满足 33202 8 3 11 (2 )1,()4.98 10 () 2(2 6.31 10 ) DD aNNm a 4.7,有一一维单原子链。间距为有一一维单原子链。间距为 a。总长度为。总长度为 Na。求（。求（1） ，用紧束缚近似求出原子） ，用紧束缚近似求出原子 s 态能级对 应的能带 态能级对 应的能带 E(k)函数。 （函数。 （2）求出其能态密度函数的表达式。 （）求出其能态密度函数的表达式。 （3） ，如果每个原子） ，如果每个原子 s