原创物理竞赛模拟题第六套答案及评分标准.pdf

1 原创物理竞赛模拟题第六套 答案及评分标准 满分 160 分 命题人 蔡子星 第一题（20 分） Andy Riley 画了找死的兔子 ，该书中的兔子精通各种物理原理，从而成功自杀。其中一个自杀 的方式如下图，采用一个轻质的跷跷板，长度为1.000lm，支点在中间，高0.200m，兔子从一定高 度2.000hm做自由落体运动，与跷跷板发生完全非弹性碰撞，之后落地时与地面发生完全非弹性碰 撞，问兔子是否可能自杀成功？如果可能兔子与石头的质量比/m M应当为多少？ 2 9.80/gm s 【解】 ： 画出物理情景 h v 0 2 (2)5.6/vg hhm s（式中 0 0.2hm） （2 分） 2 在支点看来角动量守恒 1 cos 2 l Lmv I （5 分） 式中满足 00 2 sin 1 2 hh l I表示质点看来的转动惯量 2 1 =(+ )() 2 IM m cos2cos 2I() mvlmv Mm l （其实拿质点写角动量是一样的） 由能量守恒， 22 11 ()2sin 22 c IIMm gr （5 分） 式中 () = 22() C mllmM rl MmMm 是质心到支点的距离 220 2() 22 2 hmM g lI 由运动学关联 2 l v 其中v为抛射速度 由运动学知 2 sincos 1 cossin 2 vtl vtgtl （4 分） 得 2 cos 3.207/ sin gl vm s （2 分） 6.415/rad s ，记 m k M 由 220 2 44 () () h g Mm l lMm l 222 0 222 16(1)4cos ()(1) h g km v Mm lkl 22 00 2 22 42 (2)cos16(1) (1)(1) kg hhh g k klkl 1.402k （2 分） 第二题（20 分） Andy Riley 画了找死的兔子 ，该书中的人们精通各种物理原理，从而帮助兔子成功自杀。 巨石的质量为 5 1 10 kg，巨石下有 10 根圆木，人们拉着巨石缓缓移动。圆木的质量可以忽略，所 有地方均不滑动。由于压力巨大，圆木的直径被压扁了 0.2%（假设地面没有形变） ，圆木滚动之后被 3 压扁的地方又恢复了原状。假设圆木如图顺时针滚动的时候作用力集中在 A、B 两点。重力加速度取 9.8/gN kg （1） 原始人至少需要多大的拉力才能将巨石拉动？ （2） 各处摩擦系数至少达到多少才能保证不滑动？ 【解】 ： 由合外力等于 0，重力可以忽略，两个作用点支持力、摩擦力各自等大。 由于力矩为 0，所以两边支持力与摩擦力的合力过圆心。 （5 分） 摩擦角至少为。 cos1 0.2% 解得3.6 （5 分） 得到 4 tan6.2 10fmgN （5 分） A B f N N f 4 摩擦角大于等于，所以tan0.063 （5 分） 第三题（20 分） 空间中有沿着 z 轴的静磁场，磁场强度和到 z 轴的距离成正比 0 0 ( ) r B rB r 。一个带电为q，质量 为m的粒子，在xy平面内绕着z轴在洛仑兹里作用下做圆周运动，半径为 0 r。 （1） 写出粒子速度大小 0 v应当满足的式子 （2） 粒子在做圆周运动的时候收到一个径向扰动，略微偏离了原来的轨道，求解粒子之后的运动。 【解】 ： （1） 00 0 r B q v m （2 分） （2）取极坐标, 考虑角动量的变化 30 0 00 ( ) 3 r qB LM tqv B rtqB rr 可见 230 0 3 qB m r 是常数 （6 分） 有扰动的时候，令 0(1 )rx， 0 0 qB m 得到 223323000 0000 00 (1)(1) 33 qBB qqB mrxrxmrr rmr 小量近似有 22 00 11 (1)(1)(1) )(1) 33 xxxx （2 分） 带入径向牛顿第二定律： 2 ()mqB （2 分） 得到 2 0 2xx （等式两边消去m， 0 r） （4 分） 类比简谐振动得到： 径向做频率为 0 2的简谐振动 （4 分） （用能量守恒精确到 2 阶，同样给分） 切向几乎保持原角速度转动（偏差为一阶小量） 。 第四题（20 分） 找一个理想的电容C，直接接到一个内阻可以忽略的电压为U的电池上，会迅速充电，很显然充 5 电完成的时候，电容器储存能量为 2 1 2 CU，而电源做功为CU，多出的能量，在没有电阻的情况下会 以其它的方式耗散掉（例如电磁辐射等） 。 如图所示电路中，电源电动势为，电阻为R，电容为C。开始电容不带电。开关闭合后，电容 会迅速充电，然后再慢慢达到平衡。 （1） 计算从闭合开关到电荷分布稳定过程中，电阻上发热为多少？ （2） 画出电阻上通过的电量和电阻两端电压的图像， 并计算当电阻上发热量累计达到最大发热量一 半时，各电容器上电压为多少。 【解】 ： （1）迅速充电之后三个电容器上的电压均为 3 ，电容器储能 2 0 1 3( ) 23 EC 这时候电源通过电量 0 3 C Q ，电源做功 2 00 3 C WQ 稳定之后三个电容器的电压均为，但中间的电容器正负极反向 电容器储能 2 0 1 3 2 EC 这时候电源通过电量 0 3QC，电源做功 2 00 3WQC 电阻发热 2 0000 4 () 3 WWEEC （8 分） （2）过一个电阻的电流为 1( ) i t，电量为 1( ) Q t 过中间的电容的电流为 2( ) i t，从迅速充电结束之后开始，流过的电量为 2( ) Q t 这样中间电容器左极板比右极板电势高 2 2 3 Q U C （因为开始突然充上了电） 右方方电容器上极板比下极板电势高 12 1 3 QQ U C （2 分） 对上面的支路写基尔霍夫方程有： 121 i RUU 对电源回路写基尔霍夫方程有： 12 2i RUU （2 分） 两方程消去 2 Q得到 1 i 2 i 12 ii 1 i 6 1 1 2 33 Q i R C 得到一个线性函数， （5 分） 这个函数下方面积就是左边电阻上的发热。 可见当发热量达到总热量一半的时候， 1 2 3 i R 由此可以计算出 上下两个电容上的电压为 2 (1) 3 ，中间电容器电压为 2 2 (1) 3 （3 分） 第五题（20 分） 在那个很遥远的年代，在生活很美好的时候，有人出选择题：把一根均匀的筷子竖直插入圆柱形 装水的烧杯中，从侧面观察烧杯，看到的应当是哪一幅图？经过若干次错误和面壁思考，我们的终于 发现答案是 D。现在的问题是，筷子到底变粗了多少倍？ 俯视图如下，筷子距离轴心/ 2R，水折射率为1.33n ，玻璃厚度不记，人从如图方向很远的地 方观察。 1 i R 1 Q 2 3 2C 7 【解】 ： 远处看需出射沿“”方向光线 如左图，由折射定律sinsinni （4 分） 令筷子到圆心的距离为h 另入射角为i， 由正弦定理 sin sin() 2 hR i i （4 分） 视线位置sinxR （2 分） 整理的得到 22 222 11 xxxxx Rn RR nRnh 对于/ 2hR解得 o 40.7976 （4 分） o 29.3433i 令hhh ，xxx带入上式，计算数值得到 1.23xh 即放大率为1.23 （6 分） 第六题（22 分） 月亮离地球越来越远了，以后看到的月亮就越来越小了。其原因在于地球现在的自转角速度比月 亮公转的角速度快，受到潮汐的影响，一部分地球自转的动能转化成了地月体系的平动动能和势能。 这个过程将不断进行，直到月球公转周期和地球自转周期相等，或者月亮飞离地球（月亮总是用一个 面冲着地球） 。我们想关心的问题是月球的命运到底如何？月亮是否会飞离地球？如果不飞离地球， 最后地球上的人看到的月亮所占的立体角是现在的多少倍？ 当前地球的自转周期为 1 天，月亮公转周期为27.32天，月亮半径为 3 1.738 10 m，月球质量为 视线方向 R i x 2 R h 2 R h 8 22 7.350 10 kg，当前地月距离为 8 3.84 10 m，地球质量为 24 5.98 10 kg，地球半径为 6 6.37 10 m。将 地球和月亮均视为均匀球体，球体绕过球心的轴定轴转动的转动惯量为 2 2 5 Imr，其中m为质量，r 球的半径，刚体定轴转动的角动量为LI。 【解】 ： 基本假设是，质心不受外力，两星球的质心角动量在系统质心和守恒 初态地球自转角速度 2 1 e 天 ，月球自转和公转的角速度为 0 2 = 27.32 天 ，初态地月距离 8 0 3.84 10rm 写两体问题的牛顿第二定律有： 2 00 2 0 () em G MM r r （2 分） （用 e M， m M表示地球和月球质量，用其他方式写出等效方程同样给分） 地球和月亮绕着其质心转动的角动量为 222 00000 0 ()() meem em memeem MMM M MrMrr MMMMMM （4 分） 末态地球和月球达到共同的公转和自转角速度 2 00 2 0 () em G MM r r 初态角动量 222 00 0 22 55 me ee em m me M M LM rM rr MM 12 22 33 00 22 () 55 me ee em mem me M M M rM rG MM MM （4 分） 等于末态角动量 222 22 55 me e em m me M M LM rM rr MM 12 22 33 22 () 55 me e em mem me M M M rM rG MM MM （4 分） 带入数值，解得： 2 52.46 天 ， 2 3 00 52.46 ()1.545 27.32 rrr （4 分） 可见月亮所占的立体角变为（视角的平方） 9 20 ()0.41 e e rr rr （2 分） 第七题（20 分） 如图一个轻质绝热的可以自由滑动的活塞，下方封有体积为 0 V的水蒸气（初始状态没有液态水） ， 大气压为 0 1Patm，水蒸气的温度为 10 0.98TT，其中 0 T为 0 P压强下水的沸点， 0 373.15TK。由于 没有扰动，虽然水蒸气温度低于沸点，但是并不液化，这样的水蒸气被称为过冷蒸汽。这时给蒸汽扰 动，水蒸气就会迅速液化。已知 0 T温度下水的汽化热为2256.6852/LkJkg，水蒸气和水的定压比热 近似为不变量，分别为 11 2.1kJ kgK 和 11 4.2kJ kgK 。 （1） 估算在 10 0.98TT，保持压强为 0 P时候水的汽化热。 （2） 设气缸是绝热的，问当气体受到扰动液化，最后达到平衡的时候，气体体积 1 V为多少。 （认为液体密度远大于气体） 【解】 ： （1） 构造如下的等压循环，m的水温度为 0 0.98T，等压汽化，再升温到 0 T，最后等温等压液化， 然后降温到 0 0.98T。由于初末态完全相同，循环做功等于 0，所以有总吸热等于 0 Q1 液 0.98T0 T0液 Q3 气 T0 Q20.98T0气 0 0 10.98 2p 3 4p T T QLm QCmT QLm QCmT 气 液 0 0.02TT 0 P 10 0.98TT 10 00 0.980 0.02=2272.36/ TTpp LLCCTkJkg 液体气体 （） （2） 假设有n质量的气体液化，由等压放热平衡： 0 0.98 () Tpp n LnnCTn CT 气液 解得 00 3 0.98 =6.95 10 pp TTpp CTCT n nLCTCTL 气气 气液 由此 01 00 1.013 0.98 TVnn VnT 即体积会膨胀1.3% 注：第一问 8 分，第二问分析出压强还应是 P 给 3 分，列方程时考虑了气相比热和液相比热并写对了 方程给 5 分，结果 4 分 第八题（18 分） 质子的静质量记为 0 E，一个质子以 0 3E的总能量沿着x轴的方向撞向另一个静止的质子。假设碰 撞之后仍然是两个质子，速度方向在xy平面内。 以 x p为横轴，以 y p为纵轴，画出质子可能的出射状态。 （提示：由于对称性，两个质子的状态是 对等的） （以下不是考题：如果撞击后的产物是两个质子加一个介子，求出射质子动量的可能状态。 介 子的静质量为 0 0.138E） 【解】 ： （1）入射质子动量p 由质能关系 222 00 ()(3)EpcE 0 2 2pcE 画出动量守恒对应矢量图 由余弦定理 222 21122 2cosppp pp 定义 1cosx pp， 1siny pp 写出 2 个出射质子的动量一能量关系 222 101 ()EEp c 222 202 ()EEp c p p2 p1 11 由能量守恒， 120 4EEE 222 20120101 4168EEEEEEE E化简有 222 000001 94 2168 x Ep cEEEE E 2 0100 884 2 x E EE