常用逻辑用语简单逻辑联结词.doc

第一章常用逻辑用语第二讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理知识盘点一逻辑联结词1逻辑联结词：在数学中，有时会使用一些联结词，如.2“且”记作；“或”记作；“非”记作.3命题，和的真假判断（1）当都是真命题时，为；为；为.（2）当有一个是真命题时，为；为.(3)当都是假命题时，为；为；为.上述语句可以描述为：对于而言“一假必假”；对于而言“一真必真”；对于而言“真假相反”。可以用下表来判断：（即真值表）真真真假假真假假二全称量词与存在量词4全称量词：短语、在逻辑中通常叫做全称量词，用符号来表示；含有全称量词的命题，叫做.全称命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为.5存在量词：短语、在逻辑中通常叫做存在量词，用符号来表示；含有存在量词的命题，叫做.存在命题“存在中一个，使成立” 可用符号简记为.6含有一个量词的命题的否定：含有一个量词的全称命题的否定，有以下结论：全称命题：，它的否定：；即全称命题的否定是.含有一个量词的特称命题的否定，有以下结论：全称命题：，它的否定：；即全称命题的否定是.特别提醒1对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解在集合部分中的学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切，对于理解逻辑联结词“或”“且”“非”很有用处：（1）“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同，在日常生活用语中的“或”带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的“或”可以同时兼有。对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在或中的“或”是指 “”与“”中至少有一个成立，可以是“且”，也可以是“且”，也可以是“且”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的；（2）对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在且的“且”是指“”、“”都要满足的意思，即既要属于集合A，又要属于集合B；（3）对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：“非”有否定的意思，一个命题经过使用逻辑联结词“非”构成一个复合命题“非”，当为真时，非为假，当为假时，非为真。若将命题对应集合，则命题非就对应着集合在全集U中的补集；对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思，如“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题。一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。2由于全称命题的否定变为特称命题，而特称命题的否定变为全称命题，因此，可以通过“举反例”来否定一个全称命题。基础闯关1在命题“方程的解是”中使用逻辑联结词的情况是（）（A）没有使用逻辑联结词（B）使用了逻辑联结词“或”（C）使用了逻辑联结词“且”（D）使用了逻辑联结词“非”2（2007年山东省实验中学）有下列四个命题，其中真命题有：“若，则互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若，则有实根”的逆命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；（ ）（A）（B） （C） （D）3（2006年淄博统考）下列命题中是全称命题的是（）（A）圆有内接四边形（B）（C）（D）若三角形的三边长分别为3,4，5，则这个三角形为直角三角形4设A、B为两个集合，下列四个命题：A B对任意A BA BABA B存在其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）5（2005年济宁期未）写出命题：的否定。6给出以下命题：，有；，使得；，对，使.其中的假命题是.典例精析例1在一次模拟射击游戏中，小李连续射击了两次，设命题：“第一次射击中靶”，命题：“第二次射击中靶”，试用，及逻辑连结词“或”“且”“非”表示下列命题：（1）两次射击均中靶；（2）两次射击均未中靶；（3）两次射击恰好有一次中靶；（4）两次射击至少有一次中靶.剖析此题目是判断复合命题的形式，利用仔细分析命题的构成是解决此类题目的关键。解（1）因为“两次射击均中靶”的意思是“第一次中靶”，“第二次中靶”同时发生了，所以需用逻辑联结词“且”，应为：“且”；（2）“两次射击均未中靶”说明“第一次射击中靶”这件事情没有发生，也就是发生了，且“第二次射击中靶”这件事情也没有发生，也就是发生了，并且是与同时发生的，故用逻辑联结词联结应为：“且”；（3）“两次射击恰好有一次中靶”有可能是“第一次中靶而第二次未中”，即“且”；也有可能是“第一次未中，而第二次射中”即“且”；从而原命题用逻辑联结词联结应为：“且，或且”；（4）“两次射击至少有一次中靶”即“第一次射中”或“第二次射中”应为“或”。警示逻辑联结词是用来联结命题的，利用逻辑联结词可以将几个简单命题组合成较为复杂的命题。变式训练1 分别指出下列各命题的构成的“或” 、“且”和“非”的形式。（1）是无理数，是实数；（2），；（3）8或6是30的约数；（4）矩形的对角线垂直平分。例2（05年西安市模拟）指出下列命题的真假（1）命题“不等式没有实数解”；（2）命题“1是偶数或奇数”；（3）命题“属于集合，也属于集合”；（4）命题“”剖析先找出逻辑联结词，再判定命题的真假。解 （1）此命题为“非”的形式，其中：“不等式有实数解”，因为是该不等式的一个解，所以是真命题，即非是假命题，所以原命题是真命题。（2）此命题是“或”的形式，其中：“1是偶数”，：“1是奇数”，因为为假命题，为真命题，所以或是真命题，故原命题是真命题。（3）此命题是“且”的形式，其中：“属于集合”，：“属于集合”，因为为假命题，为真命题，所以且是假命题，故原命题是假命题。（4）此命题是“非” 的形式，其中：“”，因为为真命题，所以“非”为假命题，故原命题是假命题。警示为了正确判断含有逻辑联结词命题的真假，首先要确定命题的构成形式，再根据真值表判定所构成的新命题的真假。关于复合命题，要理解以下两点：当且仅当个复合命题中至少有一个真命题时，复合命题“”是真命题，简称为“一真必真”；当且仅当个复合命题中至少有一个假命题时，复合命题“”是假命题，简称为“一假必假”；复合命题“”的否定命题是“”；复合命题“”的否定是“”.变式训练2判断下列复合命题的真假（1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；（2）方程的根是；（3）对所有的正实数，为正数，且；（4）对于实数，若，则. 例3（2007年华师附中）已知命题：方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式若命题是假命题，求的取值范围.剖析先将，化简，由“或”为真命题时推出的取值范围，而是假命题为其反面情况，进而求解。解由，得，显然，或，故或，又“只有一个实数满足”即抛物线与轴只有一个交点，或，命题“或”为真命题时，或命题“或”是假命题，的取值范围为或. 警示本题涉及一元二次方程、一元二次不等式（组）、补集、“或”的复合问题，其实关于“或”与“且”这两类复合命题的判断与解答题目，在解答时只注意层层推进先将化简，然后根据题设条件推出所有的情况。变式训练3已知命题不等式的解集为,命题是减函数,若或为真命题, 且为假命题,求实数的取值范围. 例4写出下列命题的否定，并判断真假（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）有些实数的绝对值是正数； （4）某此平行四边形是菱形。剖析首先弄清楚是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定。对于（1）来说，其否命题是：“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是“存在一个矩形不是平行四边形”，它与“所有的矩形都不是平行四边形”有区别，前者是指“存在一个矩形不是平行四边形”，并不排除有其它的矩形是平行四边形的可能。解（1）存在一个矩形不是平行四边形；假命题；（2）存在一个素数不是奇数；真命题；（3）所有的实数的绝对值都不是正数；假命题；（4）每一个平行四边形都不是菱形，假命题。警示要特别注意全称命题与特称命题的否定，简单全称命题及特称命题的否定，对于条件的否定仅否定全称量词及存在量词；一般来说，全称命题的否定变为特称命题，而特称命题的否定变为全称命题。变式训练4. 写出下列命题的否定（1）自然数的平方是正数；（2）任何实数，它不是的根；（3）对于任意实数，同时存在实数，使；（4）有些质数是奇数。例5判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。（1）对数函数都是单调函数；（2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；（3）是无理数, x2是无理数；(4).剖析判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或特称量词，对于有的题目隐含了全称量词或特称量词，要注意对其进行改写来找到。对于（1）隐含了全称量词“任意的”，因此需要对其进行改写，（2）（3）（4）则从题目中可以看出全称量词与特称量词。解（1）本题隐含了全称量词“任意的”，其实原命题应为：“任意的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题；（2）命题中含有特称量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题；（3）命题中含有全称量词“”，是全称命题，假命题，例如：但是有理数；（4）命题中含有特称量词“”，是特称命题，真命题。警示1要判断一个全称命题“”是真命题，需要对限定集合M中的每一个元素证明成立；如果在集合M中找到一个元素，使得不成立，那么这个全称命题就是假命题（即通常所说的举出一个反例）；2要判定一个特称命题“”是真命题，只要在限定的集合M中至少找到一个，使成立即可；否则这一特称命题就是假命题。变式训练5判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。（1）直线与轴都有交点；（2）正方形都是菱形；（3）梯形的对角线相等；（4）存在一个三角形，它的内角和大于1800 .例6若：，如果对于，为假命题且为真命题，求实数的取值范围。剖析对于，为假命题，即对，不等式恒不成立；而对于，为真命题，即对于，不等式恒成立，从而求出相应的的取值范围。解由于，所以如果对于，为假命题，即对，不等式恒不成立，则；又对于，为真命题，即对于，不等式恒成立，所以，即；故对于，为假命题且为真命题，应有.警示所谓全称量词，就是在命题中用来表示完全概括的逻辑用语，用符号表示，含有全称量词的命题叫做全称命题；所谓的存在量词，就是用来表示部分概括的逻辑用语，用符号表示，含有存在量词的命题叫做特称命题。变式训练6已知，如果是假命题，是真命题，求实数的取值范围。能力提升1命题.下列结论正确的是（）（A） 为真 （B） 为真 （C） 为假 （D） 为真2设原命题：若a+b2，则a,b 中至少有一个不小于1。则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）A原命题真，逆命题假B原命题假，逆命题真C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题3（2006年杭州模拟）已知命题不等式的解集是R，命题在区间上是减函数。若命题“或”为真命题，命题“且”是假命题，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）4命题p：存在实数m，使方程x2mx10有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）A、 存在实数m，使得方程x2mx10无实根 B、 不存在实数m，使得方程x2mx10有实根C、 对任意的实数m，使得方程x2mx10有实根D、 至多有一个实数m，使得方程x2mx10有实根5已知命题：集合为虚数单位只有3个真子集；命题：集合与集合相等，则下列复合命题：P或Q；P且Q；非P；非Q中真命题有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个6命题“”的否定是：7命题“AB”看成一个复合命题，那么这个复合命题的形式是_，其中构成它的两个简单命题分别是_。8(2007年山东样题)已知、是不同的直线，、是不重合的平面，命题p：若，则 命题q：若，则下面的命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）. 9令是真命题，则实数的取值范围是_.10(1)设集合边形：“内角和为”，试用不同的表述方式写出全称命题“”；（2）设集合四边形：对角线垂直平分，试用不同的表述方式写出存在命题“”。11（2007年淄博模拟）已知P：对任意恒成立；Q：函数存在极大值和极小值。求使“P且Q”为真命题的m的取值范围。12已知p：方程有两个不等的负实根，q：方程无实根.若为真，为假，求m的取值范围.仿真训练一选择题1若是两个简单命题，且“或”的否定是真命题，则必有（）（A）真真（B）假假（C）真假（D）假真2命题“若，则”的逆否命题为（）（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则3下列命题为“或”的形式的是（）（A）（B）2是4和6的公约数（C）（D）4下列命题为复合命题的是（）（A）12是6的倍数（B）12比5大（C）四边形ABCD不是矩形（D）5已知，给出下列四个命题：其中正确的命题是（）（A）（B）（C）（D）6设集合A=x| 0,B=x|x-1|a,则“a=1”是“AB”的（ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件7已知A与B是两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么是的（ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件8若，且a,b,c不全相等，则成立的充要条件是（）（A）a,b,c均为正数（B）a,b,c均为非负数（C）（D）9一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ ）（A） （B） （C） （D）10已知函数f(x)在(-,+)上为增函数,a,bR,对于命题“若a+b0，则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)”有下列结论:此命题的逆命题为真命题 此命题的否命题为真命题此命题的逆否命题为真命题 此命题的逆命题和否命题有且只有一个真命题其中正确结论的个数为( )（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个11（2006