高师院校同步数学实验课的实践与探索.docVIP

高师院校同步数学实验课的实践与探索蒋晓云1，2 （1 南京师范大学 数学与计算机科学院 江苏 南京 210097； 2 桂林师范高等专科学校 数学与计算机科学系 广西 桂林 541001）【摘要】师范生在未来的数学教育教学工作中肩负着培养中小学生的数学探究能力和创造能力的重任，高师院校的数学实验兼而负有一种特殊任务:让高师学生学会怎样在IT环境下“学数学”和“教数学”。高师数学实验课的课程开发具有特殊性。【关键词】信息技术；数学实验；师范性；课程。Practice and exploratio of mathematical experiment class in normal universitiesJiang Xiao-yun1,2（1 Department of Mathematics and Computer Science, Nanjing Normal University, Nanjing 210097,China 2 Department of Mathematics and Computer Science ,Guilin Teachers College, Guangxi 541001,China）Abstract:The students of normal university hold a great responsibility of mathematics inquiry ability and creative ability for training primary and middle school students on the mathematics teaching in the future .The mathematical experiment of normal universities hold a special duty that is teaching students how to “learn mathematics” and “teach mathematics” under the IT environment. The curriculum development of mathematical experiment class has a special character in the normal universities. Key words: information technology, mathematical experiment,teachers-training quality, curriculum.1995年在原国家教委组织实施的“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革”计划中，就把“数学实验”列为高校非数学类专业的数学基础课之一。目的是使学生掌握数学实验的基本思想和方法，借助于计算机通过学生亲自设计和动手，体验解决问题的过程，从实验中去学习、探索和发现数学规律。很多高校将数学实验作为精品课程或重点课程来建设，取得了许多成果。我国新一轮基础教育数学课程全面实施，全日制义务教育数学课程标准设立了“课题学习”，要求教师结合学生的生活经验和知识背景，引导学生以自主探索与合作交流的方式，理解数学，发展解决问题的策略，体会数学与现实生活的联系。普通高中数学课程标准设置了数学建模和数学探究的学习活动，并分别对它们提出了具体要求。从某个层面上要求我们从事数学教育的教师们要携数学实验进中学数学课堂。目前大多数高师院校数学教育专业课程中数学文化、数学探究和数学建模比较薄弱；知识讲授型教学方式仍然上占主导地位，这与中学数学新课程形成了强烈反差。因此，在高师院校数学教育专业课程中引入数学实验课刻不容缓。1 高师数学实验课的特殊地位和价值基金项目：高师数学专业同步实验课程教材建设研究与实践，新世纪广西高等教育教学改革工程立项课题；同步数学实验，广西高等学校重点教材立项项目。作者简介：蒋晓云（1963），男，广西桂林人，南京师范大学数学与计算机科学院访问学者，桂林师专副教授，主要研究方向为数学教育和计算机密码学高师院校的数学专业课片面强调数学重视演绎推理的一面，教师通常是沿着“定义-假设-定理-证明-推论”这么一条演绎的道路进行教学，展示给学生的是“已组织好的数学系统”，片面强调数学的严谨性、逻辑推理的形式化。学生课业负担重、枯燥乏味、学习积极性不高，一直困扰着高师数学教育。G波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看，数学像一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门试验性的归纳科学。”多少年来，数学教育工作者一直在呼唤：应当给学生以“数学的发现”的教育，要让学生除了演绎推理之外，还会使用归纳推理、“合情推理”等非演绎手法，体验完整的数学创造过程-从操作、观察、归纳、概括、猜想，到分析与论证的全过程。这是几代数学教育家的理想之梦。张奠宙先生说过“知识系统有两种形态:学术形态和教育形态。综合大学的教育，只要使学生掌握知识的学术形态就可以了。但是师范大学的教学则在了解知识的学术形态之后，还必须帮助学生掌握知识的教育形态。这种转换是一种特殊的能力，需要加以培养。”，高师数学实验将被分成两种类型:学术形态的数学实验和教育形态的数学实验。高师数学实验应更多地关注数学实验的教育价值，将它界定为一种教学手段，数学实验是在数学教学中创设恰当的问题情境，引导学生通过实验手段从直观、想象到发现、猜想，然后给出验证及理论证明，从而使学生亲历数学建构过程，逐步掌握认识事物、发现真理的方式、方法，是引导学生创造性地解决问题的有效途径。高师学生可以通过数学实验牚握和运用基于信息技术的中小学数学自主探究式教学模式；学会怎样在IT环境下“教数学”的现代教育技术。我们提倡学生在高师数学实验中学会制作数学CAI课件。在数学实验中产生的数学CAI课件，它是数学产品，因为它来自数学环境，用于数学目的，表现数学思维，表达数学真理，具有纯正意义上的数学味道。严格意义下的数学课件或数学CAI制品，是不能没有由数学软件生成的数学CAI素材，在高师数学教育中，通过数学实验来培养学生这方面的制作能力是十分必要的。从教和学的角度，高师数学实验应为学生提供良好的学习环境，以利学生以积极的心态调动原有知识和经验，尝试解决问题，同化新知识并建构新的认知结构，使学生不仅学到数学知识及理论体系，并且学会数学的思考方法，提高动手能力，强化数学学习中归纳方法与实验手段的交互作用。从方法论的角度看，数学实验是一种全新的科学研究方法，借助实验手段，尤其是计算机提供的平台，使数学研究方法发展到计算机技术加思维的模式，为数学及数学实验的应用提供广阔的应用前景。从应用价值看，高师数学实验不仅是高新技术和经济发展的强大武器，也有极重要的教育价值，数学实验还提供了一种全新的数学教学手段和模式，使数学教学从单纯的教师讲课，学生听练的模式发展到利用现代信息技术实现师生共同参与的学习活动模式，这与当前倡导的课程教学改革理念完全一致，因而数学实验作为一种数学教学手段和数学教师的职业技能受到大中小学广泛的关注。因此，高师数学教育专业的数学实验有其特殊的地位和价值：在数学实验课中，经受获取感性认识和数学信息活动教育的同时，得到如何指导别人在“做数学”中学习数学的职业技能。2 高师数学实验课程开发高校非数学类专业数学实验成功经验无疑给我们提出了许多可资借鉴的有益启示，多数院校将数学实验设置为一门独立的课程，以介绍数学应用方法为主，偏重于利用计算机应用数学，培养学生综合运用所学数学理论进行数学建模，解决一些经过简化的实际问题的能力。高师数学实验除了重视数学应用方法（数学建模），更要重视以探索数学的理论和内容（数学探究），用计算机“做数学”、“表现数学”，帮助学生学习数学、理解数学、欣赏数学。因此，把数学实验与高师数学专业课的教学隔离开来，设置为一门独立的课程，这是高师“数学实验”教学的一个误区。我们的做法是把数学实验课作为数学专业课的辅助课程，与数学专业课程同步开设，这样也不必重复数学专业课程讲述的基本内容，而选择数学专业课中的重点问题进行理论的深化、应用的具体化和计算的现代化，突出数学的应用与建模能力的培养。2.1 高师数学实验的教材建设对于数学实验这样一门新课，正式出版发行的“数学实验”教材虽有好几本，但多数是针对高等院校本科非数学类专业，其目的和内容与我们设计的高等师范同步数学实验有较大的区别，并不适合师范院校数学教育专业的学生。数学实验作为数学专业课的辅助课程，与数学专业课同步开设，在教材内容的选择上将突出：理论问题的深化与具体化；数学的应用与建模能力的培养。高师数学实验分为六篇：数学分析实验、高等代数实验、解析几何实验、微分方程实验、概率统计实验、数学建模综合实验。前五篇都是选择一些重点问题作为“实验专题”，课程教学内容是通过实验专题来体现的，每个专题有相对的完整性和独立性。毎个实验专题由“计算实验”、“探究实验”、“应用实验”组成。计算实验：我们选用简单易学的Mathematica数学软件作为数学实验的计算平台，每个实验专题均安排计算实验，用来熟悉Mathematica软件的基本的使用方法，完成公式演算、数值计算、图形绘制等操作。探索实验：以探索数学的理论和内容为主，目的是通过实验去发现和理解数学中较为抽象或复杂的内容。应用实验：注重培养初步的建立数学模型和运用数学知识解决实际问题的能力。下面是我们设计的数学分析实验“级数”专题的教学内容。计算实验：介绍Mathematica数学软件求有限及级数和的命令，指导完成实验任务：1判定下列级数的敛散性，对收敛的级数求出和式。1）2） 3） 4）5） 2.设f(x)= x2, 0x1 ,将f(x)做偶延拓和奇延拓并在-3,3上画出相应的延拓图形。3.将f(x)=cos(x/2)在-,上展开为傅氏级数，并分别取展开式的前两项和前三项比较其展开的逼近效果。探索实验：探索调和级数的发散特点。应用实验：1某人为支持教育事业，一次性存入一笔助学基金，用于资助某校贫困生。假设该校每年末支取10，000元，已知银行年利率为5%，如果该基金供学校支取的期限为20年，问：此人应存入多少资金？如果该基金无期限地用于支持教育事业，此人又应该存入多少资金？2研究分形几何中的Koch雪花问题。在有单位边长的正三角形中，将每一条边三等份，再以每一条边的中间一段为边向外做等边三角，然后再对每一条边重复这样的操作，如此下去产生的图形称为Koch雪花。试讨论当边n不断增多趋于无穷大时，产生图形的周长和面积的极限。2.2 高师数学实验课教学模型教学模式是指在一定的教育思想、教学理论和学习理论指导下，在某种教学环境和资源的支持下的教与学活动中各要素之间稳定的关系和活动进程结构。2.2.1 探索实验教学模式探索型数学实验教学内容呈现以“创设情境提出问题实验观察归纳猜想推理论证拓展提高”的基本模式展开的，它的理论基础和基本思想是建构主义教学理论和现代数学观及数学教学观。案例：探索调和级数：的发散特点。（1）创设情境数学问题产生于数学情境，培养学生提出数学问题的能力离不开数学情境的精心创设，探索实验情境的创设其素材往往源于数学自身，在此过程中通过给学生呈现刺激性的数学材料信息，达到激发学生好奇心和发现欲，引起认知冲突，诱发质疑猜想的目的。数学分析教材中，讲解收敛级数概念后，研究收敛级数的性质，证明了如下一个定理：级数收敛，则。现在的问题是：若一个级数满足，这个级数收敛吗？我们自然想到了自然数的倒数组成的数列：1，1/2，1/3，1/n，称为调和数列，且，现在来讨论一个非常熟悉的特殊级数调和级数：我们把它的前n项各数列记作（2）提出问题： 学生可能会提出如下问题：a) 我们能化简H(n)的表达式吗？能用简单表达式表示H(n)吗？(困难)b) 如果不能用简单表达式表示，我们还有哪些方法可以判断其敛散性？c) H（n）收敛吗？若收敛，它的极限值等于多少？若它发散，它发散的特点是什么？我们可以用些什么方法来研究？（3）数学实验数学实验是指学生按照实验要求，亲自用电脑完成相应的实验，努力去发现与所研究问题相关的一些数据中反映出的规律性，对实验结果做出清楚的描述，它是整个教学过程中的核心环节。我们借助于Mathematica数学软件画出H(n)的散点图来观察它的变化情况（如图）。Hn_:=Nsum1/k,k,1,nt=Tablen,Hn,n,1,100ph1=ListPlott 图1H（n）散点图图H(n)与ln(x)的图象的比较仔细观察数据的图象，思考一下它与哪一种已知函数图象很近似？（对数函数y=ln x）我们作出对数函数y=ln x的图象与H(n)的数据图象作比较（如图）plog=PlotLogx,x,1,100Showph1,plog根据图象比较的结果可以看出，当n很大时，H(n)的图象与ln x的图象非常相似，但它们大致差一个常数，这个常数约为：CH(10000)-ln(10000)0.577。我们将ln(x)+C的图象与H(n)的数据图像作比较。C=H10000-Log10000ph2=PlotLogx+C,x,1,100图Showph1,ph2现在可以看到图象几乎完全重合（如图）。 （4）归纳猜想提出猜想是指学生在理解了学习课题后，通过直观观察、实验分析、数学灵感等各种途径和方式，根据已有的信息或新得到的信息，提出解决课题的假说。本环节整个教学过程中的关键环节，是数学实验的高潮阶段。同时也是培养学生合情推理能力的过程。猜想1：调和级数的前n项和H(n)是发散的，它的数值与Ln(n)+C很接近。猜想2：H(n)-ln(n)是收敛的。为了发现证明猜想的思路，我们再研究C(n)=H(n)-ln(n)和D(n)=H(n)-ln(n+1)的图象（如图、图）并作比较（如图）。cn=Tablen,Hn-Logn,n,1,100cnp=ListPlotcndn=Tablen,Hn-Logn+1,n,1,100dnp=ListPlotdn 图C(n)的散点图图D(n) 的散点图Showcnp,dnp图C(n)与D(n)的散点图的比较我们观察到下列事实：猜想3. C(n)是单调递减数列，D(n)是单调递增数列；(5) 推理论证验证猜想是指在提出猜想之后，通过演绎推理的方法来验证猜想的正确性或通过举出反例的方法来否定猜想。这是数学实验不可缺少的环节，是我们获得正确结论的关键步骤，是对实验成功与否的判断。验证猜想的过程实际上是培养学生求实的学习态度和严谨的逻辑推理能力的过程。利用导数建立函数单调性判别法，可以证明下列不等式： (x1)利用这个不等式可以证明：a. 数列单调递减且有下界。b. 数列单调递增且有上界。c. cn dnd. 的极限存在且相等。 我们得出了结论：的极限存在，这个极限值记为C，C0.577，称为欧拉（Euler）常数。(6) 拓展提高教师启发学生从以下几方面分析，将有助于寻找更美的数学解答。a) 看解题过程多走了哪些思维回路，通过删除、合并来体现简洁美。b) 看能否用更一般的原理去代替现存的许多步骤，以提高整个解题的观点和思维的层次。c) 看能否用更特殊的技巧去代替现有的常规步骤，以体现解题的奇异美。还可以对本节课的主题“调和级数研究”做更深入的探讨：a) 如何估算H(n)=的近似值？b) 还可以用那些方法证明调和级数的发散性？数学分析讲义学习指导书（下册）（刘玉琏等编）给出了五种证法。c) 如何衡量调和级数的发散速度？提示：调和级数发散（趋近于+）的速度极慢，欧拉曾计算H(1000)=7.48,H(1000000)=14.39d) 是否存在有比调和级数发散得更慢的正项级数？是否存在发散最慢的正项级数？ 2.2.1 应用实验教学模式应用实验教学内容呈现以“创设情境建立模型解释、应用与拓展”的基本模式展开。高校非数学类专业数学实验课程建设已有很多成果，本文不详细阐述这一模式。（1）创设情境：应用实验的情境应符合学生的认知现实（生活现实、数学现实）。（2）建立模型：以数学建模为线索贯穿整个课程，通过一些经过简化的实际问题解决，培养应用数学知识解决实际问题的意识和能力。（3）解释、应用与拓展：将结果回到实际问题进行分析、讨论、评价或推广。3 实施成果及亟待解决的问题 实践证明，基于计算机信息技术的数学实验课的引入，给高师数学教育专业课注入了许多活力，更能给予学生一个“完整的数学”。让学生在教师的指导下进行实验，可大大增强学生的好奇心，激发其探索和创造的欲望，使学生的学习过程，变为自己动手实验、观察发现、猜想验证、合情推理、动脑设计等的亲身经历。因此，数学实验是让学生在已有的认知结构基础上，去发现、建构新知识的。保证了教学质量，促进了学生素质的发展。学生针对老师设置的问题或自提的问题的模拟实验，有了更为广阔的空间，由此发现并证明了许多迷人的结论，诞生了许多“真正”的数学CAI课件和小论文。学生牚握和运用基于信息技术的探究式教学模式，能象使用粉笔、黑板、三角板、圆规、直尺等教具一样使用计算机来辅