浦东新王牌暑假班上海数学暑假班晋s数列的概念与简单表示法.doc

数列的概念与简单表示法【知识点讲解】一、数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中每一个数叫作这个数列的项.项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列，数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（也称为首项），依此下去，通常记为简记为.二、数列的通项公式1、定义：如果数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个公式来表示，我们把这个公式叫作这个数列的通项公式.2、数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法.3、注意事项通项公式是数列的一种重要表示方法，但并不是所有数列都有通项公式，并且有些数列的通项公式并非唯一.例如：的通项公式可写为 ，还可以写成若已知通项公式，可将代入，求出数列各项，还可以判断某数是否为该数列的项及哪一项.三、数列与函数的关系在数列中，对于每一个正整数都有一个数与之对应，因此，在函数的意义下，数列可以看成是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，当自变量从1开始依次取自然数时，所对应的一列函数值为，简记为.四、数列的分类（1）根据项数是有限还是无限来分 有穷数列：项数有限的数列. 无穷数列：项数无限的数列.（2）根据项的增减规律来分递增数列：从第二项起每一项都大于它的前一项.递减数列：从第二项起每一项都小于它的前一项.常数列：各项均相等的数列.摆动数列：从第二项起，有些项大于前一项，有些项小于前一项，如： 递增数列和递减数列统称为单调数列，非单调数列有摆动数列、常数列等.（3）根据任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分有界数列：若为常数）无界数列：若使得.五、数列的表示法（1）列举法：如2，4，6，8，.（2）图像法：用表示函数图像上一群孤立的点，这些点的个数可以是无限的，也可是有限的.（3）解析法：用通项公式表示，如（4）递推公式法：用表示数列的后项与前项（前几项）关系的式子来表示数列.如，；六、数列的前项和公式：（1）前项和与通项的基本关系为:七、数列的单调性（1）根据定义：若，则为递增数列；若，则为递减数列；（2）作商比较：（前提是各项均为正数，），若，则递增（或减）.八、数列的最值（1）若为最大项；若为最小项.（2）构造函数，先确定单调性，再求最值.【例题】例1. 数列的一个通项公式是 。1.提示：观察和对应项数的关系，不难发现，一般地，例2. 数列的一个通项公式是 。2. 。提示： 这类题应解决两个问题，一是符号,可考虑（-1）n或（-1），二是分式，分子是n，分母n+1。故.例3.将正偶数按下表排成5列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24 28 26则2006在第 行，第 列。3第251行，第4列.提示：由题意知每列4个数，1003=4250+3,故2006在第251行。又由奇数行的特点知应该是第4列。例4.已知an是递增数列，且对任意nN+，都有an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是 。4.。提示：常见的错解：an是一个特殊的二次函数，要保证在n取自然数时单调递增，只须-1，即-2。本题错误的原因在于机械地套用了函数的性质，忽略了数列的离散性的特点。正解 如图，只要-3时就适合题意。例5.观察下列不等式：，由此猜想第个不等式为 .5. 。提示：本题是归纳推理问题，注意到3=22-1，7=23-1，15=24-1，1=，2=，故猜想：。 点评：归纳推理的关键是找到式子变化的共同点和不同点。例6.若数列an满足an+1=则a20的值是 6.提示：。 数列是周期为3的数列，.例7.已知数列an中，an=，求数列an的最大项.解:考察函数,因为直线为函数图象的渐近线,且函数在上单调递减，在上单调递减，所以当且最接近15.6且时,最大,故最大,即第16项最大.例8.设向量a =（），b =（）（），函数 ab在0，1上的最小值与最大值的和为，又数列满足： （1）求证：；（2）求的表达式；（3），试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论.解 （1）证明：ab =，因为对称轴 ,所以在0，1上为增函数，。（2）解：由 得 两式相减得， 当时， 当2时， 即 （3）解：由（1）与（2）得设存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立，当时， 当2时，所以当时，当时， 当时， 所以存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立 例9. 数列的通项公式是 。1.an=.提示 因此，an=.例10.数列an满足a1=2，an+1=-，求a2008。2.解 由an+1=-，得an+2=-=-=-. an+3= -=-=an，故a2008=a6693+1=a1=2。【巩固练习】一填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.数列，的通项公式的是 。1. 或。提示：写成两种形式都对，an不能省掉。2. 的一个通项公式是 。2. 提示：若把换成，同时首项1换成，规律就明显了。其一个通项应该为：3.在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内.年龄（岁）30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱 毫米）110 115 120 125 130 135 （ ）145舒张压（水银柱 毫米）70 73 75 78 80 83 （ ）883.140,85。提示：观察上表规律，收缩压每次增加5，舒张压相应增加3或2，且是间隔出现的，故应填140,85。4已知数列，那么是这个数列的第 项.4.10.提示：令=，即n2+2n-120=0,解得n=10.5.已知数列an的图像是函数图像上，当x取正整数时的点列，则其通项公式为 。5. an=.提示：数列an对应的点列为(n,an),即有an=。6.已知数列，它的最小项是 。 6.2或3项。提示：=2（n-）2-.故当n=2或3时，an最小。7. 已知数列满足，则 .7. 。提示：=，。8.如图，图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则（答案用的解析式表示）8.n22.提示：f(2)-f(1)=4=14, f(3)-f(2)=8=24, f(4)-f(3)=34,，猜想4n.二解答题(本大题共4小题，共54分)9.已知满足，试写出该数列的前项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.9. 解 ,注意到：3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，猜得。10.已知数列中，通项是项数的一次函数，求的通项公式，并求；若是由组成，试归纳的一个通项公式.10.解:设,则,解得,.又,即为5,9,13,17,.11.如果一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列。已知等和数列的第一项为2，公和为7，求这个数列的通项公式an。11.解：是等和数列，公和为7，a1=2，a2=5,a3=2,a4=5,，一般地，a2n-1=2，a2n=5，nN*.通项公式an=12. 已知不等式+a对于一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围。解 令f（n）=+，则f（n+1）-f（n）=+-=-0.f（n+1）f（n）, f（n）是递增数列， f（n）min= f（2）=。a.【作业】一、选择题1数列，的一个通项公式为()AanBanCan Dan答案C解析观察知an.2在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，中，x应取()A19 B20 C21 D22答案C解析a11，a21，an2an1anx81321，故选C.3已知数列an中，a12，an1an2n(nN*)，则a100的值是()A9900 B9902 C9904 D11000答案B解析a100(a100a99)(a99a98)(a2a1)a12(999821)22299024已知数列an满足a01，ana0a1an1(n1)，则当n1时，an()A2n B.n(n1) C2n1 D2n1答案C解析方法一由已知ana0a1an1(n1)且a01，得到a1a01211，a2a0a12221，a3a0a1a24231，a4a0a1a2a38241.由此猜想出an2n1(n1)方法二由ana0a1an1(n1)，得an1a0a1an1an.两式相减得an1anan.an12an.2(n1)该数列an为一等比数列(n1)，其中a1a01.当n1时，an2n15已知数列an中，a11，an1，则这个数列的第n项an为()A2n1 B2n1 C. D.答案C解析an12为等差数列，公差为2，首项11(n1)22n1，an二、填空题6已知数列an对于任意p，qN*，有apaqapq，若a1，则a36_.答案4解析a1.a2a1a1，a4a2a2，a8a4a4.a36a18a182a182(a9a9)4a94(a1a8)4()4.7记数列an的前n项和为Sn，且Sn2(an1)，则a2等于_答案4解当n1时，由S1a12(a11)，得a12；当n2时，由a1a22(a21)，得a24.8(2010南京质检)如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_块(用含n的代数式表示)答案4n8解析第(1)、(2)、(3)个图案黑色瓷砖数依次为：15312；24816；351520；由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为：12(n1)44n8.9已知：f(x)x23x2，数列an满足a1a，且an1f(an)(nN*)，则该数列的通项公式an为_解析f(x)x23x2f(x)2x3an1f(an)2an3.an132(an3)an3是公比为2，首项为3a的等比数列an3(3a)2n1an(3a)2n1310已知an的前n项和为Sn，满足log2(Sn1)n1，则an_.解析Sn12n1Sn2n11n1时，a13n2时，a1SnSn12nan11一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是x，另一个是x3.设第n次生成的数的个数为an，则数列an的前n项和Sn_；若x1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为Tn，则T4_.答案2n110解析由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故Sn2n1.当x1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为1、4，第3次生成的数为1、2，4、7，第4次生成的数为1、4，2、5,4、1，7、10.故T410.12(2011福州质检)数列an满足an1a1，则数列的第2011项为_答案解析a1，a22a11.a32a2.a42a3.a52a41，a62a51，该数列周期为T4.a2011a313若数列an的前n项和为Sn，a12，且对于任意大于1的整数n，点(，)在直线xy0上，则数列an的通项公式为_答案an4n2三、解答题14已知数列an的通项公式为ann25n4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值解析(1)由n25n40，解得1n0，Sn是数列an的前n项和，对任意nN*，有2Snp(2aan1)(p为常数)(1)求p和a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式解析(1)令n1得2S1p(2aa11)，又a1S11，得p1；令n2得2S22aa21，又S21a2，得2aa230，a2或a21(舍去)，a2；令n3得2S32aa31，又S3a3，得2aa360，a32或a3(舍去)，a32.(2)由2Sn2aan1，得2Sn12aan11(n2)，两式相减，得2an