高中数学第1章不等关系与基本不等式1.2.2绝对值不等式的解法学案北师大版.docx

2.2绝对值不等式的解法1理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法(重点)2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.(c0)(重点、关键点)基础初探教材整理1含有一个绝对值不等式的解法阅读教材P8P9“思考交流”以上部分，完成下列问题1绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axa|x|ax|xa，或xaxR，且x0R2.|axb|c与|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc；(2)|axb|caxbc或axbc.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)|x|a的解集是(a，a)()(2)不等式|x2|3的解集是(，15，)()(3)若|xa|2的解集是(1,3)时，a的值为2.()【解析】(1)当a0时，|x|a的解集为.(2)由|x2|3，得x23或x23，即x5或x1.(3)若|xa|1的解集为_(2)若f(x)|xa|xb|的最小值为3，当a|x1|的解集为_【解析】(1)|x4|x2|42|21，不等式的解集为R.(2)由条件可知，当af(x)恒成立时，af(x)min，即a(x1)2，整理得x1.【答案】(1)R(2)a3(3)(，1)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型|axb|c与|axb|c型不等式的解法解下列不等式：(1)17x.【精彩点拨】(1)可利用公式转化为|axb|c(c0)或|axb|0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式【自主解答】(1)法一：原不等式等价于不等式组即解得1x1或3x5，所以原不等式的解集为x|1x1或3x5法二：原不等式可转化为：或由得3x5，由得1x1，所以原不等式的解集是x|1x1或3x5法三：原不等式的解集就是1(x2)29的解集，即解得所以1x1或3x5.所以原不等式的解集是x|1x1或37x，可得2x57x或2x52或x4.所以原不等式的解集是x|x21形如a|f(x)|a0)型不等式的简单解法是利用等价命题法，即a|f(x)|b(0ab)a|f(x)|b或bf(x)g(x)和|f(x)|g(x)或f(x)g(x)和g(x)f(x)g(x)求解3形如|f(x)|f(x)型不等式的简单解法是利用绝对值的定义，即|f(x)|f(x)f(x)0，|f(x)|f(x)x.再练一题1解不等式|x2x2|x23x4. 【导学号：94910007】【解】x2x220，|x2x2|x2x2.原不等式等价于x2x2x23x4，解得x3.原不等式的解集为x|x3.|xa|xb|c(c) 型不等式的解法解不等式|x1|x1|3.【精彩点拨】本题考查|xa|xb|c型含两个绝对值的不等式的解法，解答此题可利用绝对值的几何意义去掉绝对值符号求解，也可用零点分区间讨论法求解，或者用图象法，利用图形分析求解【自主解答】法一：如图所示，设数轴上与1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间1,1上的数都不是不等式的解设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.1x1x3，得x.同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离和为3，B1对应数轴上的x，x1x(1)3.x.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.所以原不等式的解集是.法二：当x1时，原不等式可以化为(x1)(x1)3，解得x.当1x1时，原不等式可以化为x1(x1)3，即23，不成立，无解当x1时，原不等式可以化为x1x13，所以x.综上所述，原不等式的解集为.法三：将原不等式转化为|x1|x1|30.构造函数y|x1|x1|3，即y作出函数的图象，如图所示：函数的零点是，.从图象可知，当x或x时，y0，即|x1|x1|30.解得原不等式的解集为.这三种解法是解含有两个绝对值和差不等式常用的方法，解法一中关键是找到特殊点，解法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，解法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.再练一题2解不等式|2x1|f(x)的解集为，求a的取值范围时如何转化求解，对于af(x)解集为af(x)恒成立af(x)解集为af(x)恒成立探究3对于af(x)有解求a的范围时，如何转化求解？af(x)有解呢？【提示】af(x)有解af(x)min.af(x)有解af(x)max.已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围【精彩点拨】(1)解f(x)3，由集合相等，求a.(2)求yf(x)f(x5)的最小值，确定m的范围【自主解答】(1)由f(x)3，得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)法一由(1)知a2，此时f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|，于是g(x)利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5.因此g(x)f(x)f(x5)m对xR恒成立，知实数m的取值范围是(，5法二当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|.由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.因此，若g(x)f(x)f(x5)m恒成立，应有实数m的取值范围是(，51第(2)问求解的关键是转化为求f(x)f(x5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)2将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用再练一题3若关于x的不等式|x2|x1|a的解集为，求实数a的取值范围【解】法一：令y1|x2|x1|，y2a.y1y1，y2的图象如图所示由图可知，当a3时，|x2|x1|a的解集为.法二：|x2|x1|表示数轴上的点A(x)到B(2)和C(1)两点的距离之和，而|BC|3，所以A到B，C两点的距离之和的最小值为3.即对一切xR，总有|x2|x1|3.因为|x2|x1|a的解集为，所以只需a3即可，所以a的取值范围是a3.构建体系1不等式|x|(12x)0的解集是()A.B(，0)C.D【解析】原不等式等价于解得x且x0，即x(，0).【答案】B2不等式|x2|x2的解集是()A(，2)B(，)C(2，)D(，2)(2，)【解析】原不等式同解于x20，即x2.【答案】A3已知集合AxR|x1|2，Z为整数集，则集合AZ中所有元素的和等于_【解析】AxR|x1|2xR|1x0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值【解】(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)由f(x)0，得|xa|3x0.此不等式化为不等式组或即或因为a0，所以不等式组的解集为.由题设可得1，故a2.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1不等式1|x3|6的解集是()Ax|3x2或4x9Bx|3x9Cx|1x2Dx|4x9【解析】化为1x36或6x31，即4x9或3x2，故选A.【答案】A2不等式的解集是()Ax|0x2Bx|x2Cx|x2【解析】原不等式可化为0，x2或x2或x0【答案】B3不等式1|x1|3的解集为() 【导学号：94910009】A(0,2)B(2,0)(2,4)C(4,0)D(4，2)(0,2)【解析】由1|x1|3，得1x13或3x11，0x2或4x2.不等式的解集为(4，2)(0,2)【答案】D4设变量x，y满足|x|y|1，则x2y的最大值和最小值分别为()A1，1B2，2C1，2D2，1【解析】|x|y|1表示的平面区域如图中阴影部分所示设zx2y，作l0：x2y0，把l0向右上和左下平移，易知：当l过点(0,1)时，z有最大值zmax0212；当l过点(0，1)时，z有最小值zmin02(1)2.【答案】B5若关于x的不等式|x2|xa|a在R上恒成立，则a的最大值是()A0B1C1D2【解析】由于|x2|xa|a2|，等价于|a2|a，即a1.故实数a的最大值为1.【答案】B二、填空题6不等式|2x1|3的解集为_【解析】由|2x1|3，得32x13，解得1x2，即解集为1,2【答案】1,27不等式|x1|x3|0的解集是_【解析】法一：不等式等价转化为|x1|x3|，两边平方得(x1)2(x3)2，解得x1，故不等式的解集为1，)法二：不等式等价转化为|x1|x3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x到点1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x1，故不等式的解集为1，)【答案】1，)8若关于实数x的不等式|x5|x3|a无解，则实数a的取值范围是_【解析】|x5|x3|5x|x3|5xx3|8，(|x5|x3|)min8，要使|x5|x3|a无解，只需a8.【答案】(，8三、解答题9已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围【解】(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3，得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3，得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,010如图121所示，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和(1)将y表示为x的函数；(2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？图121【解】(1)依题意y4|x10|6|x20|,0x30.(2)由题意，x满足(*)当0x10时，不等式组(*)化为4(10x)6(20x)70，解得9x10；当10x20时，不等式组(*)化为4(x10)6(20x)70，解得