全国版高考数学第四章平面向量的数量积及应用举例课时提升作业理.docx

平面向量的数量积及应用举例(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则=()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.因为四边形ABCD是平行四边形,所以=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以=23+1(-1)=5.2.(2016岳阳模拟)已知正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,F为CD的中点,则=()A.-1B.0C.1D.2【解题提示】结合图形,建立平面直角坐标系,转化为坐标计算.【解析】选B.如图.以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),E(2,1),F(1,2),所以=(2,1),=(-1,2),所以=-2+2=0.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选B.方法一:如图,由平面几何的知识知ABEBCF,所以1=2,因为1+3=90,所以2+3=90,即AEBF,所以=0.方法二:选取,为基底,则=+,=-.因为|=|=2,所以=-+=0.3.(2016攀枝花模拟)已知ab=-12,|a|=4,a和b的夹角为135,则|b|为()A.12B.6C.3D.3【解析】选B.ab=|a|b|cos135=-12,所以|b|=6.【加固训练】(2016厦门模拟)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()A.-B.C.D.【解析】选C.因为2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设2a+b与a-b的夹角为,所以cos= =.又0,故=.4.(2016中山模拟)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,M为OC的中点,若=(2,4),=(1,3),则等于()A.B.-C.3D.-3【解析】选C.如图,由题意可得=-=(-1,-1).因为M是OC的中点,所以=-=-=(1,3)-(2,4)=,所以=(-1,-1)=+=3.5.(2016衡水模拟)已知平面向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,在ABC中,=2m+2n,=2m-6n,=,则|=()A.2B.4C.6D.8【解析】选A.因为=,所以点D为BC的中点,所以=(+)=2m-2n,又因为|m|=,|n|=2,平面向量m,n的夹角为,所以|=2|m-n|=2=2=2.6.在平面直角坐标系中,已知O是坐标原点,A(3,0),B(0,3),C(cos,sin),若|+|=,(0,),则与的夹角为()A.B.C.D.【解题提示】先求角的大小,再求向量的夹角.【解析】选A.由题意,得+=(3+cos,sin),所以|+|=,即cos=,因为(0,),所以=,C.设与的夹角为,则cos=.因为0,所以=.7.(2016巴中模拟)已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且AB=,则的值是()A.-B.C.-D.0【解析】选A.取AB的中点C,连接OC,AB=,则AC=,又因为OA=1,所以sin=sinAOC=,所以AOB=120,则=11cos120=-.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015湖北高考)已知向量,|=3,则=.【解析】因为向量,所以=0,即(-)=0,所以-=0,即=9.答案:99.(2016洛阳模拟)与向量a=(3,4)垂直且模长为2的向量为.【解析】设要求向量为b=(x,y),则解得或答案:或10.已知圆O的半径为2,AB是圆O的一条直径,C,D两点都在圆O上,且|=2,则|+|=.【解题提示】结合图形进行向量的分解与合成,转化,化简后再求模.【解析】如图,连接OC,OD,则=+,=+,因为O是AB的中点,所以+=0,所以+=+,设CD的中点为M,连接OM,则+=+=2,显然COD是边长为2的等边三角形,所以|=,故|+|=|2|=2.答案:2(20分钟40分)1.(5分)(2016石家庄模拟)在ABC中,AB=4,AC=3,=1,则BC=()A.B.C.2D.3【解题提示】利用已知条件,求得,夹角的余弦,再用余弦定理求BC.【解析】选D.设A=,因为=-,AB=4,AC=3,所以=2-=9-=1.所以=8cos=,所以BC=3.2.(5分)(2015福建高考)已知,|=,|=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且=+,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.21【解题提示】结合题意建立平面直角坐标系,转化为坐标运算.【解析】选A.以A点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示,C(0,t),B,=(1,0)+4(0,1)=(1,4),从而=,=(-1,t-4),所以=-4t-+17-2+17=13,当且仅当4t=即t=时,等号成立.【加固训练】若a,b是单位向量,ab=0,且|c-a|+|c-2b|=,则|c+2a|的范围是()A.1,3B.2,3C.D.【解题提示】根据向量a,b的关系,转化为向量的坐标运算.【解析】选D.因为a,b是单位向量,且ab=0,所以不妨设a,b分别是与x轴,y轴正方向相同的单位向量,即a=(1,0),b=(0,1).设c=(x,y),则c-a=(x-1,y),c-2b=(x,y-2),c+2a=(x+2,y),所以|c-a|+|c-2b|=+=,上式的几何意义是动点P(x,y)到定点A(1,0),B(0,2)的距离之和为的点的集合,而|AB|=,所以点P在线段AB上,如图.|c+2a|=的几何意义是动点P(x,y)到定点C(-2,0)的距离,过C作CDAB,垂足为D,则|CD|=,又|CA|=3,所以|c+2a|3.3.(5分)(2015天津高考)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60,动点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则的最小值为.【解析】因为=,=,=-=-=,=+=+,=+=+=+,=+=4+21cos120=+2+=.当且仅当=即=时,的最小值为.答案:4.(12分)(2015陕西高考)C的内角,C所对的边分别为a,b,c.向量m=与n=平行.(1)求.(2)若a=,b=2求C的面积.【解题提示】(1)先利用mn得出asinB-bcosA=0,再利用正弦定理转化求得tanA的值从而得A的值.(2)利用余弦定理得边c的值,代入三角形的面积公式求解.【解析】(1)因为mn,所以asinB-bcosA=0,由正弦定理得sinAsinB-sinBcosA=0,又sinB0,从而tanA=,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为bcsinA=.【加固训练】已知点A(1,0),B(0,1), C(2sin,cos).(1)若|=|,求的值.(2)若(+2)=1,其中O为坐标原点,求sincos的值.【解析】因为A(1,0),B(0,1),C(2sin,cos),所以=(2sin-1,cos),=(2sin,cos-1).(1)|=|,所以=,化简得2sin=cos,所以tan=,所以=-5.(2)=(1,0),=(0,1),=(2sin,cos),所以+2=(1,2),因为(+2)=1,所以2sin+2cos=1.所以(sin+cos)2=,所以sincos=-.5.(13分)已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=1,(1)若|a-b|=2,试求a与b的夹角的余弦值.(2)若对一切实数x,|a+xb|a+b|恒成立,求a与b的夹角.【解析】(1)因为|a|=,|b|=1,|a-b|=2.所以|a-b|2=4,即a2-2ab+b2=4,2-2ab+1=4,所以ab=-.设a与b的夹角为,则cos=-.(2)令a与b的夹角为.由|a+xb|a+b|,得(a+xb)2(a+b)2,化为(x2-1)|b|2+(2x-2)|a|b|cos0,因为|a|=,|b|=1,所以(x2-1)+(2x-2)cos0,当x=1时,式子显然成立;当x1时,cos-=-,由