上学期工科数学分析基础试题答案.pdf

1 20102010 级级工科数学分析基础工科数学分析基础期中考试期中考试题题 一、填空题一、填空题 ( (每题每题 6 6 分，共分，共 3030 分分) ) 1 1函数函数 2 0 ( ) 1 0 bx abxx f x e x x ， )(lim 0 xf x ，若函数，若函数)(xf在在0x点连续，点连续， 则则ba ,满足满足 。 2 2 x x x x 1 lim ， nnn n nnnn n 222 2 2 1 1 lim 。 3 3 曲线 曲线 tey tex t t cos 2sin 在在1, 0处的切线斜率为处的切线斜率为 ， 切线方程为， 切线方程为 。 4 41 xye yx ，dy ， )0(y 。 5 5若若2 2 lim 2 2 1 xx baxx x ，则，则a ，b 。 一答案、1. bab,；2. 2 1 , 1 e ；3. 022, 2 1 yx 4. 2, dx xe ey yx yx ；5 . 5,4 二、单项选择题二、单项选择题 ( (每题每题 4 4 分分, ,共共 2020 分分) ) 1 1当当0x时，时，11 32 ax与与xcos1是等价无穷小，则（是等价无穷小，则（ ） （A） 3 2 a， （B）3a， (C). 2 3 a， （D）2a 2 2下列下列结论中不正确的是（结论中不正确的是（ ） （A）可导奇函数的导数一定是偶函数；）可导奇函数的导数一定是偶函数； （B）可导偶函数的导数一定是奇函数；）可导偶函数的导数一定是奇函数； (C). 可导周期函数的导数一定是周期函数；可导周期函数的导数一定是周期函数； （D）可导单调增加函）可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数；数的导数一定是单调增加函数； 3设设 x xx xf sin )( 3 ，则其（，则其（ ） （A）有无穷多个第一类间断点；）有无穷多个第一类间断点； （B）只有一个跳跃间断点；）只有一个跳跃间断点； (C). 只有两个可去间断点；只有两个可去间断点； （D）有三个可去间断点；）有三个可去间断点； 4设设xxxxf 3 )(，则使，则使)0( )(n f存在的最高阶数存在的最高阶数n为（为（ ） 。） 。 （A）1 （B）2 (C) 3 （D）4 2 5若若0 )(sin lim 3 0 x xxfx x ， 则则 2 0 )(1 lim x xf x 为（为（ ） 。） 。 （A） 。） 。 0 （B） 6 1 ， (C) 1 （D） 二答案、1. C 2. D 3. D 4. C 5. B 三 （三 （1010 分）求分）求 xx xx x arctantan 211 lim 0 四 （四 （1010 分）设分）设 0, 0, sin)( )( xa x x xxg xf，其中，其中)(xg具有二阶具有二阶连续导数，连续导数，0)0(g， 1)0(g， （， （1 1）求）求a的值使的值使)(xf连续； （连续； （2 2）求）求)(x f ； （； （3 3）讨论）讨论)(x f 连续性。连续性。 五 （五 （1010 分）函数分）函数 0, 4 sin 1 0, 6 0, arcsin )1ln( )( 2 3 x x x axxe x x xx ax xf ax 问问a为何值，为何值，)(xf在在0x处（处（1 1） 连续； （连续； （2 2）为可去）为可去间断点； （间断点； （3）为跳跃间断点； （）为跳跃间断点； （4）为第二类间断点；）为第二类间断点； 六 （六 （1010 分）设分）设14 1 x， 2 1 nn xx ), 2, 1(n， （1 1）求极限）求极限 n n x lim ； （2 2）求极限）求极限 2 1 1 2 )2(4 lim n x n n n x x 七七 （1010 分）设函数分）设函数)(xf在在ba,连续，连续，ba,可导，证明：至少存在一点可导，证明：至少存在一点ba,， 使使 b aff f )()( )( 3 20112011 级级工科数学分析基础工科数学分析基础期中考试期中考试题题 一、填空题一、填空题 ( (每题每题 6 6 分，共分，共 3030 分分) ) 1 n n n n 1 1 lim ； x x x x x t a n) 1 s i n1 ( 2s i n lim 0 。 解解 2 1 2 2 1 1 2 1lim 1 1 lime nn n n nn n n n ， 2 )01 ( 2sin lim tan) 1 sin1 ( 2sin lim 00 x x x x x x xx 2 设函数 设函数)(xyy 由方程由方程exye y 确定， 则确定， 则 dx dy ， 曲线， 曲线)(xyy 在在) 1,0( 点处点处 切线方程为切线方程为 。 解解 0yyxye y ， xe y dx dy y ， edx dy x 1 0 ，切线方程为，切线方程为x e y 1 1 3设函数设函数)(xy由参数方程由参数方程 13 13 3 3 tty ttx 确立，则函数确立，则函数)(xy单调增加的单调增加的x的取值范围的取值范围 是是 ，曲线，曲线)(xyy 下凸的下凸的x取值范围是取值范围是 。 解解 （1） 22 22 331 331 dytt dxtt ，当，当1t 时，时，0 dy dx ；当当1t 时，时，0 dy dx 。 ( )x t单调增加，所以当单调增加，所以当1t 时，时，3( )5x t ；当；当1t 时，时，( )3x t 或或( )5x t 。 从而函数从而函数)(xy单调增加的单调增加的x的取值范围是的取值范围是(, 3 和和5,)。 （2） 222 2223 4 () 4(1) 3(1)(1) t ddy d ytt dt dx dx dxtt dt ，显然，显然，0t 对应的点是拐点，曲线对应的点是拐点，曲线)(xyy 下下 凸的凸的x取值范围是取值范围是1,)。 4设当设当0x时，时，) 1( 2 bxaxex是比是比 2 x高阶的无穷小，则高阶的无穷小，则a ，b 。 解解 )() 2 1 ()1 () 1()( 2 1 () 1( 2222 2 2 xoxaxbbxaxxo x xbxaxex， 4 所以所以 2 1 a，1b。 5设设xxxfsin)( 3 ，则，则)0(f ，)0( )2011( f 。 解解 0)0( f ， 0)0( )2011( f。 二、单项选择题二、单项选择题 ( (每题每题 4 4 分分, ,共共 2020 分分) ) 1下列结论正确的是（下列结论正确的是（ D ） A如果如果)(xf连续，则连续，则)(xf可导。可导。 B如果如果)(xf可导，则可导，则)(x f 连续连续. C如果如果)(x f 不存在，则不存在，则)(xf不不连续连续 D如果如果)(xf可导，则可导，则)(xf连续连续. 2数列数列 n x极限是极限是a的充要条件是（的充要条件是（ C ） A对任意对任意0，存在正整数，存在正整数N，当，当nN时有时有无穷多个无穷多个 n x落在落在),(aa中中 B对任意对任意0，存在正整数，存在正整数N，当，当nN时有时有无穷多个无穷多个 n x落在落在),(aa外外 C对任意对任意0，至多有有限多个，至多有有限多个 n x落在落在),(aa外外 D以上结论均不对以上结论均不对. 3设设 x x xf sin 1 )( 2 ，则其（，则其（ D ） A 有无穷多个第一类间断点；有无穷多个第一类间断点； B 只有一个可去间断点；只有一个可去间断点； C.有两个跳跃间断点；有两个跳跃间断点； D 有两个可去间断点有两个可去间断点. 4曲线曲线 2 1 x xey 的渐进线有（的渐进线有（ B ）条。）条。 A1 条；条； B2 条；条； C3 条；条； D4 条。条。 5设设)(xf在在ax 可导，则函数可导，则函数)(xf在在ax 不可导的充分条件是（不可导的充分条件是（ C ） A)(af0且且)(a f 0； B)(af0且且)(a f 0； C)(af= =0且且)(a f 0； D)(af= =0且且)(a f = =0. 三 （三 （1010 分）求分）求 1 3 cos2 21arctan 1 lim 20 x x x xx 5 解解 原式原式= = x e x x x 1 lim 3 cos2 ln 0 （6 6 分）分） 0 3 cos2 lnlim 0 x x （10 分）分） 四 （四 （1010 分）设分）设 0, 0, sin)( )( xa x x xxg xf，其中，其中)(xg具有二阶连续导数，具有二阶连续导数，0)0(g， 1)0(g，2)0( g， （， （1 1）求）求a的值使的值使)(xf连续； （连续； （2 2）求）求)(x f ； （； （3 3）讨论）讨论)(x f 连续性。连续性。 解解 (1) 0)cos)(lim 0 0sin)( lim 00 xxg x xxg a xx （4 分）分） (2) 2 00 sin)( lim )0()( lim)0( x xxg x fxf f xx =1 2 )0( 2 sin)( lim 2 cos)( lim 00 gxxg x xxg xx 2 ( )cos )( ( )sin ) ,0 ( ) 10 x g xxg xx x fxx x （8 分）分） (3) 2 00 )sin)()cos)( lim)(lim x xxgxxgx xf xx = x xxgxxgxxxg x 2 )cos)()sin)(cos)( lim 0 =)0(1 2 )0( f g ，因此，因此)(x f 在在(- -，+)连续。连续。 （10 分）分） 五 （五 （1010 分）比较分）比较 2012 2011和和 2011 2012的大小，并叙述理由。的大小，并叙述理由。 解解 设设 x x xf ln )(，由，由 2 ln1 )( x x xf ，可知，可知,当当ex 时时)(xf单调减少单调减少 （5 5 分）分） 若若eab，则有，则有 b b a alnln ，推出，推出 ab balnln，即有，即有 ab ba 20112012 20122011 （10 分）分） 所 以所 以 分）分）)(x f 0，0)0(f，证明函数，证明函数 x xf)( 在在)0,(和和),0(内内 六 （六 （1010 单调增加。单调增加。 证证 2 )()()( x xfxf x x xf （4 分）分） 6 令令)()()(xfxf xxg，)()(xf xxg ， 令， 令0)( x g， 得， 得0x（唯一驻点） ， 当（唯一驻点） ， 当0x时，时，0)( x g， 当当0x时，时，0)( x g，故，故)0(g为最小值，故为最小值，故0)0()0()(fgxg，0 )( x xf ， 即即 x xf)( 单调增加。单调增加。 （10 分）分） 七七 （1010 分）设分）设)(xf在在1, 0连续，连续，1, 0可导，可导，0) 1 (f，证：存在，证：存在) 1, 0( 0 x使使 0)()( 000 xfxxnf，n为正整数。为正整数。 证证 令令)()(xfxxF n （4 分）分） 则则)(xF在在0，1连续， （连续， （0，1）可导，）可导，0) 1 ()0( FF，由罗尔定理，至少存在，由罗尔定理，至少存在) 1, 0( 0 x 使使0)( 0 x F，即，即 0)()()()( 000 1 0000 1 0 xfxxnfxxfxxfnx nnn 又又0 1 0 n x，故，故0)()( 000 xfxxnf （10 分）分） 7 20122012 级高等数学级高等数学, ,工科数学分析基础工科数学分析基础, ,微积分微积分 A A 卷参考答案卷参考答案 一、填空题一、填空题 ( (共共 3030 分分，每填对一空得，每填对一空得 3 3 分分) ) (1) (1) 1 23 lim() 5 nn n n 3； 2 22 321 lim sin x xx xx 3 (2) (2) 曲线曲线() n yxnN 在点在点(1,1)处的切线方程为处的切线方程为1(1)yn x ，记该切线与，记该切线与 x x 轴的轴的 交点为交点为(,0) n ，则，则lim n n n 1 e (3) (3) 设设 2 2 ln(1) xtt yt ，则，则 d d y x 2 1 2(1)t ， 2 2 d d y x 4 1 2(1)t (4) (4) cos2x的的 Maclaurin（麦克劳林）公式为（麦克劳林）公式为 cos2x 24 (2 )(2 ) 1 2!4! xx 5 o()x， 设设 2 ( )cos2g xxx，则，则 (4)(0) g48 (5) (5) 当当0x 时，时， 22 ( )f xtan xx是是x的的4阶无穷小（写出阶数） ，阶无穷小（写出阶数） ，(0) f 0 二、选择题二、选择题 ( (每题每题 4 4 分分, ,共共 2020 分分) ) (1) (1) 以下极限计算中正确的是以下极限计算中正确的是 B B A A 0 1 lim sin1 x x x ； B B 1 limsin0 x x x ； C C 0 11 limsin x xx ； D D 1 limsin1 x x x (2)(2) 函数函数 2 sin(2) ( ) (1)(2) xx f x x xx 在在下列哪一个区间内有界？下列哪一个区间内有界？ A A A( 1,0)； B B(0,1)； C C(1,2)； D D(2,3) (3) 对于定义在对于定义在( 1,1)上上的函数的函数( )f x，下列命题中正确的是，下列命题中正确的是 D D A A如果当如果当0x 时时( )0fx，当，当0x 时时( )0fx，则，则(0)f为为( )f x的极小值；的极小值； B B如果如果(0)f为为( )f x的极大值，则存在的极大值，则存在01，使得，使得( )f x在在(,0)内单调增加，内单调增加， 在在(0, )内单调减少；内单调减少； 8 C C如果如果( )f x为偶函数，则为偶函数，则(0)f为为( )f x的极值；的极值； D D如果如果( )f x为偶函数且可导，则为偶函数且可导，则(0)0 f (4)(4) 若若 2 2 0 ln(1)() lim2 x xaxbx x ，则，则 A A A A 5 1, 2 ab ； B B 5 1, 2 ab； C C1,2ab ； D D0,2ab (5) (5) 设函数设函数( )f x在点在点0x 的某邻域内三阶可导，且的某邻域内三阶可导，且 0 ( ) lim1 1 cos x fx x ，则，则 C C A A(0)f为为( )f x的的一个一个极极大大值；值； B B(0)f为为( )f x的的一个一个极极小小值；值； C C(0) f 为为( )fx的一个的一个极极大大值；值； D D(0) f 为为( )fx的一个的一个极极小小值值 三、 （三、 （1010 分）分）已知函数已知函数( )yy x由方程由方程 22 1(0)x yyy确定，确定，求求 d d y x ，并求，并求( )yy x的的 极值极值 解解 对对 x 求导，求导， 22 220(1)xyx yyy -3 3 分分 令令 0y，得，得 0x ，易算得易算得 (0)1y； -5 分分 (1)式两端继续求导，得式两端继续求导，得 2222 244220(2)yxyyxyyx yx yyy 在在(2)中令中令 0x ，算得算得 (0)2 y ，所以所以 (0)1y 为极大值为极大值 -1010 分分 四、 （四、 （10 分）分） 求极限求极限 sin 26 0 lim ln(1)sin xx x ee xxxx 解解 原式原式 sin 3 26 0 33 lim ln(1)sin xx x ee x xxxx xx ， 其中其中 sinsin sin 3332 0000 1sin1 cos1 limlimlimlim 36 xxxx x xxxx eeexxx e xxxx ， -3 3 分分 2 32 0000 1 1 ln(1)ln(1)11 1 limlimlimlim 22(1)2 xxxx xxxxx x xxxx ， 6 3 0 sin lim0 x x x ，9 9 分分 9 所以所以 原极限原极限 1 3 -1010 分分 五、 （五、 （1010 分）分） 已知已知函数函数 ,0 ( ) cos ,0 xx f x abx x x 在点在点 0x 处可导，求常数处可导，求常数a和和b 解解 (1) 由连续条件，由连续条件，(00)(0)(00)fff，因此，因此 0 cos lim0 x abx x ，进而应有，进而应有 0 lim(cos )0 x abx ，即，即 0ab； -5 分分 (2) 由可导条件，由可导条件，(0)(0)ff ，算得，算得 2 0 cos (0)lim 2 x aaxa f x ，而而 (0)1f， 所以所以 2a ， 2b -1010 分分 六六、 （、 （1010 分） （分） （1）证明：）证明： 111 ln(1)() 1 nN nnn ； （2 2）设）设 11 1ln() 2 n unnN n ，证明数列，证明数列 n u收敛收敛 证证 (1) (1) 只需证明只需证明 ln(1)(0) 1 x xxx x 方法一（利用微分中值定理）方法一（利用微分中值定理） 令令 ( )ln(1)(0,)f xxx，则则 0x 时时， ln(1)( )(0)(0) 1 x xf xfx ， 因为因为 0x，所以，所以 11 xx x x ，从而，从而 ln(1)(0) 1 x xxx x -5 5 分分 方法二方法二 （利用单调性）（利用单调性） 令令 ( )ln(1)(0,) 1 x g xxx x ， 则则( )g x在在0,)上可导，上可导，且且 2 11 ( )0(0,) 1(1) g xx xx ， 可知可知( )g x在在0,)上上单增单增，从而从而0x 时时，( )(0)0g xg； 再