线性代数中矩阵的消元法与高等数学中解多元方程的问题联系.docVIP

线性代数中矩阵的消元法与高等数学中解多元方程问题的联系 在高等数学中，解多元方程的过程一般是杂而烦的，大量的未知数常常使我们眼花缭乱、不知所措，所能做的，就是不断的移项、消元、加加减减，最后，还不一定能得出答案，得出的答案也不一定正确。 在学完矩阵的消元法以后，顿时觉得类似解多元方程的问题用矩阵来解会简单许多。在这里，我举个例子： 例1：解线性方程组：（见线性代数课本P17) 解：所以，方程有唯一解。 用矩阵的消元法解多元线性方程明显比我们从前学习的普通方法要简单的多。虽然计算不能说变得简单了，但是至少看起来一目了然，可以减少计算错误的发生，也省去了重复地写大量的未知数，使步骤变得简单多了。 当然这仅仅是线性代数运用在解线性方程中的一个方面，下面，我再举一个例子： 例2：解线性方程组（见线性代数课本P67）。 解：， 按照三阶行列式的定义，我们可以计算： 所以， 这里，我们有必要提一下二阶行列式的定义： 设二元线性方程组，对方程组进行消元，有，当时，有 。类似的，时，有 为了便于记忆，引入记号：，这样可以记为，所以，当时，方程组有唯一解，其中，。 这样，方程组的解就由系数和常数项表示出来了，这组解我们称之为公式解。 其中，我们称为二阶行列式。 这是矩阵的消元法在解二元方程中的运用，在二元方程中，利用消元法去解不免有些繁琐。但是，矩阵的消元法也可引申到解多元方程中，这能使解多元方程变得简单的多，在此，就不举相应的例子了。 线性代数中矩阵与概率论判定随机变量的独立性问题的联系 在概率论中，判定随机变量的独立性通常是采用检验联合分布是否等于边际分布的乘积，在正态分布的前提下也可以用相关性和独立性的关系来判断，但对于多维的随机变量这种方法计算比较复杂，这时，利用特殊矩阵的特殊性质来判断多维正态随机变量的独立性会简单得多。这里，我们举一个例子： 例：是相互独立、而且服从方差为的正态分布的随机变量，证明：与相互独立。 证记，其中是通过线性变换得到的随机变量， 则Z=AX,其中,易验证,所以矩阵A为正交矩阵。 ,即 ，又因为服从正态分布，所以相互独立。 所以，得到与相互独立。线性代数与直线、平面位置关系问题的联系 空间直线与平面的位置关系，为线性方程组的结构理论提供了直观的几何解释，同样，线性代数中的线性方程组的结构理论对深刻领会直线与平面的位置关系起到重要作用。下面，我用一个三元一次线性方程组来说明方程组的解的几何意义。 设空间中三个平面，其方程为：，其系数矩阵为A，增广矩阵为,那么方程组的解可以分为以下几个情形： 1、如果r(A)=r()=r，一个平面有共同点，方程组有解 1）如果r=3，方程组的系数矩阵可逆，则方程存在唯一解，这时一个平面相交于一点； 2）如果r=2，方程组的解等价于某两个线性无关的解，存在无穷多个解，此时，一个平面相交于一条直线； 3）如果r=1，三个方程组重合为一个方程组，方程组有你无穷多个解，三个平面重合。 2、当，三个平面没有共同交点，方程无解。由平面方程定义可知 如果,设。 如果（）线性无关，则三个平面互相平行但不重合。 如果A的其中两个行向量线性无关，不妨假设为，则重合，与平行。 结论：线性代数与几何的联系是广泛的，线性代数的许多理论可以认为是几何上的二维平面空间、三维立体空间的延伸和推广，因此，在线性代数中把握两者之间的关系，融入几何的知识，这对我们学习线性代数也会起到与众不同的作用，为线性代数的学习另辟了蹊径。如果平时注重线性代数与几何的融合，一方面为代数式找到了它的几何解释，另一方面有为几