恒成立问题与有解问题的区别.doc

恒成立与有解1恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于）或）亦可合并定成同理，若在m,n内恒有f(x)2p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+10,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.2恒成立问题与二次函数联系若二次函数y=ax2+bx+c=0(a0)大于0恒成立，则有，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例2、设f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间-1,+)时恒大于0的问题。解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x-1,+)，F(x) 0恒成立；）当=4（a-1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件：即得-3a-2;综合可得a的取值范围为-3，1。1.3恒成立问题与变量分离联系若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例3、已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即a+2上式等价于或解得。注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。一、 构造函数、区间最值求解例1、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。分析：如果时，恒有意义，则可转化为恒成立，即参数分离后，恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。解：如果时，恒有意义，对恒成立.恒成立。令，又则对恒成立，又在上为减函数，。例2、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：是增函数对于任意恒成立对于任意恒成立对于任意恒成立，令，所以原问题，又即 易求得。例3、 已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。方法一）分析：在不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围（xR）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。解：原不等式当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立设则方法二）题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式a+cos2x5-4sinx可化为a+1-2sin2x5-4sinx,令sinx=t,则t-1,1,不等式a+cos2x0,t-1,1恒成立。设f(t)= 2t2-4t+4-a，显然f(x)在-1，1内单调递减，f(t)min=f(1)=2-a,2-a0a2二、 数形结合 、特值探求例4、 设f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x-1,+)，F(x) 0恒成立；）当=4（a-1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件：-1oxy即得-3a-2;综上所述：a的取值范围为-3，1。例5、当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。xyo12y1=(x-1)2y2=logax解：设T1:=,T2:,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2), 1,并且必须也只需故loga21,a1,10,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。xyl1l2l-20o解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,则如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=a的范围为，）。三、 正难则反、逆向思维例7、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。解：原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+10,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)0在p-2,2上恒成立，故有：oy2-2xy-22 x方法一：或x3.方法二：即解得：x3.四、 直接推理、顺理成章例8、已知的反函数的图像过点（5，2），且在区间内恒有，求。解：的图像过点（5，2）的图像过点（2，5）或i) 当时，又在区间内恒有ii) 当时又在区间不能满足恒有综上所述，。例9、已知数列、中，求使恒成立的的最大整数值。解：由可知：I） 当时II） 当时综上有 既有=又恒成立的的最大整数值为2。五、 借助函数性质、巧架解题桥梁例10、已知函数，若函数图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数的图象。（1）写出函数的的解析式及其定义域；（2）当时，令，若总有成立，求实数的取值范围。解：（1）易求得（2）分析：由条件容易求出对应函数的解析式则原问题可转化为，恒成立。而函数又具有单调性，则可利用单调性求最值。解：由题意得当时，。设。当，时函数为增函数；所以当时， ，若总有成立。例11、若f(x)=sin(x+)+cos(x-)为偶函数，求的值。解：由题得：f(-x)=f(x)对一切xR恒成立，sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-)即sin(x+)+sin(x-)=cos(x+)-cos(x-)2sinxcos=-2sinxsinsinx(sin+cos)=0对一切xR恒成立， sin+cos=0。=k.（kZ)2 主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。例4：若对于任意a，函数的值恒大于0，求x的取值范围。分析：此题若把它看成x的二次函数，由于a, x都要变，则函数的最小值很难求出，思路受阻。若视a为主元，则给解题带来转机。解： 设 ，把它看成关于a的直线，由题意知，直线恒在横轴下方。 所以 解得： 或或例 5： 对于（0，3）上的一切实数x,不等式恒成立，求实数m的取值范围。分析： 一般的思路是求x的表达式，利用条件求m的取值范围。但求x的表达式时，两边必须除以有关m的式子，涉及对m讨论，显得麻烦。解： 若设，把它看成是关于x的直线，由题意知直线恒在x的轴的下方。所以 解得： 4 数形结合法 例9：若不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。解： 由题意知 ： 在内恒成立。在同一坐标系内分别作出 和 的图象因为时，的图象位于函数的图象上方， 当 a 1时，显见不成立。故 0a0，g(x)=，若存在S1，S20，4，使得|f(S1)-g(S2)|1成立，求a的取值范围.解析：（1），由=0得b=-2a-3.故f(x)=(x2+ax-2a-3) 因为=-x2+(a-2)x-3a-3 =-(x-3)(x+a+1) .由=0得：x1=3，x2=-a-1. 由于x=3是f(x)的极值点，故x1x2，即a-4.当a-4时，x1-4时，x1x2，故f(x)在上为减函数，在-a-1，3上为增函数，在上为减函数.(2)由题意，存在S1，S20，4，使得|f(S1)-g(S2)|1成立，即不等式|f(S1)-g(S2)|1在S1，S20，4上有解.于是问题转化为|f(S1)-g(S2)|0，则-a-10，由（1）知：f(x)在0，3递增；在3，4递减. 故f(x)在0，4上的值域为minf(0),f(4),f(3)=-(2a+3)e,a+6，而g(x)=在0，4上显然为增函数，其值域因为故 |f(S1)-g(S2)|=，从而解.故a的取值范围为。假若问题变成：“对任意的S1，S20，4，使得|f(S1)-g(S2)|1都成立，求a的取值范围.”则可将其转化为|f(S1)-g(S2)|1。点评：函数、不等式、导数既是研究的对象，又是决问题的工具. 本题从函数的极值概念入手，借助导数求函数的单调区间，进而求出函数 闭区间上的值域，再处理不等式有解问题。这里传统知识与现代方法交互作用，交相辉映，对考生灵活运用知识解决问题的能力是一个极好的考查。3、恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团。（1）不等式f(x)k在xI时恒成立xI. 或f(x)的上界小于或等于k；（2）不等式f(x)k在xI时恒成立xI. 或f(x)的下界大于或等于k；（4）不等式f(x)k在xI时有解xI. 或f(x)的上界大于k；解决恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。例7、已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数。（1）对任意x-3，3，都有f（x)g(x)成立，求k的取值范围；（2）存在x-3，3，使f（x)g(x)成立，求k的取值范围；（3）对任意x1、x2-3，3，都有f（x1)g(x2)，求k的取值范围。解析：（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k，问题转化为x-3，3时，h(x)0恒成立，故h(x)0.令h (x)=6x2-6x-12=0，得x= -1或2。由h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h(x)=-45+k，由k-450，得k45.（2）据题意：存在x-3，3，使f（x)g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)0在x-3，3有解，故h(x)0，由（1）知h（x）=k+7，于是得k-7。（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2-3，3，都有f（x1)g(x2)成立，不等式的左右